离散型随机变量的分布列与数学期望专项训练——2026届高考数学二轮复习

这是一份离散型随机变量的分布列与数学期望专项训练——2026届高考数学二轮复习，共14页。
例1．（2026·湖南邵阳·一模）国家近年来对机器人的研究，尤其是在人形机器人和具身智能领域方面，出台了一系列的政策，旨在推动技术创新、产业升级和规模化应用．某学校为响应国家号召，培养学生的创新能力，举办机器人比赛，经过初赛，甲班团队和乙班团队进入了决赛阶段．决赛阶段规定：对每一轮比赛，获胜方记1分，另一方记0分，无平局；当两团队累积得分的分差为3分时，比赛结束，累积得分高的团队获冠军．若每轮比赛中，甲班团队获胜的概率为，且每轮比赛的结果相互独立．
(1)若比赛结束时恰好进行了3轮比赛，求甲班团队获得冠军的概率；
(2)（i）若比赛最多进行5轮，求比赛结束时比赛轮数的分布列及数学期望；
（ii）若比赛轮数不限制，求甲班团队获得冠军的概率．
例2．（25-26高三上·安徽合肥·月考）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：
已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为．
(1)请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
(3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值．
例3．（25-26高二上·江西宜春·期末）赣正如火如荼地举行中，宜春队2名队员在某次训练时，推出的球车中装有个篮球，其中个是新的，个是旧的.进行两次取球使用：每次从球车中任取个球来用，用完后放回球车中（新球用完后变为旧球）.设第一次取出的新球数为，第二次取出的新球数为.设最终球车中旧球数为.
(1)求的概率；
(2)已知最终球车中旧球数为，求第一次取出的新球数不超过的概率；
(3)求的分布列和数学期望.
例4．（25-26高三上·江西抚州·期末）某学校组织“学党史、强信念、跟党走”为主题的知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题作答，先进行组答题，只有组的两道题均答对，方可进行组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学组每道题答对的概率均为，组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3道题才可获得一张奖券.
(1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为，求的分布列与数学期望；
(2)若甲同学进行了10轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由.
变式1．（25-26高三上·陕西西安·期末）为了调查某地区8~14岁的青少年的体重情况，研究人员随机抽取了该地区部分年龄在8~14岁的青少年的体重，所得数据合理分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值，并估计该地区8~14岁的青少年体重的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)假设每人的体重相互独立，用频率估计概率，若从该地区所有8~14岁的青少年中随机抽取3人，记体重在的人数为，求的分布列和期望.
变式2．（24-25高三下·贵州贵阳·月考）每年12月4日是全国普法宣传日，某校对高三年级600名学生法治素养现状进行调查研究，举行了一次“普法知识”竞赛.从中随机抽取60名学生，统计结果如下：获奖人数占总人数的，其中获奖人数中，男生占，不获奖人数中，女生占．
(1)现从这60名学生中随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率；
(2)对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人，参加赛后经验交流活动.若从这8人中随机选取2人.
①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到1名男生和1名女生的概率；
②记X为入选的2人中的女生人数，求随机变量X的分布列及数学期望．
变式3．（2026·贵州·模拟预测）为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召若干名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄（单位：岁）分成这5组，得到的频率分布直方图如图所示，已知年龄在内的人数为5.
(1)求环境保护宣传组织的成员总人数；
(2)若用分层抽样的方法从年龄在内的志愿者中抽取6人参加某社区的宣传活动，再从抽取的6名志愿者中随机抽取2名志愿者进行环境保护知识宣讲，求至少有1名年龄在内的志愿者被抽中的概率；
(3)在（2）的条件下，该社区为了感谢2名进行环境保护知识宣讲的志愿者，为他们各随机派发价值80元、100元纪念品一件，求2人的纪念品总价值的分布列及期望.
变式4．（2026·云南大理·二模）从某校学生中随机抽出50名学生参加消防安全知识竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．数据的分组依次为，，，，，．
(1)求图中a的值，并估计这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)从成绩在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，记选出的2人中成绩在内的人数为X，求X的分布列及数学期望．
考点二 数学期望的最值问题
例1．（24-25高三上·福建厦门·月考）某口罩生产厂商不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于的为二级口罩，质量指标值不低于的为一级口罩．
(1)求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第百分位数；
(2)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取个口罩，再从中抽取个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差；
(3)在年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲､乙两人在两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值．
例2．（24-25高二下·广东梅州·期末）某超市计划每天订购一种面包，每个面包的成本价为4元，售价为7元，当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉．根据销售经验，每天需求量与当天超市的客流量有关：如果超市的客流量不低于5000，需求量为150个；如果超市的客流量位于区间，需求量为100个：如果超市的客流量低于3000，需求量为60个．为了确定订购计划，统计了前100天的客流量数据，得到下面的频数统计表：
以超市的客流量位于各区间的频率作为客流量位于该区间的概率．
(1)求该超市这种面包一天的需求量不少于100个的概率：
(2)若该超市计划每天订购这种面包120个，求一天销售这种面包的利润的数学期望；
(3)设该超市一天销售这种面包的利润为Y（单位：元）．当该超市这种面包一天的进货量n（单位：个）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
例3．（2025·河北廊坊·模拟预测）随着时代的进步、科技的发展，“网购”已发展成为一种新的购物潮流，足不出户就可以在网上买到自己想要的东西.某网店为了解网民在该网店的购物情况，从某天交易成功的所有订单中随机抽取了100份，按购物金额（单位：千元）进行统计，并将其分成以下六组：，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
(1)若该网店平均每天有100个订单，试计算样本平均数与中位数，并估计该网店一年的总销售额（一年按365天计算）；
(2)2024年“双十一”期间，该网店在两件畅销商品的页面均设置了一个“限时抢红包”的环节，每人在每个页面最多只能抢到一个红包，其中每个红包由百元现金券组成，该现金券可以在购物时直接抵减相应金额.现甲参加了这两件商品的“限时抢红包”活动，设甲在商品页面抢到红包的概率分别为，且这两次红包是否抢到互不影响.分别记甲抢到的红包总数量为，红包总金额为百元.
（i）求的分布列及数学期望；
（ii）求的数学期望取最大值时正整数的值.
变式1．（24-25高二下·河南·期中）2024年某校一次高二数学适应性考试中选择题由单选和多选两种题型组成.单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得3分，有错误选择或不选择得0分.
(1)已知某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立，记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量.
（i）求；
（ii）求使得取最大值时的整数；
(2)若该同学在解答最后一道多选题时，除确定B，D选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答.已知此题正确答案是两个选项与三个选项的概率均为，求该同学在答题过程中使得得分数学期望最大的答题方式，并写出得分的最大数学期望.
变式2．（24-25高三上·福建·开学考试）某工厂生产的产品分为一等品、二等品和三等品.已知生产一件产品为一等品、二等品、三等品的概率分别为，且.从该工厂生产的产品中随机抽取n件，设其中一等品的数量为X，二等品的数量为Y.
(1)已知X的数学期望，X的方差，求的值.
(2)若，且，求的值.
(3)已知，，在抽取的n件商品中，一等品和二等品的数量之和为M. M的数学期望是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，说明理由.
变式3．（2025·广东惠州·模拟预测）海参中含有丰富的蛋白质、氨基酸、维生素、矿物质等营养元素，随着生活水平的提高，海参逐渐被人们喜爱．某品牌的海参按大小等级划分为5、4、3、2、1五个层级，分别对应如下五组质量指标值：，，，，．从该品牌海参中随机抽取10000颗作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图．
(1)质量指标值越高，海参越大、质量越好，若质量指标值低于400的为二级，质量指标值不低于400的为一级．现利用分层随机抽样的方法按比例从不低于400和低于400的样本中随机抽取10颗，再从抽取的10颗海参中随机抽取4颗，记其中一级的颗数为X，求X的分布列及数学期望；
(2)甲、乙两人计划在某网络购物平台上参加该品牌海参的订单“秒杀”抢购活动，每人只能抢购一个订单，每个订单均由箱海参构成．假设甲、乙两人抢购成功的概率均为，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量为Y，抢到海参总箱数为Z．
①求Y的分布列及数学期望；
②当Z的数学期望取最大值时，求正整数n的值．考点目录
离散型随机变量的分布列与数学期望问题
数学期望的最值问题
性别
打篮球
合计
喜爱
不喜爱
男生
6
女生
10
合计
48
客流量
天数
6
14
27
23
21
9