求数列最值（单调性法和不等式法）专项训练-2026届高考数学二轮复习

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(1)当数列为等差数列时，求的通项公式及；
(2)当在单调递增时，设，求的值；
(3)当数列为等比数列且为摆动数列时，设，求的最大值和最小值.
【答案】(1)，
(2)
(3)最大值为1，最小值为
【详解】（1）当数列为等差数列时，设其公差为，
由题意得，所以，
所以，
.
（2）若数列为等差数列，由（1）知，显然在不单调；
故数列为等比数列，设公比为，则，解得或，
当 ， 时，，，易知在单调递增；
当 ， 时，，，易知在不单调，
所以，
由，
可得.
（3）当数列为等比数列时，由（2）知或，
又为摆动数列，所以，，
所以，
当为奇数时，单调递减，故当时取得最大值1，且，
当为偶数时，单调递增，当时取得最小值，且，
所以的最大值为1，最小值为.
例2．（25-26高三上·湖北孝感·月考）（1）已知数列的前项和，求数列的通项公式；
（2）已知数列的通项公式.试判断是否有最大值并说明理由.
【答案】（1）（2）有最大值，理由见解析
【详解】（1）因为数列的前项和，
所以当时，，
所以，
当时，不符合上式，
所以
（2）因为，
当时，，则，
结合函数单调性可知此时数列单调递减，
当时，，则，
结合函数单调性可知，此时数列单调递减，
故，
故数列最大项为.故的最大值为6.
例3．（25-26高三上·福建厦门·月考）记等差数列的前n项和为，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，记数列的前n项和为，求；
(3)若恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d，
则，
解得，
所以数列的通项公式为；
（2）由，
可得，
所以
；
（3）因为，且，
所以，
易知单调递减，
所以，
所以，
故实数m的取值范围为.
例4．（25-26高三上·湖南邵阳·月考）设是等差数列，，且，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，且，，成等比数列，
所以，
解得，
所以.
即的通项公式为；
（2）因为，，
所以，
可知当或时，最小，
最小值为.
变式1．（2025·广东江门·模拟预测）已知数列的前项和为．
(1)证明：是等比数列．
(2)求数列的前项和．
(3)若，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)
【详解】（1）因，
则
即，从而是等比数列；
（2）由（1）是以为首项，公比为的等比数列.
则，从而
，两式相减可得：
则；
（3）由（2），
，又，则.
，当时，易得，
当时，，.
即，当时，，则为递增数列，则.
即.
变式2．（25-26高三上·湖北十堰·月考）已知数列中， (且)．
(1)若，求数列中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的，都有成立，求的取值范围．
【答案】(1)最大项为，最小项为
(2)
【详解】（1）∵，(，且).
又，∴ ()．
因为函数在和上单调递减，
可知，（）.
∴数列中的最大项为，最小项为.
（2），
已知对任意的，都有成立，
因为函数在和上单调递减，
可知，即.
故的取值范围是．
变式3．（25-26高二上·浙江舟山·期末）已知数列中，．
(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)数列满足，设为数列的前项和，求使恒成立的最大的整数．
【答案】(1)证明见解析；.
(2)0
【详解】（1）因为，且，
所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列.
所以
（2）由题意.
所以，
.
两式相减得：.
所以.
由.
所以，所以，
由恒成立得，所以整数的最大值为0.
变式4．（25-26高三上·重庆·月考）已知数列满足的前项和为.
(1)证明为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)记的前项和为.若存在，使得成立，求正实数的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）已知 ，两边同时取倒数可得 ，
则 .
又 ，所以 .
所以 是以 为首项，为公比的等比数列.
由等比数列通项公式可得 ，
则 ，所以 .
（2）由 ，可得 ，
，①
，②
①－ ②得：，
根据等比数列求和公式可得：，
所以 .
由 ，可得
将 和 代入不等式可得：，
化简得：，
即，
当 为奇数时， ，则 ，
因为 ，所以 ；
当 时， 取得最大值，所以 ，无解；
当 为不小于2的偶数时， ，则 0 ，
即 .
因为 随着 的增大而增大，
所以当 时， 取得最小值 ，
所以 ，解得 或 .
又因为为正实数，所以，
综上，实数 的最小值为 .
考点二 不等式法求数列最值
例1．（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知数列各项均为正数，，且对任意的，有．
(1)求的值；
(2)若，是否存在，使得？若存在，试求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)2
(2)存在，2018．
【详解】（1）因为，
所以，即，
，
，
…
，
累加得，
所以，
可得．
（2）因为，
所以单调递增，得，
由得，
则，
因为（，，，），则，
所以，解得，
此时，，
又因为，
所以，
解得，
即数列满足，
综上所述，存在符合题意的使得，且的最小值为2018．
例2．（25-26高三上·江苏苏州·期中）已知数列的前n项和为，且，其中．
(1)求数列的通项公式．
(2)设数列满足为的前n项和，求证：．
(3)已知正整数且，对有恒成立，正整数的最大值为8，求m和d的值．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)
【详解】（1）已知，，
因为，当然，所以．
由于，且，故．
于是，
所以．
（2），得
．
，
设，
则
故，
注意到，所以，
特别地，从而1），
所以．
（3）由（1）得，
则，取等，
，
对恒成立可得：，
正整数的最大值为8，因此给定时取等号，
即，整理得，
当时，得，因为，枚举可得．
综上所述，存在正整数，
使得成立．
例3．（24-25高三下·上海·月考）已知数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，问是否存在正整数m，使得成立，并说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析.
【详解】（1）当时，，
当时，.
又注意到，符合上式，则；
（2）即判断是否成立，由（1）可得，，
则
，则当时，；时，.
则在时，取最大值，则，因，
则不存在正整数m，使得成立.
例4．（25-26高三上·广东广州·月考）若一个数列由两个变量和共同控制，则称这样的数列为“双数列”，当时，可记为，在研究这样的数列问题时，一般将一个变量视为固定值，已知数列中，，，给定双数列
(1)求数列的通项公式；
(2)现固定的值且，求；
(3)设双数列，固定的值且满足，，则当取何值时，取得最大值.（结果用含的表达式表达）
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意得， ，，，
故当时，，
也满足，故对任意的，.
（2）因为，由题意可得，
故，
又因为，故.
（3）因为，，可得，
由题意得，
因为值被固定，故其可视为常数，记作，
当时，，当时，，
当时，要有取得最大值，则有，即，，
，
，
当时，由于，不存在，
故分母不可能为，即，
有，分析可得当时，，
而，
故在此之前数列一直递增，时，，而
，
故在此之后数列一直递减，即，
又题干中满足，，故，
因此，当或时，取得最大值
变式1．（25-26高三上·安徽宣城·月考）已知每项均不为0的数列满足：，.
(1)若，求的值；
(2)若，，求数列的最大项；
(3)记为数列的前项和，是否存在满足条件的数列，使得？如存在，求出这样的数列的一个通项公式；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，.
【详解】（1）因为，所以或，
因为，所以或，
当时，，或，不满足题意，舍去；
当时，或，
若时，或，不满足题意，舍去；
若时，或，满足题意，
所以.
（2）由，得，所以数列为等差数列，其通项为.
则，所以，
令，解得，即时有，
令，解得，即时有，
所以，
所以数列的最大项为.
（3）由，可构造数列，满足.
变式2．（24-25高三上·福建厦门·期中）已知数列的前项和为，，（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，可得：
时，，两式相减可得：，所以，
时，，所以，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，的通项公式为
（2），.
，
，
两式相减得：，
所以，
因为恒成立，可得，
记，
法一：
令，则，解得，
则，即当时，取到最大值2，
可得，所以实数的取值范围.
法二：
，
时，，即，
时，，即，
则，即当时，取到最大值2，
可得，所以实数的取值范围
变式3．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）记为等差数列的前项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求使取得最大值时的值．
【答案】(1)；
(2)3.
【详解】（1）解：因为为等差数列，且，，
所以当时，则有，
两式相减，得（为等差数列的公差），
解得；
当时，则有，
即，，
解得，
所以；
（2）由（1）知，
所以，
所以，
当取得最大值时，
则有，即，
整理得，解得，所以
又因为，
解得，
所以最大，且.
所以当取得最大值时，.
变式4．（25-26高三上·山西运城·月考）已知数列满足．
(1)计算，猜想的通项公式并加以证明；
(2)设，求使数列取得最大值时n的值．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意得，，猜想，
式子可化为，
因为，所以，
因此数列的通项公式为，得证．
（2）由得，，所以，
若，当且仅当成立，则，
当时，，
当时，，
故时，取最大值.考点目录
单调性法求数列最值
不等式法求数列最值