离散型随机变量的数学期望、方差专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份离散型随机变量的数学期望、方差专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
A．1B．C．2D．
【答案】B
【详解】每次有效摸球的概率：
第一次：，只有一种可能，概率为，
第二次：，只有两种可能，概率为，
第三次：，只有三种可能，概率为，
利用期望的线性性质：
设表示第次是否有效（为有效，为无效），则，
因为期望的线性性质对任意随机变量都成立，所以：，
而每个是伯努利变量，期望，代入得：.
故选：B
例2．（25-26高二上·广西北海·期末）整数调值编码在信息学中具有重要应用.规定B～编码：当输入一个奇数时，其编码为0，1的概率分别为，；当输入一个偶数时，其编码为0，1的概率分别为，.现输入1，1，2，3后进行B～编码，记编码为0的数字个数为X，则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【详解】因为输入的数字为1，1，2，3，记第个数字进行编码后为0的概率为，
第一个数字为1（奇数），编码后为0的概率为；
第二个数字为1（奇数），编码后为0的概率为；
第三个数字为2（偶数），编码后为0的概率为；
第四个数字为3（奇数），编码后为0的概率为；
因此可得.
故选：C
例3．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知随机变量的概率分布如表且，则 .
【答案】16
【详解】由概率分布的性质，有，即，
又由 ，得，
又，
所以，
所以.
故答案为：.
例4．（25-26高三上·河北保定·期末）为深入开展宪法宣传工作，提升公民法治素养，某市教育局举办了宪法普法知识答题活动．现有甲、乙两所学校晋级决赛，本次决赛计分规则：参赛学校抢到答题权且作答正确的，每题计1分；未抢到答题权，或抢到答题权但作答错误，均不计分．终止规则：任一参赛学校得分比另一校多2分或五道比赛题目全部答完．已知两校每道题抢到答题权的概率均为，且每所学校答对每道题的概率均为．答完两题后，甲校得2分的概率为 ；设活动结束时，两校一共答了道题，则的数学期望为 ．
【答案】
【详解】甲校在每题中得1分的概率为，
记事件“答完两题后，甲校得2分”，
所以；
依题意，每道题的答题结果有以下3种：
甲校抢到且答对得1分，此时乙校得0分，概率为；
乙校抢到且答对得1分，此时甲校得0分，概率为；
不论哪校抢到都答错，即甲乙两校都得0分，概率为；
两校一共答的题目数的可能取值为，
表示某校前2道得2分，对方得0分；
表示某校第3道得1分，前2道只得1分，且对方得0分；
表示第4道得1分，前3道只得1分，且对方得0分，或者第3道和第4道共得2分，前2道只得1分，且对方得1分；
，
，
，；
故的分布列列表如下：
所以.
例5．（25-26高三上·浙江杭州·期末）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次向左或向右移动一个单位，每次向右移动的概率为．
(1)时，移动3次后，求质点最终所在的位置的坐标为1的概率；
(2)若移动4次后，质点最终所在位置的坐标为，求随机变量的分布列和数学期望；
(3)若移动次后，质点最终所在位置的坐标为，求随机变量的数学期望．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设移动3次后，质点最终所在的位置的坐标为1为事件，
由题可知事件为3次移动中，2次向右移动，1次向左移动，
；
（2）根据题意，可取，
，，
又，
，
，
∴分布列为
∴；
（3）设在移动次中，向右移动的次数为，
则，，
向右移动的次数为，则向左移动次，
质点最终所在位置的坐标为，
，
即随机变量的数学期望为．
例6．（25-26高二上·江西南昌·期末）甲、乙进行足球点球比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各射门一次，若轮比赛结束后，两人的进球数相差2，则停止比赛，进球数多的获胜；若4轮比赛后，两人的进球数相差小于2也停止比赛，进球数多的获胜，进球数相同则平局．甲、乙射门的命中率分别为0.5和0.8.每轮点球比赛的结果相互独立．
(1)求1轮点球比赛后，两人的进球数相同的概率；
(2)求甲、乙最终平局的概率；
(3)记甲、乙一共进行了轮比赛，求的分布列及期望．
【答案】(1)0.5
(2)0.1889
(3)分布列见解析，3.49
【详解】（1）记1轮点球比赛后，两人的进球数相同的概率为，
由两人的进球数相同可以是或，
则.
（2）记一轮点球比赛后，甲比乙多进一个球的概率为，甲比乙少进一个球的概率为，．
因为甲、乙最终平局，所以甲、乙一定进行了4轮比赛，分三种情况：
①4轮比赛中，每轮比赛甲、乙的进球数均相同，其概率为．
②4轮比赛中，有2轮比赛甲、乙的进球数相同，有1轮比赛甲比乙多进一个球，有1轮比赛甲比乙少进一个球，其概率为．
③4轮比赛中，有2轮比赛甲比乙多进一个球，有2轮比赛甲比乙少进一个球，且前2轮比赛中甲或乙没有连续2轮比对方多进一个球，其概率为0.0064.
故甲、乙两人最终平局的概率为.
（3）的所有可能取值为2，3，4．
，
，
.
的分布列为
.
例7．（25-26高二上·山东德州·期末）乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜，比赛结束.在某校组织的乒乓球比赛中，甲､乙两名同学已经打成了10平.已知下一球甲同学得分的概率为，且对以后的每一球，若甲同学在本球中得分，则他在下一球的得分概率为，若甲同学在本球中未得分，则他在下一球的得分概率为.
(1)求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率；
(2)求再打两个球甲新增的得分的分布列和期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）打了两个球后结束，则甲连胜两球或乙连胜两球，
设事件为“打两球后结束”，事件为“乙赢得比赛”，
则，，
故.
（2）依题意的可能取值是，
所以，，
，
所以的分布列为：
所以.
变式1．（25-26高三上·山东滨州·期末）甲、乙两人玩某一游戏，第奇数局，甲赢的概率为；第偶数局，乙赢的概率为，每一局没有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两局时游戏结束．则游戏结束时，甲、乙两人玩此游戏的局数的均值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设甲、乙两人玩的局数为，其数学期望为，由题设，游戏至少进行两局，
若，则比分为，且，
否则前两局的比分为，从此刻开始知道游戏结束，进行的局数的期望跟比分为时相同，总局数的期望为，
故，故，
故选：D.
变式2．（2026·云南·模拟预测）一个将输入计算机的正整数“归零”的程序执行规则如下：按回车键，计算机等可能地用中的任意一个整数替换的值并输出替换后的值，重复以上操作，直到输出0后终止操作.若输入的初始值为3，终止操作时按回车键的次数为，则的数学期望为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】易知的可能取值为1，2，3，
按一次输出数字0，；
按两次输出数字0，有两种情况，依次输出2，0或者1，0，故；
按三次出现数字0，即依次输出2，1，0，故.
所以，
故选：A.
变式3．（25-26高三上·湖北黄石·期末）随机将这6个数分成两组，其中A组2个数，B组4个数，A组最小的数为组最小的数为b，记，则 .
【答案】
【详解】6个数分成两组，共有种分组方法，
当时，中含有1，共5种情况，有4种情况，有1种情况；
当时，中含有2不含1，共4种情况，有4种情况；
当时，中含有3不含1,2，共3种情况，有3种情况；
当时，中含有4不含1,2,3，共2种情况，有2种情况；
当时，中含有5不含1,2,3,4，共1种情况，有1种情况；
.
故答案为：
变式4．（25-26高三上·湖北咸宁·期末）不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的1个白球和3个黑球，从袋子中逐个取球，规则如下：若取到黑球，则不放回且立即停止取球；若取到白球，则放回袋中，然后向袋中加入一个除颜色外完全相同的白球，继续取球．若最多进行次取球，即当取球次数为时，立即停止取球，记随机变量为取球的次数，设的数学期望为，则 ， （用表示）．
【答案】
【详解】的可能取值为，
所以，，，
所以；
的可能取值为，
；
当，时，前次取白球，第次取黑球，
,前次都取白球，
，
所以
因为
所以，
所以
综上，.
故答案为：；
变式5．（2026·陕西·模拟预测）甲、乙两人进行AI知识问答比赛，进行一轮抢答赛，比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到得0分，最后累计总分最多的人获胜，假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且两人每题答题正确的概率分别为和，求：
(1)甲在比赛中抢到的题目比乙多的概率；
(2)若比赛中3道题均被乙抢到，设乙答题得分为，求的分布列和期望；
(3)甲在比赛中获胜的概率.
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，期望为；
(3).
【详解】（1）甲在比赛中抢到的题目比乙多的事件是甲抢到2个题的事件与甲抢到3个题的事件和，
其概率为.
（2）依题意，的所有可能取值为，
则，
，
所以的分布列为：
数学期望.
（3）设甲获胜为事件，甲在比赛中共抢到道题为事件，
则，
，
，
所以.
变式6．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）某工厂购进6台车床，其中4台是合格品，2台是次品，需要修理后才能使用.由于车床外表没有区别，技术员要找出2台次品修理，只能逐台检查.若找出2台次品，或找出4台合格品，就结束查找.
(1)求第1次查找到的是合格品的概率；
(2)记为查找结束时的查找次数，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）因为6台中有4台合格品，所以第1次查找的是合格品的概率；
（2）的可能取值为2，3，4，5，
其中表示表示第二次检查时结束，可能的原因是：检查的两台均为次品，则；
表示表示第四次查找时结束，可能的原因是：最后一台检查为次品，前两次检查找到次品和合格品各一台，
则，
表示第四次检查时结束，可能的原因是：最后一件为次品且前三次中有一个次品，或者四件均为合格品，
则，
则，
所以的分布列为：
变式7．（2026·湖南常德·一模）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响，
(1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率；
(2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列与期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”
（或）
（或）
因为甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率
所以.
（2）随机变量的可能取值为2，3，4.
，，
随机变量的分布列为
所以随机变量的期望为.
考点二 离散型随机变量的方差
例1．（25-26高二上·山东德州·期末）若随机变量服从两点分布，其中，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为随机变量服从两点分布，，
所以，
所以，
所以，
故选：B
例2．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知随机变量的分布列如下表：
则随机变量的方差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由，解得：，
所以，
则，
故选：A
例3．（25-26高三上·宁夏固原·开学考试·多选）设随机变量X的分布列为，，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】因为随机变量的分布列为，由分布列的性质可知，，解得，
对于A，，故A不正确；
对于B，，
，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，，故D不正确.
故选：BC.
例4．（25-26高三上·江苏宿迁·月考·多选）离散型随机变量的数学期望为1，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】选项A，由于，有，根据方差公式，
，因此，
不等式恒成立，故选项A正确；
选项B，，但是平均绝对偏差，当的取值使得时（例如以等概率取0和2），
则，与相等，而非小于，因此，选项B不一定成立，错误；
选项C，令，则，且有，
由于可能为负，且，因此可能为负（例如取和的概率分布），
导致，故选项C不一定成立，错误；
选项D，令，则，
由于，有，当等号成立，故选项D正确，
故选：AD.
例5．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知随机变量满足，且，则 .
【答案】/
【详解】因为，所以，
又因为，所以.
故答案为：.
例6．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知随机变量，随机变量，则 .
【答案】
【详解】因为，所以，
故.
故答案为：.
例7．（25-26高三上·江西鹰潭·月考）为了加强学生的交通安全意识，贵溪一中开展了“安全头盔守护生命”主题教育活动.学校为此次活动准备了10道关于安全头盔重要性､正确佩戴方法及相关法律法规的题目.在活动的知识竞答环节中，会从这10道题目中随机抽取3道让学生回答.已知该校学生小曾同学中午与家长一同认真学习了相关知识，能够准确回答其中的6道题目.
(1)求抽到的题目中他能答对的题目数的分布列；
(2)求的期望和方差.
【答案】(1)分布列见解析
(2)
【详解】（1）由题意知：所有可能的取值为，
；
；
的分布列为：
（2）期望；
又，
∴方差.
例8．（25-26高二上·广西·月考）一个抽奖箱有10张奖票，其中5张写有“谢谢”，2张写有“再抽一次”，2张写有“2元”，1张写有“5元”.抽奖规则：参与抽奖活动者，每次只能抽奖票一张；如果抽到“谢谢”的奖票，则没有奖金；如果抽到“再抽一次”的奖票，就从抽奖箱剩下的奖票中再抽一张；如果抽到“2元”或“5元”的奖票，即可按金额兑奖.
(1)小李同学参与了抽奖活动，求他抽奖获得5元的概率；
(2)已知小李抽奖时获得了奖金，求他获得2元的概率；
(3)记小李获奖金额为随机变量为X，求X的分布列，均值及方差.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，，
【详解】（1）小李抽奖获得5元有三种情况：第一次抽到“5元”；第一次抽到“再抽一次”，第二次抽到“5元”；第一、二次都抽到“再抽一次”，第三次抽到“5元”；
则所求概率为.
（2）记事件A=“小李获奖”，B=“小李获得2元奖”，
，，
由条件概率得，即已知小李抽奖时获了奖，获得2元的概率为.
（3）依题意得X的所有取值为0，2，5
...
X分布列：
，.
变式1．（25-26高二上·河南·月考）已知随机变量X的方差为，则（ ）
A．18B．17C．6D．5
【答案】A
【详解】因为，所以.
故选：A．
变式2．（24-25高二下·云南昭通·期末）已知随机变量X的分布列如下表：
若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意得，解得，
所以，
所以，
故选：A.
变式3．（25-26高二上·江西·期末·多选）设离散型随机变量X的分布列为：
若离散型随机变量满足，则（ ）
A．B． C．D．
【答案】ABC
【详解】由分布列的性质，可得，解得，
则，
因为，所以
.
故选：ABC.
变式4．（25-26高三上·福建厦门·月考·多选）若随机变量服从两点分布，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【详解】由题意可知，，
所以，故A正确；
，故D错误；
，故B正确；
， 故C错误.
故选：AB
变式5．（24-25高二下·江苏·期末）某果园有单棵产量为95千克的“高产果树”3棵，有单棵产量为55千克的“低产果树”2棵，从这5棵果树中任意抽取2棵，则2棵果树的产量之和的方差为 ．
【答案】576
【详解】依题意，的可能取值为190，150，110，
且，，，
则的期望，
所以方差.
故答案为：576
变式6．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知,则 .
【答案】7
【详解】由，
则，故,
.
故答案为：
变式7．（2025·海南·一模）某公司为提升员工对人工智能模型的应用能力，组织了知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛.
(1)初赛选手需从6道题中随机抽取2道作答，至少答对1道就可进入复赛，已知员工甲能答对这6道题中的4道，求甲进入复赛的概率；
(2)复赛选手需从大量题中随机抽取2道作答，已知员工乙进入了复赛，他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，设乙在复赛中答对的题数为，求的分布列、数学期望与方差.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）甲进入复赛的概率为.
（2）的所有可能取值为0，1，2，
，
，

分布列如下：
解法一：，

解法二：因为，所以.
变式8．（24-25高二下·上海·期末）某中学选派12名学生参加上海市高中生志愿者的培训活动，他们参加培训的次数统计如下表所示：
(1)从这12名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率（结果用最简分数表示）；
(2)从这12名学生中任选2名，用表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的期望与方差（结果用最简分数表示）．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率；
（2）由题意知可能取值为0、1、2，
，
所以的期望，
，
考点目录
离散型随机变量的数学期望
离散型随机变量的方差
1
2
4
4
2
0
2
3
4
0.17
0.17
0.66
0
1
2
1
3
2
3
4
5
2
3
4
0
1
0
1
2
3
X
0
2
5
P
X
0
1
P
a
b
X
0
1
2
4
P
a
0.3
0.2
0.2
X
0
1
2
P
培训次数
1
2
3
参加人数
2
4
6