等差数列9种高频考点专项训练-2026届高考数学二轮复习

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例1．（2026·山东临沂·一模）已知等差数列的前n项和为，若和的等差中项为6，则（ ）
A．6B．9C．12D．15
例2．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
例3．（25-26高二下·广西玉林·月考）等差数列的前n项和为，公差为d，且，则______．
例4．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的首项为为其前项和，若也是等差数列，则__________.
变式1．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）等差数列中，，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
变式2．（2026·甘肃兰州·一模）为等差数列的前项和.若，则公差（ ）
A．0B．1C．2D．3
变式3．（25-26高三上·贵州遵义·期末）记为等差数列的前项和，若，，则______.
变式4．（25-26高三上·湖北武汉·月考）记为等差数列的前项和，若，，则_____.
考点二 等差中项
例1．（2026·浙江宁波·二模）设是与的等差中项，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
例2．（25-26高三上·湖南邵阳·月考）已知，则的等差中项为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2026·广东深圳·一模）已知等差数列的前项和为，且，，则______.
例4．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知正数，，成等差数列，则的最小值为______.
变式1．（24-25高二上·天津和平·期末）已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（ ）
A．3B．C．4D．
变式2．（24-25高三上·福建厦门·月考）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（ ）
A．8B．6C．4.5D．3
变式3．（25-26高二上·山东菏泽·月考）在等差数列中，，则的值为________.
变式4．（25-26高三上·云南·月考）已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为___________.
考点三 等差数列通项公式的函数性质
例1．（25-26高三下·广西桂林·月考·多选）已知数列满足，，则（ ）
A．数列是等差数列B．
C．数列的前n项和D．数列是递减数列
例2．（2026·安徽安庆·二模·多选）已知等差数列的公差为，其前项和为，且，则（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
变式1．（25-26高二上·江苏常州·期末·多选）已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（ ）
A．数列为递减数列B．
C．的最大值为D．使得时的最大值是14
变式2．（25-26高二上·广东韶关·期末·多选）若数列为等差数列，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列单调递增
C．-20是数列中的项D．数列前7项和最大
考点四 等差数列前n项和的函数性质
例1．（2026·四川成都·二模·多选）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（ ）
A．B．
C．当时，取得最大值D．取得最小正值时为31
例2．（2026·辽宁抚顺·模拟预测·多选）已知数列是公差大于2的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列，公比为，则（ ）
A．的公差为3B．
C．既存在最大值又存在最小值D．只存在最大值不存在最小值
变式1．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模·多选）记数列的前项和为，若，且，则（ ）
A．B．是等差数列
C．D．当时，有最小值
变式2．（25-26高二上·河北石家庄·期末·多选）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（ ）
A．首项B．
C．当时，取得最大值D．取得最小正值时为27
考点五 等差数列片段和的性质
例1．（2026·山东德州·一模）数列中，，对，有，若，则（ ）
A．8B．9C．10D．11
例2．（2026·河北张家口·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．18B．19C．20D．21
例3．（25-26高三上·山西晋中·月考）等差数列中，为其前项的和．若，，则_______．
例4．（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知等差数列前项和，则__________.
变式1．（25-26高二上·河南郑州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
变式2．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知是等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．60B．50C．90D．70
变式3．（25-26高二上·吉林四平·月考）已知等差数列的前项和为，若，则______________.
变式4．（25-26高三上·广东东莞·月考）已知为等差数列的前项和，若，则______．
考点六 两个等差数列的前n项和之比问题
例1．（25-26高二上·河北邢台·期末）设等差数列的前项和分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
例2．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
例3．（24-25高二下·江西·月考）设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为__________.
例4．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）等差数列，的前项和分别为，，且，则_________；若的值为正整数，则_________．
变式1．（25-26高二上·广东惠州·期末）若两个等差数列和的前项和分别是和，已知，则（ ）
A．B．C．D．
变式2．（25-26高二上·天津南开·期末）已知等差数列的前项和分别为，且，则（ ）
A．B．C．D．
变式3．（25-26高三上·天津津南·月考）已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____.
变式4．（25-26高三上·江苏泰州·月考）已知等差数列，前项和分别为和，若，则______.
考点七 含绝对值的等差数列前n项和
例1．（25-26高二上·湖北·期末）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求和的通项公式；
(2)求．
例2．（25-26高三上·山西临汾·期末）已知数列满足，，数列为等差数列，为与的等差中项，且.
(1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
变式1．（25-26高三上·河南信阳·期末）设数列是等差数列，是等比数列.已知，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前n项的和.
变式2．（25-26高二上·湖北·月考）已知数列的前项和为，且.
(1)求证: ，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和；
考点八 等差数列奇数项或偶数项的和
例1．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则数列项数为（ ）
A．11B．19C．9D．21
例2．（25-26高三上·天津河西·期末）在等差数列中，已知，公差，那么这个数列前100项的和等于（ ）
A．51B．100C．150D．200
例3．（25-26高二上·天津·月考）等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则______．
例4．（24-25高三上·江西赣州·月考）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则__________．
变式1．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（ ）
A．B．C．D．
变式2．（25-26高二上·江苏苏州·月考）若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（ ）
A．4B．5C．9D．11
变式3．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知等差数列中，前项的和是99，其中奇数项和是55，且，则通项公式为______．
变式4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是______.
考点九 等差数列的应用
例1．（25-26高三上·内蒙古·期末）据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯___________盏．
例2．（2026·重庆·模拟预测）在日常好友聚会时，为了助兴通常会玩一种“数七”的游戏：参与游戏的人围坐一圈，随机选择一人从1开始报数，围坐的人按逆时针座位顺序依次报数，所报数字比上一人报数增加1.当报数的数字为7的倍数，或所报数字各数位上含有数字7时，不能直接报出此数字，需报出“过”代替，例如按序需报数7，14，17……等数字的报数人则不报该数，直接报“过”，直到有人报错，该轮游戏结束.在某轮游戏中小明报数为31，且在这次报数之前没有报“过”，则参与本轮游戏人数至少是_____________人.
例3．（2025·广东广州·模拟预测） 2024年11月17日，我国自主设计建造的大洋科考钻探船“梦想”号在广州正式入列，标志着我国深海探测关键技术装备取得重大突破．假设在“梦想”号的某次试钻中钻探深度需达11000米，钻探进度如下：第1天钻探深度为600米，受海底地质条件的影响，之后每天的钻探深度较前一天都有所减少，且每5天的日钻探深度的减少量增加4米．具体为：第天每天钻探深度比前一天减少5米，第天每天钻探深度比前一天减少9米，，依次类推，则要完成钻探任务至少需要的天数为______．
变式1．（2025·北京平谷·一模）《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了__________尺布.”
变式2．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层空心球.最内层的空心球上有2个雕孔，向外每层雕孔依次增加固定的数量.制作3个层数分别为3，6，m的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕孔，3个鬼工球之间的雕孔数相差最多为36，则__________.

变式3．（24-25高三上·北京·月考）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，则该数列的公差为__________，春分时节的日影长为__________尺.考点目录
等差数列通项公式与前n项和的计算
等差中项
等差数列通项公式的函数性质
等差数列前n项和的函数性质
等差数列片段和的性质
两个等差数列的前n项和之比问题
含绝对值的等差数列前n项和
等差数列奇数项或偶数项的和
等差数列的应用