用样本估计总体、相关关系专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习

这是一份用样本估计总体、相关关系专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习，共22页。
A．86B．88C．123D．126
【答案】B
【详解】因为，所以这组数据的下四分位数为.
故选：B
例2．（25-26高二上·上海·期末）为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM2.5的日均值（单位为），依次为，则下列四个结论中正确的个数为（ ）.
①前4天的极差大于后4天的极差；
②前4天的方差小于后4天的方差；
③这组数据的中位数为31或33；
④这组数据的第60百分位数与众数相同；
A．4B．1C．2D．3
【答案】C
【详解】前4天的极差，后4天的极差，所以①正确；
前4天的平均数为，所以其方差为
后4天的平均数为，所以其方差为，
所以前4天的方差大于后4天的方差，所以②错误；
数据从小到大排列，
这组数据的中位数为所以③错误；
这组数据的第60百分位数是第6个数和第7个数的平均数，与众数33相同，所以④正确.
故选：C．
例3．（2026·河北沧州·一模·多选）某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度问卷调查，在1000名用户的问卷（用户打分都在50分到100分之间）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，则（同一组数据用该组区间的中点值为代表）（ ）

A．
B．由样本数据可估计1000名用户中打分在70分以下的有350人
C．估计这1000名用户问卷的得分的分位数为85
D．估计这1000名用户问卷的得分的平均数为75
【答案】ABC
【详解】对于A，由题可得，
故A正确；
对于B，由A分析，打分在分以下对应频率为：，则对应人数为：，故B正确；
对于C，前3个矩形面积之和为：，
前4个矩形面积之和为：，
则分位数在到90之间，设为，则，
故C正确；
对于D，平均数为：
，故D错误.
故选：ABC
例4．（25-26高三上·安徽·期末·多选）水稻的产量与单株水稻谷粒饱满程度及谷粒数量有关．某科研小组在一块水稻田中，随机抽取10株即将成熟的水稻，检查每株的谷粒数量，统计如下：150，153，150，148，142，157，160，146，150，154（单位：粒），则（ ）
A．这10个数据的中位数和众数相等B．这10个数据的平均数为150
C．这10个数据的极差为18D．这10个数据的方差为24
【答案】AC
【详解】这10个数据从小到大排列为142，146，148，150，150，150，153，154 ，157，160，
对于A，其中第5和第6个数为150和150，故这10个数据的中位数为，
这10个数据中出现次数最多的数为：150，所以众数为150，故A正确；
对于B，平均数，故B错误；
对于C，极差，故C正确；
对于D，方差
，故D错误.
故选：AC.
例5．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知某种生物存在具有明显差异的两种类型，且两种类型的数量比为，现按分层随机抽样的方法抽取容量为25的样本，统计该种生物的两项指标和得到样本，，，2，3，…，25.已知类型样本的变量的均值，的均值，，B类型样本的变量的均值，的均值，.记总样本的均值为，的均值为，且.若与存在线性相关，其线性回归方程为，则的预测值的方差估计值 .
附：，.
【答案】
【详解】两种类型的数量比为，现按分层随机抽样的方法抽取容量为25的样本，
则两种类型的数量为，两种类型的数量为，
设类型样本的方差为，类型样本的方差为，总样本的方差为，
，，，，
，
，，
，，
，，
，
，
，，
，
，.
，，
，
，
，
，的预测值的方差估计值.
故答案为：.
例6．（25-26高一上·辽宁·期末）在了解高一年级学生每月在校图书馆平均借阅了多少本文学书籍时，甲同学在物理组合班抽取了一个容量为的样本并算得样本的平均数为5，方差为8．乙同学在历史组合班抽取了一个容量为的样本，并算得样本的平均数为8，方差为．已知甲乙两同学抽取的样本合在一起，组成一个容量为的样本，那么合在一起后的样本平均数为 ，样本方差为 ．
【答案】 6
【详解】设甲同学的样本量为，平均数为，方差为，乙同学的样本量为，平均数为，方差为，
则，
合并后样本量为：，
合并后样本平均数为：，
甲同学的样本平方和为：，
乙同学的样本平方和为：，
合并后总平方和：，
合并后样本方差为：．
故答案为：．
变式1．（25-26高三上·陕西商洛·期末）已知一组样本数据1，2，4，4，9，则该组数据的（ ）
A．平均数是30%分位数和极差的等比中项
B．30%分位数是平均数和极差的等比中项
C．平均数是30%分位数和极差的等差中项
D．30%分位数是平均数和极差的等差中项
【答案】A
【详解】因为5×30%=1.5，所以该组数据的30%分位数为2，
因为该组数据的平均数为，极差为，
所以该组数据的平均数是30%分位数和极差的等比中项，
故选：A.
变式2．（2026·重庆九龙坡·一模）有一位射击运动员在一次射击测试中射靶 10 次，记录每次命中的环数，得到如下一组数据: 7，8，7，9，5，6，9，10，7，4. 则这组数据的第25百分位数为（ ）
A．5.5B．6C．8.5D．9
【答案】B
【详解】将数据从小到大排列为4，5，6，7，7，7，8，9，9，10，
，故从小到大选取第3个数作为这组数据的第25百分位数，即6.
故选：B
变式3．（2026·四川泸州·二模·多选）已知两组样本数据和，其中是的中位数，则这两组样本数据的（ ）
A．极差不相等B．中位数相等
C．平均数相等D．标准差可能相等
【答案】BD
【详解】不妨设，则，
新数据按升序排列可得，
对于选项A：两组数据的极差均为，即极差相等，故A错误；
对于选项B：两组数据的中位数均为，即中位数相等，故B正确；
对于选项C：例如，则，平均数为，
新数据的平均数为，
显然，所以平均数不相等，故C错误；
对于选项D：例如，则，显然其标准差为0，
新数据的标准差也为0，两者相等，故D正确；
故选：BD.
变式4．（25-26高三上·广东东莞·期末·多选）甲、乙两名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，两人的测试成绩如下表：
则下列说法正确的有（ ）
A．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
B．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差
【答案】AC
【详解】由题意可得甲的成绩的中位数为9，平均数为，
方差为，极差为3；
乙的成绩的中位数为9，平均数为，
方差为，极差为3.
故甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数、甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数、甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差、甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差.
故AC正确，BD错误.
故选：AC
变式5．（25-26高二上·上海青浦·月考）某中学从甲、乙两个班中各选出15名学生参加知识竞赛，将他们的成绩（满分100分）进行统计分析，绘制成如图所示的茎叶图．已知甲班级15名学生成绩的中位数为，乙班级15名学生成绩的第60百分位数为，则
【答案】
【详解】甲班级学生成绩为：，
则；
乙班级学生成绩为：，
因为，所以，
故.
故答案为：
变式6．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某学校有男生800人，女生600人.为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4.若男､女样本量按比例分配，则可估计总体方差为 .
【答案】1.92
【详解】由题意，总体的平均数为小时，
根据分层随机抽样的性质，
可得总体的方差为：.
故答案为：1.92
考点二 相关关系
例1．（24-25高二下·陕西西安·期末）文旅部门统计了某网红景点在2024年3月至7月的旅游收入（单位：万元），得到以下数据：
(1)根据表中所给数据，用相关系数加以判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？若可以，求出关于之间的经验回归方程；若不可以，请说明理由；（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则没有很强的线性相关性）
(2)为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”．
参考公式：相关系数，经验回归方程：，其中，，，其中．
参考数据：．
临界值表：
【答案】(1)可用，
(2)表格见解析，认为游客是否喜欢该网红景点与性别有关联．
【详解】（1）由已知得：，，，，，
所以
，
与的线性相关关系很强，可用线性回归模型拟合与的关系，
，，
故关于的经验回归方程为：．
（2）列联表如下所示：
零假设为：游客是否喜欢该网红景点与性别无关联，
根据列联表中数据，，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为游客是否喜欢该网红景点与性别有关联．
例2．（24-25高二下·山东烟台·期中）某种产品销售价格x（万元/吨）和销售量y（吨）的变化情况如表：
(1)计算y与x的相关系数r，并说明y与x的关系是否可用线性回归模型拟合；（一般地，若，则可认为线性相关程度较高，可用线性回归模型拟合．）
(2)若该产品每吨成本为4万元，请利用y与x的回归关系预测：销售价格定为多少时该产品的销售利润最大？（结果精确到0.01）
参考公式：对于一组数据，
其相关系数；其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
参考数据：，．
【答案】(1)答案见解析
(2)预测销售价格为6.79万元/吨
【详解】（1）由题意，，，
，
，
．
所以，
所以，故与的线性相关程度较高，可以用线性回归模型拟合与的关系．
（2），
所以关于的经验回归方程为．
由题意，销售利润为，
当时，取得最大值，
所以预测销售价格为6.79万元/吨时，该产品销售利润最大．
例3．（2025·四川乐山·三模）电影《哪吒2》上映以来引起了全社会甚至全世界的关注，全球票房突破百亿.“跟着吒儿去旅游”成为热门出游方式，某景点宣传投入金额（单位：万元）与游客满意度评分（满分：100分）之间可能存在一定的关系，以下是随机抽取的6个不同线上宣传投入金额和游客满意度评分的数据：
(1)根据表中所给数据，用相关系数加以判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？若可以，求出关于之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由（精确到小数点后两位）；
(2)《哪吒2》中更是蕴含着丰富的中国传统文化，某校举办中国传统文化比赛，甲、乙两人进入决赛，决赛采用“五局三胜制”，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，.
①若甲以获胜的概率为，求的最大值；
②在①中，若，以作为的值，设甲、乙比赛的局数为，求的分布列和期望.
参考公式：相关系数，，
参考数据：.
【答案】(1)可以，
(2)①；②分布列见解析，
【详解】（1）解：由已知得，，
可得，
，
，
所以，
因为，可以推断与正两个变量正线性相关，且相关程度很强，
可用线性回归模型拟合与的关系，
则，所以，
所以关于的线性回归方程为：.
（2）解：①若甲以获胜，则前四局中甲、乙各胜两局，且第五局甲获胜，
所以，
所以，
令，可得，当时，；
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
所以当时，取得最大值，
②由①知，，随机变量，
可得；；
，
所以随机变量的分布列为
所以.
例4．（24-25高二下·重庆渝中·期中）某科技公司的广告投入（单位：百万）与销售额（单位：千万）之间有如下对应数据：
(1)求样本相关系数（结果保留两位小数），并判断与是否具有较强的线性相关性；
(2)求销售额关于广告投入的经验回归方程.
参考公式：.
参考数据：.
【答案】(1)，有较强的线性相关性
(2)
【详解】（1）由题意可知，
，
因为非常接近1，故与有较强的线性相关性；
（2），
故.将代入可得，
故经验回归方程为.
变式1．（24-25高二下·浙江丽水·期中）浙江省教育厅等五部门印发《浙江省山区26县和海岛县“县中崛起”行动计划》，从招生管理、县中对口帮扶、教科研指导等九方面提升共同富裕背景下教育公共服务的质量和水平.某校为增强实力，大力招揽名师、建设校园设施，近5年该校招生人数的数据如下表：
(1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明；
(2)求关于的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数．
参考数据：．
参考公式：相关系数，
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
【答案】(1)证明见解析
(2)，预测当年份序号为7时该校的招生人数为4.5千人
【详解】（1）由，，
，
所以，
因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系．
（2），
所以关于的回归直线方程为．
当时，，
由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为4.5千人
变式2．（24-25高三上·四川广安·月考）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y（元）与生产的产品数量x（千件）有关，经统计得到如下数据：
(1)根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系?并指出是正相关还是们相关；
(2)求y关于x的回归方程，并预测生产该产品13千件时，每件产品的非原料成本为多少元?
附：参考公式：相关系数，，．
参考数据：．
【答案】(1)可以用线性回归方程模型拟合与的关系，负相关；
(2)，元.
【详解】（1）由题意得
，，
，，
因而相关系数
由于很接近1，说明，线性相关性很强，
因而可以用线性回归方程模型拟合与的关系．
由于，故其关系为负相关．
（2）由（1）知，，
，
则所求的回归方程是．
当为13时，可预测．
变式3．（24-25高二下·云南曲靖·期中）曲靖一中2025届高二年级春节学期4月份组织了一次月考，A同学为了探究学生的数学学习情况是否对物理学习情况存在影响，A同学在某班随机抽取10名同学的数学与物理的成绩( 表示数学成绩， 表示物理成绩)如下： 、 、 、、、、、、、．参考数据：，，相关系数，，
(1)计算样本中变量与的相关系数，根据计算结果判断样本中物理成绩与数学成绩的相关情况；
(2)建立变量与之间的经验回归方程(精确到小数点后的两位数），该班Ｂ同学的数学成绩是140分，A同学可以估计Ｂ同学的物理成绩大约是多少？
(3)用（1）（2）中的结果估计该班、估计全年级学生物理成绩与数学成绩的关联情况是否可靠？为什么？
【答案】(1)；物理成绩与数学成绩呈现正相关而且是强线性相关关系
(2)；成绩约为108左右
(3)不可靠，理由见解析
【详解】（1）解：，
．
，
．
比较题目所给参考数据进行估算，取，，
则
或．
因为，非常接近1，所以物理成绩与数学成绩呈现正相关而且是强线性相关关系．
（2）因为，．
所以变量与之间的经验回归方程：．
时，．
所以，该班B同学的数学成绩是140时，A同学可以估计同学的物理成绩约为108左右．
（3）用此样本估计估计全年级学生物理与数学的关系不可靠，
原因是：样本容量太小，并且样本具有随机性，此样本的数据太“集中”，样本的代表性不强．尤其是该样本取自于一个班级，用于估计全年级的情况时，代表性就更差了．
变式4．（24-25高二下·河南南阳·月考）近些年来，短视频社交软件日益受到追捧，用户可以通过软件选择歌曲，拍摄音乐短视频，创作自己的作品.某用户对自己发布的视频个数x与收到的点赞个数之和y之间的关系进行了分析研究，得到如下数据：
(1)计算x，y的相关系数r（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为发布的视频个数与收到的点赞数之和的相关性很强；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程.
参考公式：，，.参考数据：，.
【答案】(1)，可以认为发布的视频个数与收到的点赞数之和的相关性很强
(2)
【详解】（1）因为，，
所以，.
因为，所以
所以，
由此可以认为发布的视频个数与收到的点赞数之和的相关性很强.
（2）由（1）知，，
所以.
因为，
所以y关于x的线性回归方程为.考点目录
用样本估计总体
相关关系
甲的成绩
乙的成绩
环数
7
8
9
10
环数
7
8
9
10
频数
4
5
8
3
频数
5
3
9
3
月份
3
4
5
6
7
旅游收入
10
12
11
12
20
性别
网红景点
总计
喜欢
不喜欢
男
100
女
60
总计
110
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
网红景点
总计
喜欢
不喜欢
男
70
30
100
女
40
60
100
总计
110
90
200
x
5
5.5
6
6.5
7
y
13
11
10
9
7
线上宣传投入金额（万元）
20
30
40
50
60
70
游客满意度评分（分）
60
65
70
78
80
85
3
4
5
广告投入
18
16
14
12
10
8
销售额
13
11
9
8
7
6
年份序号
1
2
3
4
5
招生人数/千人
1.3
1.7
2.2
2.8
3.5
x
2
5
8
9
11
y
12
10
8
8
7
x
3
4
5
6
7
y
45
50
60
65
70