独立性检验、线性回归方程、非线性回归方程专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份独立性检验、线性回归方程、非线性回归方程专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
(1)完成2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断人们对AI应用的喜爱程度是否与年龄有关联．
(2)从这1000名调查者中随机抽取一人，若这个人年龄不超过35岁，求该调查者是喜爱AI应用的概率．
(3)为推广AI应用，某科技公司组织了AI应用知识竞赛活动．活动规定从10道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在10道备选题中，甲只能正确完成其中的8道题．设随机变量X表示甲可以正确完成的题的数量，求变量X的分布列及数学期望．
附：其中．
【答案】(1)列联表见解析，依据小概率值的独立性检验，可判断人们对AI应用的喜爱程度与年龄有关联．
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）补全的列联表如下：
零假设为：人们对AI应用的喜爱程度与年龄无关.
根据表中数据，计算得到．
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断成立，
即认为人们对AI应用的喜爱程度与年龄有关，该推断犯错误的概率不超过0.001．
（2）从这1000名调查者中随机抽取一人，记这个人的年龄不超过35岁为事件，这个人喜爱AI应用为事件，
则，
所以.
若这个人年龄不超过35岁，则该调查者是喜爱AI应用的概率为．
（3）的所有可能取值为2，3，4，
的分布列为
的数学期望.
例2．（25-26高三上·内蒙古包头·期末）为了解观看某场“蒙超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格：
(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“蒙超”赛事与性别有关；
(2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“蒙超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和期望.
附：，.
【答案】(1)关注“蒙超”赛事与性别有关
(2)分布列见解析，1
【详解】（1）零假设：关注“蒙超”赛事与性别无关，
经过计算.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
所以能认为关注“蒙超”赛事与性别有关.
（2）由分层抽样知抽取男性市民4人，女性市民2人，
X的取值为0，1，2，
，
，
，
所以.
例3．（25-26高三上·江西景德镇·期末）生活中运动对人体健康非常重要，为了了解不同年龄人群篮球运动的情况，随机调查了人，得到如下数据：
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为篮球运动的情况与年龄有关？
(2)某同学进行投篮训练，假设他第一次投中的概率是，后续如果前一次投中，则本次投中的概率为；如果前一次没有投中，则本次投中的概率为.记该同学第次投中的概率为，问：
①求.
②求证：为等比数列,并求出的通项公式.
附：.
【答案】(1)有关；
(2)①；②证明见解析，
【详解】（1）零假设为：篮球运动情况与年龄无关，
由列联表数据可得，
因为，，，
所以根据小概率值的独立性检验，认为不成立，
即认为篮球运动与年龄有关，此推断犯错误的概率不超过.
（2）①；
②第一次投中的概率，
如果前一次投中，则投中的概率为；如果前一次没有投中，则投中的概率为.
所以第次投中的概率.
化简得到，所以，
计算首项，所以为首项是，公比为的等比数列.
所以，的通项公式是.
变式1．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）某市科协开展“科技大篷车”进校园活动，为了解此次活动的效果，对某校参与活动的480名同学进行了问卷调查，得到如下列联表：
(1)根据小概率值的独立性检验，分析对活动的评价是否与性别有关；
(2)在对活动评价“不满意”的学生中抽取2名男生和4名女生，从中任选3人了解不满意的原因，记选中的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：，
【答案】(1)与性别有关
(2)分布列见解析，1
【详解】（1）零假设为：对活动的评价与性别无关，
根据表中数据可得，，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对活动的评价与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.001.
（2）的所有可能取值为0，1，2，
，
故的分布列为
.
变式2．（25-26高三上·贵州黔西南·月考）长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，某校从高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的列联表.已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步学生的概率为0.6.
(1)依小概率值的独立性检验，能否认为喜欢跑步与性别有关？
(2)从上述不喜欢跑步的学生中用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用表示3人中女生的人数，求的分布列及数学期望.
附：，其中.
【答案】(1)不能
(2)分布列见解析，
【详解】（1）由题可知，从200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步学生的概率为0.6，
故喜欢跑步的有（人），不喜欢跑步的有（人）．
补全列联表如下：
由列联表中的数据，
零假设:喜欢跑步与性别无关，
由，
根据小概率值的独立性检验，我们没有充分证据推断喜欢跑步与性别有关，即认为喜欢跑步与性别无关．
（2）设抽取的8人中女生有名，男生有名，则，解得，，
所以从不喜欢跑步的学生中抽取女生2名，男生6名．
再从这8人中抽取3人（从8名学生（6名男生、2名女生）中抽取3名，典型的超几何分布模型），
故的可能取值为0，1，2，
且，，，
故的分布列为
方法一：数学期望．
方法二：服从超几何分布，且，，，所以．
变式3．（25-26高二上·江西南昌·期末）某科研团体为了研究猪油是否比某些植物油更有助于控制体重，在小鼠身上模拟了人类少吃油的健康饮食模式，将40只小鼠随机分成两组，一组吃猪油，另一组吃植物油，持续一段时间后，得到如下数据．
(1)试问小鼠体脂率的差异是否与吃猪油有关？
(2)若将表中所有数据都扩大为原来的倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断小鼠体脂率的差异是否与吃猪油有关，若要使得有的把握判断小鼠体脂率的差异与吃猪油有关，求的最小值.
附：.
【答案】(1)有的把握判断小鼠体脂率的差异与吃猪油有关
(2)2
【详解】（1）：假设小鼠体脂率的差异与吃猪油无关，
则．
因为，所以有的把握判断小鼠体脂率的差异与吃猪油有关．
（2）．
令，解得.
因为，所以的最小值为2.
考点二 非线性回归方程
例1．（25-26高三上·四川眉山·期末）某数字文创公司统计了AI数字复原技术各组研发人员数（人）与月度非遗纹样复原作品数（件）的情况，统计结果如下表：
(1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程.
(2)为推广AI非遗复原的模式，现从4个研发小组中随机选取2组进行经验交流，记其中“创新型”的个数为，求的分布列与数学期望.
参考公式：经验回归方程，其中.
参考数据：
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）由题知
所以
所以关于的经验回归方程为
（2）由题意得的取值为1，2
.
例2．（2026·安徽马鞍山·一模）为响应“全民健身”号召，某社区统计了5名居民每周参与体育锻炼的时长（单位：小时）与身体活力指数的对应数据，结果如下表所示：
(1)根据表中数据，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度；
(2)求身体活力指数关于每周锻炼时长的一元线性回归方程，并利用该方程计算居民的身体活力指数残差.
参考公式：相关系数；回归系数.
【答案】(1)，与成正相关，有较强的相关性；
(2)，1.1.
【详解】（1）由给定数表得，
，
，
，
所以样本相关系数，
与成正相关，有较强的相关性.
（2）由（1）得，
所以身体活力指数关于每周锻炼时长的一元线性回归方程为，
当时，，所以居民的身体活力指数残差为.
例3．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021～2025连续五年的年利润y(单位：亿元)与年份序号x(，2，3，4，5，其中2021年记为1，2022年记为2，以此类推）满足某一元非线性回归方程，统计数据如下：
注：，.
(1)设和y的相关系数为，x和v的相关系数为，请从相关系数的角度，确定和（其中a，b，m，n均为常数，e为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好；
(2)根据（1）的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程.
附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， .
②参考数据：.
【答案】(1)模型的拟合程度更好
(2).
【详解】（1）令，则可化为，
，
令，则可化为，即，
因为，
所以，
则，因此从相关系数的角度来看，模型的拟合程度更好.
（2）由（1）知，用模型比较合适，
令，则可化为，即，
所以，
因为，，所以，
则关于的回归直线方程为，所以.
变式1．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）缅甸的电信诈骗事件给很多家庭带来了痛苦，也给我们敲响了安全的警钟.某市组织宣传人员对市区主要场所进行“电诈安全教育”，并对普及的有效回访人数进行了统计并得到下表：
(1)从这8天的数据中任选3天的数据，用表示每天有效回访人数不少于 160 的天数，求的分布列和数学期望；
(2)试用上表数据求出每天有效回访的人数关于天数的线性回归方程，并预测第29天的有效回访人数.（ 精确到0.1，人数取整数）
参考公式：线性回归方程中，，
参考数据:
【答案】(1)分布列见解析；；
(2)；
【详解】（1）这8天的数据有天有效回访人数不少于 160，
则的可能取值为，
则，，
，，
则的分布列为
则数学期望.
（2），
，
，
则，，
则线性回归方程为，
故第29天的有效回访人数大约为人.
变式2．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）随着移动互联网技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，某电商直播带货后从7月份到11月份每个月线上的销售量(万件)()的数据如下所示:
(1)从这5个月中随机选取3个月，记月销售量不少于3万件的月份的个数为X，求随机变量X的分布列及期望；
(2)利用最小二乘法求y关于x的经验回归方程，并预测当年12月份的月销售量.
附:经验回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=-
【答案】(1)分布列见解析，
(2)3.76万件
【详解】（1）因为月销售量不少于3万件的月份有2个，所以X的所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
所以X的分布列为：
所以.
（2）因为，，
，
所以===，
=-=，
故y关于x的经验回归方程为，
又当年12月份对应的月份代码为6，所以，
所以预测当年12月份的月销售量为3.76万件.
变式3．（2026·江西上饶·一模）2025年“十一”黄金周期间，上饶市文旅局对五大热门景区（三清山、婺源、龟峰、葛仙村、望仙谷）的游客数据进行了统计．已知前五日每日总游客接待量（，单位：万人次）与全市旅游综合收入，单位：亿元的抽样数据如下：
(1)根据数据建立旅游综合收入关于游客接待量的线性回归方程，并预测第六日游客接待量达到38万人次时，该市旅游综合收入的估计值；
(2)在“十一”黄金周期间，望仙谷景区单日客流量超过承载上限（5万人次）的概率为0.4．黄金周七天中随机抽取三天，记客流量超过承载上限的天数为，求的分布列及数学期望．
参考数据：．
参考公式：．
【答案】(1)，8.7亿元
(2)分布列见解析，
【详解】（1）因为
所以．
所以回归方程为：，当时，
当第六日游客接待量达到38.0万人次时，该市旅游综合收入的估计值为8.7亿元．
（2）由题意可知，
则
所以的分布列为：
.
考点三 非线性回归方程
例1．（2025·湖南永州·模拟预测）某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额（单位：万亿元）的散点图，如图所示：
(1)已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率；
(2)由散点图知，和的关系可用经验回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程.
参考数据：设，则.
参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
【答案】(1)
(2).
【详解】（1）由题意，16年中有4年居民存款余额超过100万亿元，
故所求概率为.
（2），
由题知，，
，
，
，故.
例2．（25-26高三上·河北唐山·月考）红铃虫（Pectinphra gssypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度（）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到如下值：
表中；；；
(1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？
(2)根据（1）中所选择的模型，求出关于的回归方程．
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，
【答案】(1)①；
(2)
【详解】（1）模型①更合适．
模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，
所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适．
（2）令与温度可以用线性回归方程来拟合，则．
， ，
则关于的线性回归方程为，即，
产卵数关于温度的回归方程为．
例3．（25-26高三上·云南曲靖·月考）根据统计数据和研究报告，2025年中国新能源汽车产销呈现强劲增长态势，渗透率（渗透率=新能源汽车销量÷当月汽车总销量）持续攀升，行业格局加速分化．2025年3月新能源汽车渗透率首次超过，2025年1月至6月，全国新能源汽车的渗透率统计如下：
2025年1月至6月新能源汽车渗透率统计表
(1)2025年6月全国汽车销量为208.4万辆，计算该月新能源汽车的销量（精确到0.1）．
(2)根据以上数据，建立y关于月份x的经验回归方程，并预测2025年7月新能源汽车的渗透率．
(3)实际7月新能源汽车的渗透率为，请：
①结合预测值分析误差原因；
②提出改进模型的建议.
（参考数据及公式：，．）
【答案】(1)111.1万辆
(2)，
(3)①答案见解析；②答案见解析
【详解】（1）因为新能源汽车销量汽车总销量渗透率，则（万辆），
所以2025年6月新能源汽车的销量约为111.1万辆．
（2）因为，
又，所以，
所以回归方程为，
令，则，
所以7月新能源汽车的渗透率的估计值为．
（3）①估计值与实际值的绝对误差为，估计值偏高，
产生误差的原因是：模型局限性；渗透率超过后，增长自然放缓；
线性模型假设“增速永远不变”，但实际增长会先快后慢．
②改进建议：用非线性模型替代线性回归模型（例：，逻辑函数模型等）；
用减速增长模型，体现“先快后慢”规律．
变式1．（25-26高三上·福建福州·月考）在隧道施工过程中，若隧道拱顶下沉速率过快，无法保证工程施工的安全性，则需及时调整支护参数．某施工队对正在施工的福州象山隧道工程进行下沉量监控，通过对监控结果进行回归分析，建立前t天隧道拱顶的累加总下沉量z（单位：毫米）与时间t（单位：天）的回归方程，通过回归方程预测是否需要调整支护参数．已知该隧道拱顶下沉的实测数据如表所示：
研究人员制作相应散点图，通过观察，拟用函数进行拟合．令，计算得：，．
(1)试建立z与t的回归方程，并预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量；（精确到0.1）
(2)已知当拱顶在某个时刻下沉的瞬时速率超过27毫米/天时，支护系统将超负荷，隧道有塌方风险，施工队需要提前一天调整支护参数、试估计最迟在第几天调整支护参数？（精确到整数）
附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；
②参考数据：．
【答案】(1)，累加总下沉量为毫米.
(2)第9天
【详解】（1）设，则.
；
;
，
,当时，.
所以预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量为毫米
（2），
下沉速率：，
所以设第n天下沉速率超过27毫米/天，
则：，，，，，
所以第10天该隧道拱顶的下沉速率超过27毫米/天，
最迟在第9天需调整支护参数，才能避免塌方．
变式2．（25-26高三上·山东德州·月考）国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021-2035年）》，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展，加快建设汽车强国.同时为了推广新能源替代传统非绿色能源，除了财政补贴、税收优惠等激励性政策外，可间接通过前期技术研发支持等政策引导能源发展方向.某企业多年前就开始进行新能源汽车方面的研发，现对近10年的年技术创新投入和每件产品成本（，2，3，…，10）的数据进行分析，得到如下散点图，

并计算得：，，，，.
(1)根据散点图可知，可用函数模型拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程；
(2)已知该产品的年销售额m（单位：千万元）与每件产品成本y的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大?（注：年利润年销售额年投入成本）
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
【答案】(1)
(2)当年技术创新投入为40千万元时，年利润的预报值取最大值
【详解】（1）令，则y关于u的线性回归方程为，
由题意可得，
，
则，
所以，y关于x的回归方程为.
（2）由可得，
年利润，
当时，年利润M取得最大值，此时，
所以，当年技术创新投入为40千万元时，年利润的预报值取最大值
变式3．（25-26高三上·广东江门·月考）台山市镇海湾蚝是台山市著名的特产，因镇海湾的生蚝田处于咸淡水交汇之地，所以这里的生蚝长得比其他地方肥大，味道更加鲜美．2023年镇海湾某养殖基地考虑增加人工投入，根据市场调研与模拟，得到人工投入增量x人与年收益增量y万元的数据和散点图分别如下：

根据散点图，建立了y与x的两个回归模型：
模型①：；模型②：
(1)求出模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）；
(2)比较模型①，②的决定系数的大小，说明哪个模型拟合效果更好，并用该模型预测，要使年收益增量超过80万元，人工投入增量至少需要多少人？（精确到1）
线性回归方程的系数：
，；
模型的决定系数：．
参考数据：令，则，且，，，；模型①中；模型②中．
【答案】(1)
(2)模型①中的决定系数小于模型②的决定系数；模型②的拟合效果更好；人工投入增量至少需要20人.
【详解】（1）令，则模型②为：，
由，，，，
得，
，
所以模型②中y关于x的回归方程是.
（2）模型①中的决定系数，
模型②的决定系数，
因为，所以模型①中的决定系数小于模型②的决定系数，
所以模型②的拟合效果更好.
在模型②下，年收益增量超过80万元，
则有，所以，
所以人工投入增量至少需要20人.考点目录
独立性检验
线性回归方程
非线性回归方程
年龄
AI应用
合计
不喜爱
喜爱
不超过35岁
400
600
超过35岁
300
合计
1000
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
年龄
AI应用
合计
不喜爱
喜爱
不超过35岁
200
400
600
超过35岁
300
100
400
合计
500
500
1000
2
3
4
性别
不关注赛事
关注赛事
合计
男性
25
150
175
女性
50
75
125
合计
75
225
300
0.01
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
0
1
2
年龄
篮球运动情况
合计
经常运动
不经常运动
及以上
以下
合计
对活动的评价
满意
不满意
合计
男生
240
40
280
女生
120
80
200
合计
360
120
480
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
0
1
2
性别
跑步
喜欢跑步
不喜欢跑步
总计
男生
80
女生
20
总计
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
性别
跑步
喜欢跑步
不喜欢跑步
总计
男生
80
60
140
女生
40
20
60
总计
120
80
200
X
0
1
2
P
小鼠
体脂率
合计
低于15％
高于15％
吃猪油
18
2
20
吃植物油
10
10
20
合计
28
12
40
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
各组AI研发人员数（人）
3
4
5
6
非遗纹样复原数（件）
5
8
14
17
研发成果类型
基础型
创新型
创新型
创新型
1
2
特征量
居民
居民
居民
居民
居民
2
4
6
8
10
4
5
6
8
7
374
230
6.3
144
1.6
4
第 天
2
4
6
8
10
12
14
16
有效回访人数
65
85
110
130
165
175
190
200
月份
7
8
9
10
11
月份代码x
1
2
3
4
5
销售量y
2.2
2.5
2.7
3.1
3.5
0
1
2



日期
10月1日
10月2日
10月3日
10月4日
10月5日
29
32
36
30
28
6
7
8
6.5
5.5
0
1
2
3
P
25
2.9
646
168
422688
50.4
70308
月份
1
2
3
4
5
6
渗透率
41.4
49.4
51.1
51.5
53.0
53.3
t（单位：天）
1
2
3
4
5
6
7
z（单位：毫米）
0.01
0.04
0.14
0.52
1.38
2.31
4.30
x
2
3
4
6
8
10
13
y
13
22
31
42
50
56
58