离散型随机变量的数学期望 专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份离散型随机变量的数学期望 专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
例1．（25-26高三下·重庆·月考）某市为了统计市内小微企业的经营发展情况，市税务局提供了1000家小微企业的月收入数据．企业月收入（单位：万元）以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示．
(1)求这1000家小微企业的月收入的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)若采用分层随机抽样的方式从月收入在，，内的企业中抽取6家进行问卷调查，再从抽取的6家企业中随机抽取3家企业作进一步访谈，记抽取的3家企业中月收入在内的企业数为，求随机变量的分布列与数学期望．
例2．（25-26高三上·内蒙古鄂尔多斯·月考）为解决当下人口老龄化以及生育率连年下降等问题，我国于2025年7月28日印发了《育儿补贴制度实施方案》．某地为响应国家号召，制订了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生活压力．两套方案的执行策略如表：
通过人口普查，可近似估计该地单个家庭生育婴儿的数量与概率如表：
由于单个家庭生育四个婴儿及以上的概率过低，可认为此事件为小概率事件，故只需考虑单个家庭生育婴儿总数在的情况．
(1)若采用补贴方案，随机选取一家庭，若该家庭的补助不低于1100元／月，求该家庭共生育2个婴儿的概率；
(2)试从均值的角度讨论哪套补贴方案的补助额更高；
(3)若采用补贴方案的概率为，采用补贴方案的概率为，记单个家庭每月收到的补助额为，求的分布列与期望．
例3．（2026·贵州黔东南·模拟预测）某厂质检员对该厂生产的零件进行质检.若第一次检测到某件零件不合格，则判断该零件不合格；若第一次检测到某件零件合格，则进行第二次检测，若第二次检测该零件也合格，则判断该零件合格，否则为不合格.若零件合格，则获利10元；若零件不合格，则亏损20元.已知每件该零件第一次检测合格的概率为，第二次检测合格的概率为，且每件零件是否合格相互独立.
(1)求检测3件该零件，至少有2件合格的概率；
(2)已知一箱中有4件该零件，记这箱零件总获利元，求的分布列与期望.
例4．（25-26高三下·安徽阜阳·开学考试）某行业举行专业能力测试，该测试由A，B，C三项组成，每项测试成绩分为合格和不合格，三项测试结果相互独立.当三项测试成绩均合格时，认定分为10分；当C项测试成绩合格，且A，B两项中恰有一项成绩合格时，认定分为5分；当C项测试成绩不合格，且A，B两项测试成绩都合格时，认定分为2分；其它测试成绩，认定分为0分.甲在参加该专业能力测试前进行了20次模拟测试，测试成绩合格的频数统计如下表:
用频率估计概率.
(1)试估计甲的A项测试成绩合格的概率；
(2)设X表示甲获得的认定分，求X的分布列和数学期望.
变式1．（2026·浙江·模拟预测）“村超”是乡村足球超级联赛的简称.其通过全民参与的体育赛事激活了乡村振兴新动能，构建了集文化自信、经济发展、社会治理于一体的乡村发展新模式.为了提高参赛球队技战术水平，某乡镇组织甲、乙、丙、丁四支参赛球队进行了“热身排位赛”，赛程为：第一轮：经过抽签，甲队和乙队为一组，丙队和丁队为一组，两组分别进行组内比赛，每组的胜者编入A组，负者编入B组；第二轮：A，B两组的球队分别进行组内比赛，A组的胜者进入决赛，B组的负者获得第4名；第三轮：A组的负者和B组的胜者比赛，胜者进入决赛，负者获得第3名；第四轮：决赛，胜者获得第1名，负者获得第2名.已知甲队与其他三支球队的比赛中，甲队获胜的概率均为.乙、丙、丁三支球队间的比赛中，每支球队获胜的概率均为（比赛没有平局）.且各场比赛之间互不影响.
(1)求在第一轮比赛中甲队获胜的条件下，乙队获得第3名的概率；
(2)记甲队最终获得的名次为随机变量，求的分布列和数学期望.
变式2．（2026·重庆·模拟预测）小明和小红参加班级数学老师组织的游戏，游戏共2轮，每轮的规则如下：每轮开始时，小明和小红手中各有两张牌，一张是王牌，一张是鬼牌，每人每次独立地随机取出1张牌相互交换，交换3次后该轮结束.2轮进行完游戏结束.
(1)记每轮游戏在交换1次后，小明手里王牌的张数为，求的分布列及数学期望；
(2)在游戏开始前，数学老师问了小明一个问题：当游戏结束时，只要在2轮中有至少1轮结束时，你手里的两张牌是相同的，你就获胜，否则小红获胜，你愿意接受这样的游戏规则吗？如果你是小明，你会如何回答？
变式3．（25-26高三下·江苏泰州·开学考试）射击选手甲训练的规则如下：甲可选择靶和靶进行射击，共射击两次．第一次射击随机选择一个靶，若命中环数大于环，则第二次射击的靶不变；若命中环数不大于环，则第二次射击的靶改变．已知射击靶命中环数大于环得分，命中环数不大于环得分．射击靶命中环数大于环得分，命中环数不大于环得分．若两次射击相互独立，甲每次射击靶命中环数大于环的概率均为，每次射击靶命中环数大于环的概率均为．
(1)求甲第一次射击命中环数大于环的概率；
(2)求甲第二次射击的靶为靶，且命中环数大于环的概率；
(3)记甲两次射击的得分之和为，求的分布列和数学期望．
变式4．（25-26高三下·海南·月考）竹竿舞又称“跳竹竿”，是人在两竹竿滑动相撞的空隙中跳动的一种娱乐活动.2005年，黎族的竹竿舞被确定为海南省非物质文化遗产，2006年，竹竿舞入选“国家级非物质文化遗产保护名录”，甲､乙两名游客组队参加了海南某文化旅游区举办的竹竿舞闯关活动，该活动总共分为三关：第一､二关均为单人独舞（第一关和第二关闯关的人不相同），第三关为两人共舞.已知甲､乙闯过第一关的概率分别为，闯过第二关的概率分别为，这支队伍闯过第三关的概率为0.5.活动规定：只有闯过前一关，才有资格闯关后一关.
(1)请以这支队伍闯过前两关的概率为依据，为甲､乙安排第一关和第二关的闯关顺序，并求此时这支队伍闯过前两关的概率；
(2)以在（1）中安排的闯关顺序为准，记这支队伍闯过的关数为，求的分布列与期望.
考点二 数学期望的性质
例1．（25-26高二下·江西赣州·开学考试）设离散型随机变量X的分布列如表，若离散型随机变量Y满足，则下列结果错误的是（ ）
A．B．C．D．
例2．（24-25高二下·广西桂林·开学考试·多选）已知离散型随机变量的分布列如下表：
若，则（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2026·湖南怀化·一模）如图，要用个元件组成一个电路系统，当且仅当从到的电路为通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则__________.
变式1．（24-25高二下·四川南充·期末）若随机变量的分布列为
则（ ）
A．0.3B．1C．3D．4
变式2．（25-26高二上·江西九江·期末·多选）已知随机变量的分布列如下，则（ ）
A．B．
C．D．
变式3．（2024·四川南充·一模）某一随机变量X的分布列如下表，且，则______.
考点三 数学期望的应用
例1．（25-26高三上·江苏苏州·期末）为丰富全校师生的校园文化生活，增强师生身体素质，某校在学生运动会期间开展了教工定点投篮游戏，游戏规则如下：每位教师投中即结束投篮，最多投篮三次．记第次投篮命中得分为分，若三次均未命中则得分为0分．假设李老师每次投篮的命中率为，每次投篮互不影响．已知李老师投篮的次数的均值．
(1)求的值；
(2)设李老师投篮结束最终的得分为，若，则认定李老师是投篮高手．请问是否有理由认定李老师是投篮高手？
例2．（24-25高二下·安徽·月考）为了迎战下届奥运会，在甲、乙两名射手之间进行一次选拔赛.已知甲、乙两名射手在每次射击时击中的环数均大于6，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为5a，2a，2a，a，乙射中10，9，8环的概率分别为0.4，0.3，0.2.设ξ，η分别表示甲、乙每次击中的环数.
(1)求ξ，η的分布列;
(2)求ξ，η的均值，并以此比较甲、乙两人的射击技术.
例3．（24-25高二下·广东深圳·期中）某社团由名男生、名女生组成，现举办社团活动，要从这人中随机抽取人参加比赛，比赛共有三项，对于被抽中的人，每人参赛的情况相互独立，概率如下表所示：
规定：每参加项比赛，社团的积分增加分．
(1)在抽取的人中至少有名男生的前提下，求有女生参加比赛的概率；
(2)求该社团最终的积分为分的概率；
(3)若学校提出两种奖励方案，供参加比赛的社团自行选择．
方案一：每个社团奖励“参与奖”元；
方案二：对参赛的社团最终获得的积分按“积分元”的方式兑换奖金．
为使最终获得奖励金额的期望最大，该社团应选择哪种方案？并说明理由．
例4．（24-25高二下·山东威海·期中）数学考试中的多选题，每题有4个选项，其中有2个或3个正确答案，全部选出正确答案得6分．若正确答案是2个，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分．若多选题正确答案是2个的概率为，正确答案是3个的概率为．某学生对其中一道题完全不会，他随机的进行填涂．
(1)若他只随机选择1个选项，求他的得分X的分布列与数学期望：
(2)若他随机选择2个选项，求他的得分Y的分布列与数学期望：
(3)若，该同学随机选择1个选项还是随机选择2个选项，能使得分更好？
变式1．（2025·河北保定·二模）某零件厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱零件的定价为500元，低于200箱按原价销售，不低于200箱有两种优惠方案．方案一：以200箱为基准，每多100箱免12箱的金额．方案二：通过双方议价，买方能以每箱优惠的价格成交的概率为0.3，以每箱优惠的价格成交的概率为0.4，以每箱优惠的价格成交的概率为0.3．
(1)买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，求甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率．
(2)买方乙要在该厂购买400箱这种零件，以购买总价的数学期望为决策依据，试问乙选择哪种优惠方案更划算？请说明你的理由．
(3)买方丙要在该厂购买960箱这种零件，由于购买的箱数超过500，该厂的销售部让丙综合使用这两种方案作为第三种方案，即一部分用方案一（箱数必须是100的正整数倍），另一部分使用方案二（箱数不限），试问丙应该如何使用方案三，才能获得最多的优惠？说明你的理由．
变式2．（24-25高二下·山东济宁·期中）甲、乙两个箱子中各装有大小质地完全相同的10个球，其中甲箱中有8个红球和2个白球，乙箱中有5个红球和5个白球．
(1)现从甲、乙两个箱子中各摸出1球，记摸到红球的个数为，求的分布列．
(2)现做如下试验：先在两个箱子中选择一个并从中随机摸一球，若摸出的球是白球，则该试验结束；若摸出的球是红球，则从另一个箱子中再随机摸一球，无论摸出的球是白球还是红球，该试验都结束．假设从甲箱子中摸出一球是红球得奖金100元，否则不得奖金；从乙箱子中摸出一球是红球得奖金200元，否则不得奖金．为使累计得奖金额的均值最大，如果摸球顺序由你选择，你应该先从哪个箱子开始摸球？并说明理由．
变式3．（24-25高三下·河北邢台·月考）邢台市第一中学篮球队进行分投篮训练，已知队员投篮命中率为，其余队员命中率为．
(1)如果队员、、轮流投篮一次，直到有人投进为止，投进球者获得奖励．若第一个投篮，求在第二次投篮时获得奖励的概率．
(2)教练和队员约定：先投个球，如果都进，则其训练结束，否则需要再加练个投球，且，、为正整数．如果这样的约定以后一直进行，队员希望投篮的次数越少越好，那么他应该选择的值是多少？
变式4．（25-26高三上·重庆九龙坡·月考）某健身馆为预估2024年2月份客户投入的健身消费金额，随机抽样统计了2024年1月份100名客户的消费金额，分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：
(1)若消费金额不少于800元的客户称为健身卫士，不少于1000元的客户称为健身达人，现利用分层随机抽样的方法从健身卫士中抽取6人，再从这6人中抽取2人做进一步调查，求抽到的2人中至少1人为健身达人的概率；
(2)为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案.
方案一：每满800元可立减100元；
方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折.
若某人打算购买1000元的营养品，请您帮他分析应该选择哪种促销方案.考点目录
离散型随机变量的数学期望
数学期望的性质
数学期望的应用
单个家庭生育婴儿数
1
2
3
补贴方案
每月补助300元，共补贴3年
每月补助1100元，共补贴3年
每月补助2600元，共补贴3年
补贴方案
每月补助1000元，共补贴3年
单个家庭生育婴儿数
0
1
2
3
概率
测试项
A
B
C
频数
16
15
10
X
0
1
P
0.6
m
2
4
8
0
1
2
0.3
0.4
0
1
2
X
0
1
2
3
P
0.1
m
0.2
n
参加一项的概率
参加两项的概率
参加三项的概率
女生
男生