数列与函数综合、数列与圆锥曲线综合专项训练-2026届高考数学二轮复习

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(1)当时，求f（x）的单调区间；
(2)当时，设为的从小到大的第个极值点，
（i）证明：数列是等差数列；
（ii）若证明：
【答案】(1)的单调递增区间为；的单调递减区间为.
(2)（i）证明见解析（ii）证明见解析
【详解】（1）时，，
，
令，得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以的单调递增区间为，
的单调递减区间为.
（2）（i）因为
；
其中，
令，则，
所以，则当时，，
所以数列为等差数列.
（ii）要证：，即证：，
即证：，
即证：，即证：，
因为，所以，则，
令，
所以，令，解得.
当时，单调递增；当时，单调递减，
所以，
所以，不等式得证.
例2．（2026·山东济南·一模）已知函数的定义域为，导函数.将所有的极值点按照从小到大的顺序排列构成数列.
(1)若，比较与的大小；
(2)从下列两个命题中任选一个证明：
①数列为递减数列；
②数列为递增数列；
（若两个命题均选，按照第一个解答计分）
(3)若为正整数，且对任意的，都有，求的最小值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)1
【详解】（1）令，得，
因为为的变号零点，所以.
当时，，且.
，
.
故.
（2）选择①，
令，
则，
当时，即时，，
，
故，
由（1）知，.
故单调递减，从而有，
即，
即，从而数列为递减数列.
选择②，
令，
则，
当时，即时，，
，
故，
由（1）知，，
故单调递增，从而有，
即，
即，从而数列为递增数列.
（3）由（2）知，在区间上，的最大值为，的最小值为.
对任意，都有成立，
当且仅当.
因为为正整数，所以当时，令，
则，
注意到，且，
从而有，
故单调递增.
故，即，故.
从而的最小值为1.
例3．（25-26高二上·山西运城·期末）已知函数.
(1)对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(2)数列满足.
①判断数列的单调性并说明理由；
②设数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)①数列为递减数列，理由见解析；②证明见解析
【详解】（1）不等式等价于
令，则，
令得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
所以，即 ；
（2）①数列为递减数列，理由如下：
由（1）可知，所以，当且仅当时，等号成立，
所以当时，，所以，
因为，所以
由题意，得，则，
由（1）知当时，，
令，则，故，
又函数在上是单调递增函数，
所以，所以数列为递减数列.
②由题意得，令函数，
则，故在上单调递增，且，
令，则，得到，
所以，故，
又因为，所以，
得到，即，
当时，得到．
当时，．
所以，所以，
综上，原命题得证.
变式1．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知函数，是函数的导函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)设，试比较与的大小，并说明理由；
(3)若数列的通项，求证：.
【答案】(1)答案见详解；
(2)，理由见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）由题意得，则.
所以.
当时，在上恒成立，所以函数在区间上单调递增.
当时，由，得，由，得，
所以函数在区间上单调递减；在区间上单调递增.
综上，当时，的单调增区间是；
当时，的单调减区间是；单调增区间是.
（2）当时，，理由如下：
设，则.
当时，有恒成立，所以函数在区间上单调递增.
所以，即成立，
即.
（3）由（2）知当时，，令，，
则，整理得成立.
不妨令，
则有.
由于，所以，
所以，
所以，
即有成立.
变式2．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知函数.
(1)当时，讨论在上的零点个数；
(2)若，，记函数的零点为，数列的前项和为.证明：
（i）数列为递减数列；
（ii）.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，，
令，即，即，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
极大值，
当趋于0时，趋于，当趋于时，趋于，
则当时，与无交点，无零点，
当时，与恰有1个交点，恰有1个零点，
当时，与恰有2个交点，恰有2个零点.
（2）（i）当，时，，在，均单调递增，
当时，恒成立，无零点，
由知, ，
设函数，则，
又 ，且在上单调递增，
则，，
则数列为递减数列.
（ii）当时，由（1）得 ，
则，
则，
则，
则
.
变式3．（2026·山东德州·一模）已知函数.
(1)证明：在上单调递增；
(2)记的最小值为，数列的前项积为.
（i）求的通项公式；
（ii）证明：对任意的成立.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）（ii）证明见解析
【详解】（1）因为
当时，则，
所以，
可得，且，
则，
即，
可得，所以函数在上单调递增，
（2）（2）（i）若，则，即；
若，由（1）可知：在上单调递增，
且，
可知是一个周期为的周期函数，
又因为
可知关于对称，
则在，处取到最大值，在，处取到最小值，
可得，
综上所述：
（ii）
方法一：数学归纳法证明不等式
成立，
当时，左边，右边，因为，所以不等式成立，
假设当时不等式成立，
即成立，
则当时，
左边
所以当时，不等式也成立，
综上所述：可证得不等式恒成立；
方法二：构造新数列方法证明不等式.
令，
所以，
即
，
综上所述：可证得不等式恒成立.
方法三：
，
考点二 数列与圆锥曲线综合
例1．（2026·江西·一模）已知为抛物线上一点.
(1)求的准线方程；
(2)若点与关于轴对称，过点且斜率为2的直线交于另一点，设.
（i）求数列的前项和；
（ii）求的面积.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）8
【详解】（1）由题意知，则，
所以的准线方程为.
（2）由（1）知的方程为，
（i），
所以，
所以，
所以数列是以为首项，以4为公差的等差数列，
所以，所以.
（ii）将代入得，
则，
法一：
直线的方程为，
点到直线的距离，
，
的面积.
法二：
.
例2．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知双曲线的离心率为，点在C上．
(1)求双曲线C的方程．
(2)按照如下方式，依次构造点，，过点作y轴的平行线，与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为，再过点作x轴的平行线，与C在第一象限的交点为．记点的坐标为．
①求数列的通项公式；
②证明：．
【答案】(1)
(2)①；②证明见解析
【详解】（1）由题意得，，则，，
故双曲线C的方程为；
（2）①双曲线的渐近线为，
设，其中，，
将代入中得，则，
将代入中得，则，
则，则，
故数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，即，
因为，所以，
故数列的通项公式为；
②由①得
，
则
.
例3．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知抛物线，点在上，k为常数，.按照如下方式依次构造点，过斜率为k的直线交于另一个点，过点斜率为的直线交于另一个点，记的坐标为，的坐标为.
(1)若，求的坐标；
(2)证明：数列是公差为的等差数列；
(3)设为的面积，证明：对于任意正整数，.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）

点代入抛物线中，得，则抛物线方程为.
过点且斜率为4的直线方程为，与C的方程联立，消去x，
或，则当时，，即.
过点且斜率为的直线方程为，
与C的方程联立，消去x，，解得或，
则当时，，即.
（2）由题意知，，，
过点且斜率为k的直线的方程为：，
与C的方程联立，消去x，化简得.
由根与系数的关系可得.
过点且斜率为的直线的方程为：，
与C的方程联立，消去x，化简得
由根与系数的关系可得.
则
化简得，即
所以数列是公差为的等差数列.
（3）要证，即证与面积相等.
即证点到的距离与点到的距离相等，
即证，即证，
又因为，
由（2）可知是公差为的等差数列，点在曲线上，
所以，即可得，则可知是公差为的等差数列，
即是公差为的等差数列.
所以由等差数列的性质，所以，得证
例4．（2025·浙江温州·模拟预测）已知双曲线过点，其渐近线的方程为．按照如下方式依次构造点；过右支上点作斜率为1的直线与C的左支交于点，过再作斜率为的直线与C的右支交于点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)用表示点的坐标；
(3)求证：数列是等比数列．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以双曲线C的方程为：
（2）过作斜率为的直线方程为，
联立其与双曲线方程可得，
设,
由于在双曲线上，所以
则，
所以，
故
（3）设，
由于在双曲线上，所以，
则，化简可得，，故，
所以，
,
所以，
故是等比数列.
变式1．（2025·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以（为正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比．
(1)已知双曲线的方程为，伸缩比，求关于原点伸缩变换后所得双曲线的方程；
(2)已知椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆分别交于两点A、B，且，求椭圆的方程；
(3)已知抛物线作“伸缩变换” ，得到﹐对作变换，得抛物线；如此进行下去，对抛物线作变换，得抛物线，其中，若，求数列的通项公式．
【答案】(1)
(2)或；
(3).
【详解】（1）由条件得，整理得，所以的方程为；
（2）因为，关于原点“伸缩变换”，
对作变换，得，
联立，解得点的坐标为，
联立，解得点的坐标为，
所以，所以或，
所以或；
因此椭圆的方程为或；
（3）对作变换，
得抛物线，得，
又因为，所以，即，
当时，，
得，适用上式，
所以数列的通项公式.
变式2．（24-25高三上·四川宜宾·月考）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C相交于点A，B：若，以AF为直径的圆过点．按照如下方式依次构造点列的坐标为，直线与C的另一个交点分别为，直线与x轴的交点为，设点的横坐标为．
(1)求C的方程；
(2)求数列的通项公式；
(3)数列中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，利用见详解
【详解】（1）因为抛物线的焦点为，

设，则的中点为，
由题意可知：，，可得，，
所以抛物线方程为.
（2）设直线，，
联立，得，
得，由韦达定理可知：，
设，，
由题可知，，
两式求差可得，
所以，
所以直线方程为，整理得，
同理：方程为：，
令可得 ，
可知，方程为：，
因为过焦点，所以有，
方程为：，
令可得，
由，可知，
因为，，得，
取对数可得，
由题可知，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列；
所以有，解得.
（3）不存在，理由如下：
假设存在，则一定有，
因为，得，
化简得，
因为，显然，
所以在无解；
故不存在连续的三项为等差数列.
变式3．（24-25高三上·云南楚雄·期末）在平面直角坐标系中，对于曲线上任意一点，总存在点满足关系式：，则曲线变换为曲线，称为平面直角坐标系的伸缩变换，记为.
(1)已知曲线，求经过伸缩变换后所得曲线的方程.
(2)已知，抛物线经过伸缩变换，得到抛物线，设.
（i）求数列的通项公式；
（ii）过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与相交于点，记（为坐标原点）的面积为，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）由题意得则
代入的方程，得，
所以的方程为.
（2）（i）设上的点经过伸缩变换后得点，
则则代入的方程，
得，
则的方程为，则.
因为，所以.
又，所以当时，.
又符合上式，所以.
（ii）由题可知，的焦点为的方程为，设.
联立方程组整理得，
则，
所以.
.
由（i）知，所以，
则，①
则，②
①-②得，③
则，④
③-④得
则.
变式4．（24-25高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，已知直线，按如下方法构造点列（其中）：过抛物线上的点作轴的平行线，交直线于点，直线关于直线的对称直线交抛物线于点
(1)求实数的值，并求直线的方程；
(2)求数列的通项公式，并证明：对任意；
(3)设数列的前项积为，若不等式对任意的恒成立，求实数的最小值．
【答案】(1)，.
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）当时，，解得，则，
当时，，解得，
则，则直线的直线方程为，
又因为，则其倾斜角为，则对称后直线的倾斜角为，
则直线的斜率为，
所以直线方程为：，即.
（2）由题意，当为奇数时，，
则直线的斜率，
化简得，
配方可得：，取对数可得，
由可得，
，
解得，
由题意可得，，
因为函数单调递增，所以，
因为，故当时，.
（3）由（2）得：，
因为函数单调递增，可知：
，
故，令，可得，由恒成立，
可得在时恒成立，即在时恒成立，
令，得，当时，，
即在上单调递减，故，所以的最小值为．考点目录
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