集合4种高频考点专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份集合4种高频考点专项训练-2026届高考数学二轮复习，共15页。
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】对方程求解得或，因此集合；
已知全集，则；
而，则.
例2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】化简集合，分式不等式等价于，
整理得，
解得或，即，
化简集合，对数函数要求真数大于0，
即，解得，即，
，.
故选：A
例3．（2025·河北·三模·多选）已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】已知集合，
当时，；当时，；当时，，
对于A，由对集合分析知，故A不正确，
对于C，由对集合分析知，故C正确；
对于B，当时，，此时，故B正确；
对于D，当时，，故D正确.
故选：BCD.
例4．（24-25高三上·甘肃白银·期末·多选）已知集合，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】由题易知，，所以，，
所以，，，故选项A错误，选项B，C，D正确.
故选：BCD.
例5．（2026·安徽合肥·一模）已知集合，，同时满足，，则___________．
【答案】或
【详解】设，若，又，故，此时，与已知矛盾，
故，所以，得，所以，
即集合中的元素互为倒数，
因为，
所以存在，使得且，解得，
又因为，
所以或，
若，则，则；
若，则，则.
综上所述，或．
例6．（2026·山东潍坊·模拟预测）若集合，则__________.
【答案】
【详解】得，则，则
故答案为：
变式1．（2026·吉林白山·二模）设集合，若，则（ ）
A．-3B．C．1D．3
【答案】B
【详解】则，因为 ，所以 ，
所以，解得：或.
当时，，，，不符合条件.
当时，，，，符合条件.
综上，.
变式2．（2026·四川成都·二模）已知集合，．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题可得集合，
所以集合，
所以.
变式3．（2026·河南南阳·模拟预测·多选）已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【详解】全集为，集合M，N，P均为非空集合，由作出如图所示的韦恩图：
由，得，而，
结合韦恩图，得不是的子集，，，不是的子集，
因此选项AD错误，选项BC正确.
故选：BC
变式4．（2026·湖北十堰·一模·多选）已知集合，若集合满足，则可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】对于选项A：若，
满足，符合题意，故A正确；
对于选项B：若，
则，不符合题意，故B错误；
对于选项C：若，
满足，符合题意，故C正确；
对于选项D：因为，
则，不符合题意，故D错误；
故选：AC.
变式5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合为集合的非空子集，且，若，则______．
【答案】
【详解】由，则，又，所以.
故答案为：.
变式6．（2026·河南濮阳·一模）已知全集，则__________.
【答案】
【详解】
，所以.
故答案为：
考点二 集合的子集与真子集
例1．（2026·福建福州·模拟预测）已知集合，则集合A的子集个数为（ ）
A．2B．3C．4D．8
【答案】C
【详解】因为，
所以集合A的子集个数为.
例2．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知集合，，则的真子集的个数为（ ）
A．8B．7C．4D．3
【答案】D
【详解】由，即，解得，
所以，
由，即，即，解得，
所以，
所以，所以的真子集的个数为个.
故选：D
例3．（25-26高一上·浙江·期末）已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为______.
【答案】72
【详解】因为，，
集合B可以为，
所有元素之和为.
故答案为：.
例4．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知集合，则集合的真子集个数为______．
【答案】3
【详解】根据题意，集合，
所以集合的真子集有：，共3个.
故答案为：3
变式1．（2026·山东泰安·一模）已知集合，则的子集个数为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【详解】由，
可得，
所以，
所以的子集个数为，
故选：B
变式2．（2026·河北邢台·一模）已知集合 ，则的子集个数为（ ）
A．4B．7C．8D．32
【答案】C
【详解】解不等式可得，所以，
因为，所以，
故的子集为，故子集个数为.
故选：C.
变式3．（2025·江西·模拟预测）已知集合，则的真子集个数为__________．
【答案】7
【详解】对于集合，当是，，当时，，
当时，，所以，
则其真子集的个数为.
故答案为：
变式4．（2025·河北秦皇岛·一模）已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有__________个.
【答案】7
【详解】由⫋，则集合中一定有元素，
且至少含有其中一个元素，
则这样的集合共有个.
故答案为：7.
考点三 以集合为背景的参数范围问题
例1．（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知关于的方程的解集有个子集，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为关于的方程的解集有个子集，
所以方程恰有一个实数解，
即恰有一个实数解，
令，
则直线与函数的图象有一个交点，
又因为，
所以当时，恒成立，单调递减；
当时，恒成立，单调递增；
当时，恒成立，单调递增；
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
且当时，，当时，，
作出函数的图象，如图所示：
由此可得当或时，直线与函数的图象有一个交点，所以的取值范围是．
故选：D
例2．（2026·新疆·模拟预测）已知、，集合，，若，则（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【详解】已知集合，，且，所以，即.
若，则，此时，，与矛盾，舍去.
若，则，此时，，符合条件.
综上所述，.
例3．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合，，，若，，则______.
【答案】
【详解】由题意得集合，
因为，，所以，
则，，解得，，所以.
故答案为：
例4．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知集合，若，则__________；若，则的取值范围为__________.
【答案】
【详解】即，
则，
所以，
若，则，
，
若，，
则，故的取值范围为.
故答案为：；.
变式1．（2026·江西九江·一模）已知集合，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为集合，，
所以集合与没有公共元素，故，
所以的取值范围是.
故选：B
变式2．（2026·湖北荆州·一模）集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为，则，
又集合，，可得，
所以实数a的取值范围是.
故选：C.
变式3．（2025·湖南长沙·二模）已知集合，若，则m的可能取值组成的集合为______．
【答案】
【详解】，∴．
∴当时，；当时，；当时，，
∴m的值为0，1，，∴m的值为．
故答案为：.
变式4．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知集合，集合，若，则实数__________.
【答案】-3
【详解】，即，若，则，不符合；
若，则，经检验符合题意.
故答案为：-3.
考点四 集合新定义问题
例1．（2025·福建福州·三模·多选）若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则定义.据此，下列命题中不正确的是（ ）
A．若，，且，则
B．若，且，则对任意，都有
C．若，，则存在实数，使得
D．若，，则对任意的实数，总存在实数，使得
【答案】ABC
【详解】A选项，由，，可得，，因为，所以，，故A错误；
B选项，例如：，，满足，但是并不都大于等于，故B错误；
C选项，由，，
当，即时，；
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得，所以不存在实数a，使得，故C错误；
D选项，由，，取，可得，对任意实数a，总存在b使之成立，故D正确.
故选：ABC.
例2．（2025·福建福州·模拟预测·多选）若非空集合，满足条件：
①；②若，，则.
则称为集合的划分.
下列命题正确的是（ ）
A．若为集合的划分，则
B．若为集合的划分，则
C．若，，则为的划分
D．若存在划分，，则
【答案】AD
【详解】对于选项AB：
在集合划分定义中并未要求，但若存在，
则矛盾，故必然成立.
对于选项C：
集合为，而集合为，此时，
不符合集合划分的定义，所以选项C错误.
对于选项D：
若，则，无法划分；
若，则，无法划分；
所以D正确.
故选：AD.
例3．（25-26高三上·安徽·月考）集合 满足下列条件，则被称为 “好集”.
① ，且对任意的 ，其中 且为整数;
②每个集合 中存在一个元素等于 中其他元素的和.
若集合 为 “好集”，我们定义集合 中最大的元素为集合 的一个主元， 所有的主元构成的集合称为 的 “主元子集”.
(1)判断集合 是否为“好集”，若是“好集”，写出它的主元子集，若不是，说明理由.
(2)设 、 为正整数，若集合 为“好集”.
( i ) 证明: ;
(ii) 证明: .并写出等号成立时， 的一个“主元子集”.
【答案】(1)是“好集”，它的主元子集为
(2)( i ) 证明见解析；(ii) 证明见解析；答案见解析
【详解】（1）因为 ，
故它是“好集”，它的主元子集为 .
（2）设集合被分拆为 个不相交的子集 ， ， ，满足题目的要求.
( i )因为在任何一个子集中，元素均不同，且其中总有一个主元，
所以，每个子集中均至少含有三个元素.
又集合中总共有个元素，则 .
(ii) 集合 中所有元素之和为 ，
考虑每个子集中元素的和，
若为子集 的主元，则的所有元素和就是，
显然，所有子集的元素之和小于或等于
，
最后一个不等式成立是因为 .
故 ，
下表为 时，满足题目要求的一个分拆.
故 的一个主元子集为 。
例4．（2025·广东广州·二模）设，集合（为向量），若，定义．
(1)若，且，写出所有的；
(2)若，且，设满足的的个数为，求的值；
(3)从集合中任取两个不同的向量，记，求X的分布列与数学期望．
【答案】(1)；
(2)；
(3)分布列见解析，.
【详解】（1）设，，，
因为，，
所以，，所以，
若，则，
若，则，或，，
所以满足的为：．
（2）法一：因为，，
则满足等价于向量的坐标中有个位置上的值为1，
剩下个位置上的值为0，
即，由二项式定理，，
所以，因此．
法二：因为，，
则满足等价于向量的坐标中有个位置上的值为1，
剩下个位置上的值为0，即．
由帕斯卡恒等式得：，
所以为奇数时，
．
为偶数时，
．
因此；
（3）法一：若，则，，与为不相等的向量矛盾，
所以随机变量的可能取值有，
对于的随机变量，在坐标与中有个对应位置上的值均为1，剩下个对应位置上的值有3种对应关系，
且个对应位置上的值不能同时为0，否则，两个向量相等，
此时所对应情况数为种.
中元素的个数为个，所以.
所以随机变量的分布列为：
所以随机变量的数学期望为.
首先计算：
设，
两边求导得，，
两边乘以后得，
令，得，
所以
所以.
下面计算：
因为，
，
，
，
因为，
所以，所以.
所以..
法二：由题意可知，，
对于的随机变量，在坐标与中有个对应位置上的值均为1，剩下个对应位置上的值有3种对应关系，
且个对应位置上的值不能同时为0，否则，两个向量相等，
此时所对应情况数为种.
中元素的个数为个，所以.
所以随机变量的分布列为：
所以随机变量的数学期望为，
令，因为，
可得
其中，
因为，
所以，，，
所以.
变式1．（2026·辽宁大连·一模·多选）已知集合，其中.定义向量集，若对任意，存在，使，称集合具有性质，则（ ）
A．集合具有性质
B．当时，具有性质的集合有无数个
C．若集合具有性质，且，则
D．已知集合具有性质，且，若，则有穷数列的通项公式为
【答案】ABD
【详解】因为，所以，
因为，
所以对任意，存在，使，即集合具有性质，故A正确；
当时，令，，
则，
因为，
所以对任意，存在，使，即集合具有性质，
因为正数有无数个，所以具有性质的集合有无数个，故B正确；
若集合具有性质，
则取，则只可能是
根据，依次解得：，
因为，且要满足集合中元素互异性，所以,
检验：当时，
，
因为
，
所以对任意，存在，使，即集合具有性质，
当时，
，
因为
，
所以对任意，存在，使，即集合具有性质，故C错误；
由C选项可知：满足，此时
假设满足题意，则取，要使其存在正交向量，
即，因为，所以必须为负数，即，此时，
由，逐一检验可知，只有时，，符合，
以此类推可得：有穷数列的通项公式为，
下证明充分性：
对于任意且
不妨假设，总存在满足，
有穷数列的通项公式为,故D正确；
故选：ABD
变式2．（2025·湖南邵阳·模拟预测·多选）给定实数集，定义集合，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作.以下说法正确的是（ ）
A．若数集中有2025个元素，则一定存在
B．若数集中没有最大值，则不存在
C．若数集A，B有上确界，则数集一定也有上确界，为
D．若数集A，B有上确界，则数集一定也有上确界，为
【答案】AC
【详解】对于，若数集中有2025个元素，则数集中的元素一定有最大值，
数集一定有上确界，故A正确；
对于B，若，当时，，
则数集中的元素没有最大值，
，都有，，
，即数集中有上确界，故B错误；
对于C，若数集A，B有上确界，设，，
由上确界的定义可知，对于，，都有，，，
即，故正确；
对于D，若，，则数集A，B有上确界，且，，
此时，
则，故D错误.
故选：AC
变式3．（2025·北京海淀·三模）设和M均为正整数，是两两不同的M元集合组成的集合序列，若存在，使得，就称Q中存在“三叶草”，并称为Q中的一片三叶草．
(1)若，分别直接判断以下集合序列中是否存在三叶草，存在的请写出一片相应的三叶草：
，
；
(2)若满足，其中，，证明：Q中不存在三叶草；
(3)若，其中，证明：Q中一定存在三叶草．
【答案】(1)存在三叶草，；不存在三叶草.
(2)证明过程详见解析
(3)证明过程详见解析
【详解】（1）对于，检查是否存在三个集合使得两两交集相等；
选取三个集合，，，发现交集分别为，，，不满足.
再尝试其他组合，第1，2，5个集合，，，
它们的交集均为，因此存在三叶草.
对于，由于每个元素仅出现在两个集合中，无法找到三个集合共享同一元素，故不存在三叶草.
（2）给定 ，其中：，，，；
每个 可以看作一个四维向量，每个维度有固定的取值.
我们需要证明不存在三个集合 使得它们两两的交集相同，
假设存在三叶草，则需要满足 意味着：
和 在相同维度上取值相同;
和 在相同维度上取值相同;
和 在相同维度上取值相同;
这意味着 在所有维度上的相同性必须一致,
换句话说，对于每个维度，要么三个集合在该维度的取值都相同，要么两两不同;
由于每个维度只有 2 种取值，三个集合在某个维度上的取值只能是：全部相同（如 ）;
或者两两不同（如 ），但这是不可能的，因为每个维度只有 2 种取值;
因此，三个集合在每个维度上的取值必须相同,
这意味着 ，但题目要求集合两两不同，矛盾.
因此，不存在三叶草.
（3）固定一个集合，考虑其他集合与的交集，
的子集有 种可能，因此 有 种可能；
对于每个，定义，
下面介绍一下鸽巢原理，又叫抽屉原理，
它指的是一个简单事实，如果鸽子的数量比巢穴的数量多，那么至少要有1个鸽巢被两只或多只鸽子占据，
即若有个鸽巢，个鸽子，则至少有1个巢内有至少2个鸽子，
至少数公式：当鸽子数不能被鸽巢数整除时，至少有一个鸽巢中会有（商+1）个鸽子，
另外，规定当，为整数时，，当时，，
其中，由鸽巢原理（相当于只鸽子飞回个巢），
可知存在至少 个 使得 相同，
当时，由是两两不同的一元集合组成的集合序列，
可得,所以存在三叶草.
当时，至少存在2个 使得 相同，假设为，
则，同理
对于集合也是如此，即,
对于集合也是如此，即,
对于集合也是如此，即,
找到三个集合 满足 .
当 时， 中一定存在三叶草.
变式4．（2025·福建泉州·模拟预测）记集合，表示集合中元素的个数.
(1)求和；
(2)求证：当为奇数时，；
(3)求.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）当时，则，由，则，即，
由，则，即，又，故，故，
则，又，，故，
即，故；
当时，则，由，则，即，
由，则，即，又，故或，
若，则，又，故；
若，则，又，则，
则或，此时分别取、，
故，即；
（2）当时，，故，
当时，则，由，则，即，
由，则，即，故无正整数解，故；
即；
当且为奇数时，设，，，，
则，，故，又，故，
有，故一定有解；
设，则有，，，，
则，，
，
故，即；
设，
则有，，，，
则，故，由为奇数，故，
则，
故，
即，
又，，
故，即；
综上所述，当为奇数时，；
（3）当时，则，由，则，即，
由，则，即，又，故，
则，又，则，，
即，
当为奇数时，为偶数，则可取遍中所有整数，
符合要求的的个数有，
当为偶数时，为奇数，则可取遍中所有整数，
符合要求的的个数有，
故
，
故.考点目录
集合交集、并集、补集的综合运算
集合的子集与真子集
以集合为背景的参数范围问题
集合新定义问题
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
6n-4
6n -5
6n-6
...
5n-3
5n-5
...
5n-4
5n-6
5n-8
...
...
...