相关系数、决定系数专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份相关系数、决定系数专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
(1)求关于的样本相关系数，并据此判断与的线性相关性强弱；（的值精确到0.01）
(2)若该社区2026年计划投入健身设施维护、更新的资金为25万元，求关于的线性回归方程，并预测该社区2026年参与健身的居民总人次.
附：（ⅰ）在线性回归方程中，，；
（ⅱ）样本相关系数，若，则可判断与的线性相关性很强；
（ⅲ），，，.
【答案】(1)0.99，与的线性相关性很强.
(2)，46.3千人次.
【分析】（1）根据给定的数据代入相关系数公式计算，进而推断相关程度；
（2）利用最小二乘法求出线性回归直线方程，进而将代入计算即可.
【详解】（1）依题意得
，
因为，所以与的线性相关性很强.
（2）这10年每年用于健身设施维护、更新的资金投入的平均数
，
这10年每年参与健身活动的居民总人次的平均数
.
，，
所以线性回归方程为.
将代入，得，
即预测该社区2026年参与健身的居民总人次约为46.3千人次.
例2．（2026·湖南·一模）某科技公司统计了过去10年每年的研发投入（单位：亿元）和营业额（单位：亿元）的数据，如下表：
参考数据：，，，．
参考公式：相关系数．
(1)估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额；
(2)求样本的相关系数（精确到0.01）；
(3)已知与的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额．
【答案】(1)12，650
(2)
(3)710亿元
【分析】（1）利用平均数的计算方法求和.
（2）将所给数据代入相关系数计算公式进行计算即可.
（3）根据线性回归方程必过样本中心点确定的值，再利用回归方程进行预测即可.
【详解】（1）平均每年的研发投入为
平均每年的营业额为
．
（2）将所给数据代入相关系数计算公式得
．
其中，所以.
（3）由题意知，回归直线过样本中心点，即，解得．
所以回归方程为．将代入回归方程，得，故预测该公司今年的营业额为710亿元．
例3．（2026·河北沧州·二模）某人统计了2020-2024年某网站“双11”当天的交易额，统计结果如表：
(1)请根据表中提供的数据，用样本相关系数说明与的线性相关程度；
(2)求出关于的经验回归方程，并预测2027年该网站“双11”当天的交易额.
附：在经验回归方程中，，，，
【答案】(1)非常接近1，说明变量与的线性相关程度很强
(2)，38.5百亿元
【分析】（1）根据表格里的数据与公式计算样本相关系数的值，再根据的取值判断线性相关程度；
（2）利用问题（1）中已算出的数据以及公式计算出的值，再代入样本中心点得的值，即得关于的经验回归方程，可得答案.
【详解】（1）由题意，根据表格中的数据，
可得，，
，，
，
故，
所以，
非常接近，说明变量与的线性相关程度很强.
（2）由（1）可得，，，，
所以，
则.
可得关于的经验回归方程为，
令，可得，
所以预测2027年该网站“双11”当天的交易额为38.5百亿元.
变式1．（2026·陕西西安·模拟预测）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示：
(1)计算与的相关系数（保留三位小数）；
(2)求关于的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量．
参考公式：．
参考数值：．
【答案】(1)；
(2)，2.9万辆．
【详解】（1）由题意，，
则，，
则．
故与的相关系数为．
（2）由（1），
则，
故关于的线性回归方程为，
令，则，
故可预测该地区2026年新能源汽车购买数量为万辆.
变式2．（2026·江苏南京·一模）为研究昼夜温差（单位：）与某植物种子当日的百粒发芽数（单位：粒）之间的关系，实验室记录了6天的每日昼夜温差与种子当日的百粒发芽数，如下表所示：
(1)根据表中的数据，计算样本相关系数（精确到0.01）；
(2)求百粒发芽数关于温差的经验回归方程，并估计昼夜温差为时，这种植物种子当日的百粒发芽数．
参考公式：相关系数，
，，
参考数据：，，，．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据条件，直接计算，即可求解；
（2）根据条件，直接求出，即可求出线性回归方程，再将代入，即可求解.
【详解】（1）相关系数．
（2）由题意得，，
所以，，
所以所求的经验回归方程是，
当时，，
故当昼夜温差为时，这种植物种子当日百粒发芽数为．
变式3．（25-26高二下·河南南阳·月考）实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价（元）与网上月销量（万件）的数据如下：
(1)求相关系数（保留3位小数），并说明与的线性相关程度；
(2)建立关于的线性回归方程；
(3)若月销量不低于万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整数）
（参考数据：，，，，）
（参考公式：，）
【答案】(1)，与完全线性负相关.
(2)
(3)定价最高为元.
【详解】（1），，
故
，
故与完全负相关.
（2），故，
故回归方程为.
（3）由题设，此时，故，故定价最高为元.
考点二 决定系数
例1．（25-26高三下·江西景德镇·月考）某学校校庆时统计连续5天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下：
(1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r加以说明（保留小数点后两位）；（若＞0.75，则认为y与x的线性相关性很强），并求出y关于x的线性回归方程；
(2)校庆期间学校开放1号门、2号门和3号门供校友出入，校友从1号门、2号门和3号门进入学校的概率分别为，若校友从某个门进入学校，则其从该门出学校的概率为，从其他两个门出学校的概率各为.假设校友从1号门、2号门、3号门出入学校互不影响，现有甲乙丙丁4名校友于10月1日回母校参加活动，设X为4人中从2号门出学校的人数，求X的期望及方差.
附：参考数据：.
参考公式：回归直线方程y＝bx＋a，其中.相关系数.
【答案】(1)，说明见解析，
(2)，.
【分析】（1）求出，将参考数据代入相关系数公式，求出的值，即可得出结论；再将数据代入最小二乘法公式，求出、的值，即可得出回归直线方程；
（2）利用全概率公式求出每个人从2号门出校园的概率均为，由此可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可得出的值.
【详解】（1）依题意，，而，，，
则.
因为时线性相关程度高，所以与线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合.
，，
因此，回归方程为.
（2）记“甲从2号门出学校”为事件，“甲从1号门进学校”为事件，
“甲从2号门进学校”为事件，“甲从3号门进学校”为事件，
由题意可得，，，
，，
由全概率公式得： ，
同理乙、丙、丁从2号门出学校的概率也为，
为4人中从2号门出学校的人数，则，
，，
，，
，
故的分布列为：
，.
例2．（2026·广东广州·模拟预测）某公司为了了解A商品销售收入（单位：万元）与广告支出（单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为.
(1)求的值；
(2)现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望；
(3)已知，且当时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据，判断经验回归方程的拟合效果是否良好.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)经验回归方程的拟合效果不良好
【分析】（1）求出根据回归直线必过样本中心点求解即可；
（2）可能取值为，求出对应概率，进而得到分布列和期望；
（3）求出代入公式，即可得到答案.
【详解】（1），
，
因为，即，
解得.
（2）5组数据中，两组数据残差为正值，三组数据残差为负值，
所以可能取值为，
，
，
，
所以X的分布列为
期望.
（3），
，
所以经验回归方程的拟合效果是不良好.
例3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的经验回归方程为.
(1)请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量；
(2)（i）完成上述残差表；
（ii）在统计学中，常用决定系数来刻画回归效果，越大，模型拟合效果越好，并用它来说明响应变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，计算决定系数，并判断模型的拟合效果.(计算中数据精确到0.01)
(附：残差，决定系数)
【答案】(1)吨.
(2)残差表见解析；，拟合效果较好.
【分析】（1）先求出平均数，代入经验回归方程即可求出b，从而求解.
（2）（i）根据经验回归方程求解，从而可得；
（ii）根据公式求出决定系数，进而判断.
【详解】（1）根据题中数据可知，，
将样本中心点的坐标代入经验回归方程得
，解得，
所以经验回归方程为.
当时，，
即当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量为吨.
（2）（i）由经验回归方程可得
，；
，；
，；
，；
，.
所以残差表如下：
（ii）由上数据可知，
，
所以决定系数，与1比较接近，
所以拟合效果较好.
变式1．（2025·云南·模拟预测）自2021年以来，新能源汽车因其动力充沛､提速快､用车成本低等特点得到民众的追捧，某地区电动汽车保有量呈现快速增长趋势，下表给出了近5年该地区的电动汽车保有量（单位：万辆）.
若用作为该数据的回归直线模型，并已求得，
(1)结合已知数据求出2023年该地区的电动汽车保有量，并预测2030年该地区的电动汽车保有量；
(2)若已知，求此模型下的决定系数（精确到0.01）.
参考公式及数据：一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，决定系数.
【答案】(1)3.4万辆，14.52万辆.
(2)0.93
【分析】（1）首先根据回归直线方程过样本点中心，根据求2023年汽车的保有量；
（2）首先求的值，再代入决定系数公式，即可求解.
【详解】（1）由题意可得，且，
所以，
所以2023年电动汽车保有量万辆.
2030年对应的年份编号为10，代入回归直线方程，可求得.
即在2030年时，电动汽车保有量可能为14.52万辆.
（2），
所以决定系数.
变式2．（2025·广西南宁·模拟预测）现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本（单位：万元）和企业利润的数据（单位：万元）如下表所示：
根据最小二乘法公式求得经验回归方程为.
(1)求的值，并利用已知的经验回归方程求出8月份对应的残差值；
(2)请先求出线性回归模型的决定系数（精确到0.0001），若根据非线性模型求得解释变量（物流成本）对于响应变量（利润）的决定系数，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好.
参考公式及数据：，，.
【答案】(1)，；
(2)，拟合程度更好.
【分析】（1）根据经验回归方程过样本中心点，先由经验回归方程和的平均数，求出的平均数，再根据平均数的定义求出；然后根据残差定义计算8月份的残差.
（2）先求出残差平方和，再代入公式计算，最后与非线性回归模型的比较大小，即可判断.
【详解】（1）因为，，，
则，解得；
8月份对应的残差值.
（2）因为，
所以，
所以，
所以线性回归模型拟合程度更好.
变式3．（24-25高二下·广东江门·月考）台山市镇海湾蚝是台山市著名的特产，因镇海湾的生蚝田处于咸淡水交汇之地，所以这里的生蚝长得比其他地方肥大，味道更加鲜美．2023年镇海湾某养殖基地考虑增加人工投入，根据市场调研与模拟，得到人工投入增量x人与年收益增量y万元的数据和散点图分别如下：

根据散点图，建立了y与x的两个回归模型：
模型①：；模型②：
(1)求出模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）；
(2)比较模型①，②的决定系数的大小，说明哪个模型拟合效果更好，并用该模型预测，要使年收益增量超过80万元，人工投入增量至少需要多少人？（精确到1）
线性回归方程的系数：
，；
模型的决定系数：．
参考数据：令，则，且，，，；模型①中；模型②中．
【答案】(1)
(2)模型①中的决定系数小于模型②的决定系数；模型②的拟合效果更好；人工投入增量至少需要20人.
【分析】（1），先求出关于的线性回归方程，进而可求y关于x的回归方程；
（2）代入公式分别求出模型①和模型②的决定系数比较大小即可，进而可判断模型②的拟合效果更好；再通过解不等式即可得至少人工投入增量人数.
【详解】（1）令，则模型②为：，
由，，，，
得，
，
所以模型②中y关于x的回归方程是.
（2）模型①中的决定系数，
模型②的决定系数，
因为，所以模型①中的决定系数小于模型②的决定系数，
所以模型②的拟合效果更好.
在模型②下，年收益增量超过80万元，
则有，所以，
所以人工投入增量至少需要20人.考点目录
相关系数
决定系数
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
2025
/万元
18
20
19
21
22
17
20
19
21
23
/千人次
32
36
34
38
40
30
37
35
39
42
/亿元
12.1
12.5
11.3
12.4
13.1
11.5
11.0
11.3
12.6
12.2
/亿元
650
680
620
660
695
640
600
630
665
660
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份代码
1
2
3
4
5
交易额百亿元
9
12
17
21
26
年份
2019
2020
2021
2022
2023
购买量（万辆）
0.40
0.70
1.10
1.50
1.80
日期编号
1
2
3
4
5
6
温差
9
13
11
15
10
14
百粒发芽数
23
28
26
31
25
29
日期
10月1日
10月2日
10月3日
10月4日
10月5日
第x天
1
2
3
4
5
参观人数y（千人）
2.2
2.6
3.1
5.2
6.9
0
1
2
3
4
2
5
6
8
9
16
20
21
28
10.96
19.24
22
27.52
30.28
0
1
2
海水浓度（‰）
3
4
5
6
7
亩产量 (吨)
0.62
0.58
0.49
0.4
0.31
残差





海水浓度（‰）
3
4
5
6
7
亩产量 (吨)
0.62
0.58
0.49
0.4
0.31
残差




年份
2021
2022
2023
2024
2025
年份编号
1
2
3
4
5
电动汽车保有量
1.5
2.5
4.9
7.8
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
物流成本
83
83.5
80
86.5
89
84.5
79
86.5
利润
114
116
106
122
132
114
132
残差
0.2
0.6
1.8
-3
-1
-4.6
x
2
3
4
6
8
10
13
y
13
22
31
42
50
56
58