人教版（2024）八年级下册（2024）22.2 函数的表示第2课时教案

这是一份人教版（2024）八年级下册（2024）22.2 函数的表示第2课时教案，共37页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时

一、教材分析
本节课是人教版八年级下册第二十二章《函数》中“函数的图象”的核心应用课，是函数概念、函数图象画法之后的延伸与落地.
承上：承接了“函数的概念”函数图象的绘制与识别等基础内容，将抽象的函数定义转化为具象的图象分析，深化对“数形结合”思想的理解；
启下：为后续一次函数、反比例函数、二次函数的实际应用奠定方法基础，是初中阶段“用函数解决实际问题”的入门课，贯穿整个初中函数学习的核心思想.
教材以“北京春季某天气温随时间变化的图象”为思考素材，引导学生从图象中读取信息，直观感受“气温是时间t的函数”，回扣函数的定义；以“李明离家的距离与时间的关系”为例，通过分段函数图象，系统讲解如何从横、纵坐标提取实际意义，分析运动过程中的停留、行进等状态，规范“用图象解决实际问题”的步骤；设置“根据图象构建问题情境”的探究任务，逆向训练学生对函数图象与实际情境对应关系的理解，提升知识迁移能力；最后通过绿化工程、两地气温对比、自定义三类习题，分层巩固“从图象读信息”“用图象分析问题”“用图象构建情境”的核心能力，实现知识的闭环.

二、学情分析
1.已有基础
知识基础：学生已经学习了函数的概念、函数的三种表示方法(列表法、解析式法、图象法)，掌握了函数图象的基本画法，能识别简单的函数图象；
能力基础：具备初步的读图、识图能力，能从简单的统计图表中提取信息，有一定的生活实际经验(如行程、气温、收费等场景).
2.存在困难
对分段函数图象的理解存在障碍，难以将图象的每一段与实际情境的不同阶段对应；难以准确解读图象中“与坐标轴的交点、平行于坐标轴的线段、图象交点”等关键点的实际意义；逆向构建情境时，容易忽略变量的实际意义，出现情境与图象不匹配的问题；对数形结合思想的理解停留在表面，无法主动用图象分析、解决实际问题.
3.认知特点
八年级学生处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，对直观、具象的生活情境兴趣浓厚，容易通过实际案例理解抽象知识；注意力集中时间有限，需要通过分层任务、互动探究维持学习兴趣；具备一定的合作探究能力，但独立分析复杂问题的能力不足，需要教师的引导与拆解.

三、教学目标
1.能从函数图象中提取关键信息，解读横、纵坐标及关键点的实际意义；
2.能利用函数图象分析实际问题中的变量关系，解决行程、气温等实际问题，能根据函数图象构建符合实际的问题情境；
3.经历“观察图象——提取信息——分析问题——解决问题”的过程，提升读图、析图能力；
4.感受函数图象在实际生活中的应用价值，激发学习数学的兴趣； 培养用数学知识解决生活问题的意识，提升数学应用能力.

四、教学重难点
重点：能从函数图象中提取关键信息，解读横、纵坐标及关键点的实际意义；
难点: 能利用函数图象分析实际问题中的变量关系，解决行程、气温等实际问题，能根据函数图象构建符合实际的问题情境.

五、教学过程
情境导入
生活里藏着许多用图象“说话”的秘密!清晨看天气预报的气温曲线，能知道一天的冷暖变化；坐网约车时，行程 APP里的距离——时间图象，能清晰看到行驶轨迹与到达时间.

今天我们就一起解锁图象的“密码”，学习如何从图象中提取信息、解决生活中的真实问题，感受数形结合的神奇魅力!
师生活动：教师展示生活中的函数图象实例，引导学生观察、讨论图象传递的信息；学生分享发现，师生共同总结图象的实际意义，引出本节课主题.
设计意图：以生活实例创设情境，激发学生学习兴趣，让学生感受数学与生活的联系，体会数形结合思想，为后续学习函数图象的应用做铺垫.
探究新知
活动一：探究利用函数图象解决实际问题
问题1：下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温 T 如何随时间 t 的变化而变化.在这个变化过程中，气温T是时间t的函数吗?为什么?
师生活动：教师出示气温变化图象，引导学生结合函数定义分析T与t的关系，组织小组讨论最值、升降区间等问题；学生观察图象、作答，师生共同梳理解题思路.
答：由图可以看出，气温 T 随时间 t 的变化而变化，对于时间 t 的每一个确定的值，气温 T 都有唯一确定的值与其对应．因此，气温 T 是时间 t 的函数，上图是这个函数的图象.
问题2：这一天中，什么时刻气温最高?什么时刻气温最低?分别是多少?
分析：该问题为找函数的最值，即找图像的最高点和最低点，纵坐标是最值，横坐标是对应的自变量取值.
答：图像的最高点对应最高气温(14时，8°C)
图像的最低点对应最低气温(凌晨4时，-3°C)
问题3：这一天中，什么时间段气温在持续下降?什么时间段气温在持续上升?
答：从 0 时到 4 时气温呈下降状态（即温度随时间的增长而下降），从 4 时到 14 时气温呈上升状态，从14 时到 24 时气温又呈下降状态.
我们可以从图象看出这一天中任一时刻的气温大约是多少.
设计意图：通过实际情境巩固函数概念，培养学生从图象提取信息的能力，渗透数形结合思想，让学生体会数学在生活中的应用.
问题4：如图1，李明家、食堂、图书馆在同一条直线上．李明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查资料，然后回家．图 2 反映了这个过程中，李明离家的距离 y 与时间 x 之间的对应关系．
根据图象回答下列问题：(1)食堂离李明家多远?李明从家到食堂用了多长时间?
(2)李明吃早餐用了多长时间?
(3)食堂离图书馆多远?李明从食堂到图书馆用了多长时间?
(4)李明查资料用了多长时间?
(5)图书馆离李明家多远?李明从图书馆回家的平均速度是多少?
师生活动：教师出示行程图象，引导学生结合生活情境解读横纵轴意义，分组讨论各线段对应的实际过程；学生观察图象、提取信息、作答，师生共同梳理解题步骤与数形结合方法.
分析；李明离家的距离 y 是时间 x 的函数．由图象中有两段平行于 x 轴的线段可知，李明离家后有两段时间先后停留在食堂与图书馆里.
答：(1)由纵坐标可以看出，食堂离李明家 0.6 km；由横坐标可以看出，李明从家到食堂用了 8 min．
(2)由横坐标看出，25-8=17，李明吃早餐用了17 min.
(3)由纵坐标看出，0.8-0.6=0.2，食堂离图书馆0.2km；
由横坐标看出，28-25=3，李明从食堂到图书馆用了3min.
(4)由横坐标看出，58-28=30，李明查资料用了30min.
(5)由纵坐标看出，图书馆离李明家0.8km；由横坐标看出，68-58=10，李明从图书馆回家用了10min，由此算出李明从图书馆回家的平均速度是0.08 km/min.
总结：解答图象信息题主要运用数形结合思想，化图象信息为数字信息.主要步骤如下：
(1)了解横、纵轴的意义；
(2)从图象形状上判定函数与自变量的关系；
(3)抓住图象中端点，拐点等特殊点的实际意义.
注意：平行于横轴的线段，自变量在变，函数值不变．
设计意图：以生活实例深化函数图象应用，培养学生从图象提取信息的能力，落实数形结合思想，让学生掌握图象信息题的解题技巧，体会数学与生活的联系.
问题5：构建合适的问题情境，使其中的变量之间的函数关系可以分别用图1和图2中的图象来表示.
图1 图2
师生活动：教师出示两个函数图象，引导学生分析图象的分段特征与变化规律；学生分组讨论、创编生活情境，分享交流，师生共同点评完善，深化对函数图象的理解.
答：例如：图1小明家距离学校900米.周末早上，小明从家出发去学校取东西，他步行走了20分钟到达学校，发现未带教室门钥匙，于是立刻以同样的速度步行回家，又走了20分钟到家.（答案不唯一）
图2妈妈从家出发，以45米/分钟的速度匀速步行，前往距离家900米的超市，用时20分钟到达；在超市购物停留10分钟后，以60米/分钟的速度匀速步行回家，用时15分钟到家.（答案不唯一）
设计意图：通过逆向创编情境，培养学生数形转化与建模能力，深化对函数图象实际意义的理解，激发创新思维，让学生体会数学与生活的紧密联系.
应用新知
【经典例题】
师生活动：教师出示两道函数图象例题，引导学生分析横纵轴意义、特殊点含义；学生独立解题、小组交流，师生共同梳理解题步骤，总结审图四清方法.
例1 如图所示OA、BA分别表示甲、乙两名学生在同一直线上沿相同方向的运动过程中，路程S(米)与时间t(秒)的函数关系图象，试根据图象回答下列问题．
(1)出发时，乙在甲前面多少米处？
(2)在什么时间范围内甲走在乙的后面？在什么时间他们相遇？在什么时间内甲走在乙的前面？
分析：(1)根据图象中的数据可以得出答案.
(2)根据函数图象中的数据可以求出甲的速度，从而可以求得甲乙相遇的时间，然后根据图象即可写出在什么时间范围内甲走在乙的后面，在什么时间他们相遇，在什么时间内甲走在乙的前面．
答：(1)由图象可得，出发时，乙在甲前面12米处；
(2)由图象可得，甲的速度为：12÷1.5=8(米/秒)，
则当甲行驶64米时，用的时间为：64÷8=8(秒)，
由图可知，当在第8秒时，两人相遇，
故当0≤t8时，甲走在乙的前面．
例2 某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度ℎ(米)与操控无人机的时间t(分钟)之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：(1)图中的自变量是 ；
(2)无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟；
(3)在上升或下降过程中，无人机的速度为 米/分；
(4)图中a表示的数是 ；b表示的数是 ；
(5)图中点A表示的实际意义是 ．
分析：(1)横轴是时间，纵轴是高度，高度是随时间的变化而变化，所以自变量是时间（或t）.
故答案为：时间（或t）；
(2)无人机在75米高的上空停留的时间是12−7=5（分钟），
故答案为：5；
(3)在上升或下降过程中，无人机的速度75−507−6=25（米/分），
故答案为：25；
(4)图中a表示的数是5025=2（分钟）；
b表示的数是12+7525=15（分钟）；
答：(5)图中点A表示在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米；
总结：审图题注意四“清”：
一清楚横、纵坐标的含义；
二清楚图象与不同对象的关系；
三清楚不同图象的起点和终点的含义；
四清楚不同图象的“折点”含义.
设计意图：通过典型例题巩固函数图象应用，培养学生提取信息、数形结合的能力，总结解题技巧，提升学生解决实际问题的能力，深化对函数概念的理解.
课堂练习
【教材练习】
1.园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间，已知绿化面积S与工作时间t的函数关系如图所示.
(1)休息前，园林队工作了多长时间?绿化面积为多少?
(2)园林队中间休息了多长时间?
(3)休息后，园林队每小时完成的绿化面积为多少?
解：(1)休息前，园林队工作了1h，绿化面积是60m2.
(2)园林队中间休息了1h.
(3)由160−604−2=50，可知休息后，园林队每小时完成的绿化面积是50m2.
2.如图，这是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象.
(1)这一天内，北京与上海何时气温相同?
(2)这一天内，上海在哪段时间比北京气温高?在哪段时间比北京气温低?
(3)你还能从函数图象中得到哪些信息?
解：(1)这一天内7:00和12:00北京与上海气温相同.
(2)在0:00一7:00，12:00一24:00这两个时间段内，上海比北京气温高；
在7:00一12:00这个时间段内上海比北京气温低.
(3)答案不唯一.
两地均在4:00~14:00时段气温呈上升趋势，14:00后气温逐渐下降，昼夜气温变化规律一致.
3.如图，构建问题情境，使其中变量之间的函数关系可以用图中的图象来表示.
解：答案不唯一.
无人机从距离地面1000米的高空位置开始匀速下降拍摄，6分钟后抵达地面；随后被操控匀速拉升回原高度，耗时12分钟恢复到1000米高度.
师生活动：教师出示三道函数图象练习题，引导学生分组讨论、独立解题；学生分享思路与答案，师生共同订正，总结图象信息提取与情境创编的方法.
设计意图：通过分层练习巩固函数图象应用，强化数形结合思想，提升学生提取信息、解决实际问题与建模创编的能力，深化对函数概念的理解.
【限时训练】
1.骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力.如图是骑行爱好者老刘某天骑自行车的行驶路程s(km)与时间t(ℎ)之间的关系图.观察图象得到下列信息，其中错误的是( )
A. 点P表示老刘出发5ℎ，他一共骑行80km
B. 老刘实际骑行时间为5ℎ
C. 0～2ℎ，老刘的骑行速度为15km/ℎ
D. 老刘在0～2ℎ的速度比3～5ℎ的速度慢
【答案】B
2.如图1所示的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y(m)与旋转时间x(min)之间的函数关系如图2所示，则下列结论错误的是( )

A. y是x的函数
B. 摩天轮旋转一周所用的时间为6min
C. 摩天轮旋转8min时，圆上这点离地面的高度是54m
D. 摩天轮的半径是35m
【答案】D
【解析】解：根据图象可得，
变量y是x的函数，故选项A不符合题意；
摩天轮旋转一周所用的时间为6min，故选项B不符合题意；
摩天轮旋转8min时，圆上这点离地面的高度是54m，故选项C不符合题意；
摩天轮的半径是：(70−5)÷2=652(m)，故选项D是否错误，符合题意．
故选：D．
3.如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点，动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止.设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为( )
A. 6 B. 4 C. 8 D. 16
【答案】B
【解析】解：根据题意动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动过程中，△APD的面积先增大再减小， 当点P运动到点C时，△APD的面积最大， 根据函数图象可得此时△APD的面积为16，如图，

∵点D为边AB的中点，等腰直角三角形ABC，∠ACB=90°，
∴S△ABC=2S△ADP=32=12AC2，
∴AC=8，
当点P运动到CB的中点时，
∵点D为边AB的中点，
∴当点P运动到CB的中点时，PD=12AC=4；

故选：B．
4.司机小王开车从A地出发去B地送货，原计划匀速行驶6小时到达，而当汽车行驶若干小时到达C地时，汽车发生了故障，需停车检修，修理了一段时间后，为了按时赶到B地，汽车加快了速度，结果正好按时赶到.汽车行驶的路程s(千米)与时间t(时)之间的关系如图所示．
根据题意及图象回答下列问题：
(1) A地和B地之间的路程为 千米，检修汽车的时间为 小时;
(2)求汽车从C地出发到达B地所行驶的时间;
(3)求检修前汽车的行驶速度为多少千米/时．
【答案】(1)300；1
(2)2小时
(3)50千米/时
5.某中学组织了一次大型长跑比赛.甲、乙两人在比赛时，路程s(单位：米)与时间t(单位：分钟)之间的关系如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)这次长跑比赛的全程是 米，先到达终点的人比另一人领先 分钟；
(2)乙是学校田径队运动员，十分注意比赛技巧，比赛过程分起跑、途中跑、冲刺跑三阶段进行，经历了两次加速过程.问第4分钟时乙还落后甲多少米？
(3)假设乙在第一次加速后，始终保持这个速度继续前进，那么甲、乙两人谁先到达终点？请说明理由；
(4)事实上乙追上甲用的时间是多少分钟？
【答案】(1)2000；0.6
(2)甲的速度为20006=10003米/分钟，
第4分钟时甲跑了10003×4=40003米，
第4分钟时乙落后甲40003−1300=1003米；
(3)同时到达，理由如下：
乙第一次加速后的速度为1300−600÷4−2=350米/分钟，
4分钟后剩下的路程还需用时2000−1300÷350=2分钟，
∴乙第一次加速后，始终保持这个速度前进，那么甲、乙将同时到达终点；

(4)冲刺时乙的速度为2000−1300÷5.4−4=500米/分钟，
由（2）知，乙冲刺前还落后甲1003米，
∴乙要追上甲还需用时1003÷500−10003=0.2分钟，
即乙追上甲用的时间是4.2分钟.
师生活动：教师出示5道函数图象综合题，引导学生分组讨论、独立解题；学生分享思路与答案，师生共同订正，梳理解题技巧，强化数形结合方法.
设计意图：通过综合练习巩固函数图象应用，提升学生提取信息、解决实际问题的能力，深化对函数概念的理解，落实数形结合思想，查漏补缺.
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.利用函数图象解决实际问题的核心方法是什么？
3.利用函数图象解决实际问题的核心思想是什么？
4.在观察函数图象时有哪些注意事项？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
特色作业
主题：解码生活场景，用函数图象解决实际问题
任务：选取打车计费、手机套餐收费、水池注水等生活场景，收集收费标准或变化数据，绘制对应的函数图象；标注图象的起点(与y轴交点)、变化快慢、图象交点等关键特征，解读其实际含义；借助图象分析费用最值、最优选择等问题完成探究分析记录.
要求：场景真实，数据准确；图象绘制规范，坐标轴与关键点标注清晰；结合图象特征阐述解题思路，体现数形结合思想；语言简洁，逻辑通顺，记录不少于150字，独立完成探究.