奇偶性6种高频考点专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份奇偶性6种高频考点专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
A．为奇函数B．为偶函数
C．为奇函数D．为偶函数
【答案】B
【详解】对于A，，
设，，
，其中，
故不为奇函数，为偶函数，故A错误，B正确.
，其中，
设，则，
故
故既不是奇函数，也不是偶函数，故CD错误.
例2．（25-26高二下·山西长治·开学考试）下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】对于A项，函数为偶函数，故A项错误；
对于B项，函数在R上单调递减，故B项错误；
对于C项，，函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数，故C项正确；
对于D项，函数在上单调递减，在上单调递减，故D项错误．
变式1．（25-26高三上·山西晋中·期末）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】A选项：，定义域为，且为奇函数，在上单调递增，A选项正确；
对选项B，令，定义域为，，
所以为偶函数，故B错误；
C选项：定义域为，为非奇非偶函数，C选项错误；
D选项：是定义域为，的奇函数，且在，上单调递增，
但其在区间上不单调递增，例如，取，，有，D选项错误；
故选：A.
变式2．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知函数，则（ ）
A．函数是偶函数，在上单调递减
B．函数是偶函数，在上单调递增
C．函数是奇函数，在上单调递减
D．函数是奇函数，在上单调递增
【答案】D
【详解】函数的定义域为，
又，
所以函数是奇函数，
又，所以函数在上单调递增.
故选：D.
考点二 奇偶性的应用：利用奇偶性求参数
例1．（25-26高三下·天津南开·月考）已知函数是偶函数，则函数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】，
即，
，解得，
，
则，解得，
的定义域为，
又因为，，
即函数的取值范围是．
例2．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）若函数是奇函数，则的值为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】D
【详解】是奇函数，为偶函数，
为奇函数，
.
故选：D.
例3．（2026·江西·一模）已知函数是偶函数，则___________．
【答案】2
【详解】因为为偶函数，所以，
，
即，
化简可得对于任意恒成立，
所以，所以．
例4．（2025·浙江·三模）已知函数为奇函数，则________.
【答案】
【详解】因为函数为奇函数，
当时,，由可得，
即
因是任意非零实数，则,解得,，故.
故答案为：.
变式1．（2026·广东·模拟预测）已知函数，且是偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】将代入，可得，则，
于是，显然其对称轴，
而是偶函数即曲线关于对称，故得.
故选：C.
变式2．（2026·河南鹤壁·一模）已知是偶函数，则（ ）
A．2B．C．1D．0
【答案】D
【详解】函数是R上的偶函数，而是奇函数，
则函数是奇函数，，解得，此时是奇函数，
所以.
故选：D
变式3．（25-26高三下·浙江·开学考试）已知为奇函数，则_____________．
【答案】
【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，解得，
当，，不为奇函数，不合题意舍去．
当时，，即，为奇函数，符合题意，
所以．
变式4．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知幂函数是定义域为的偶函数，则实数______．
【答案】2
【详解】为幂函数，
，
解得或；
当时，，是偶函数，满足题意；
当时，，其定义域为，不为，故不满足题意；
综上所述：；
故答案为：2
考点三 奇偶性的应用：利用奇偶性判断函数图像
例1．（25-26高二上·重庆·月考）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】定义域为，
又，故为偶函数，排除BD；
当时，，故，排除C选项，A正确.
故选：A
例2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，
，则，即定义域为，
设，则，
故为偶函数，图象关于轴对称，排除BC，
当时，，，，，排除A，
所以选项D正确.
变式1．（25-26高一上·湖南长沙·期末）函数的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】，其定义域为.
对于任意.
所以函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除D选项；
当时，，所以，则；
当时，，所以，则，故排除B选项；
当时，，所以排除选项A.
故选：C.
变式2．（25-26高一上·湖南益阳·期末）已知函数，则它的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由题设，函数的定义域为，且，
所以为奇函数，排除B、D，
当时，，故，排除C.
故选：A
考点四 奇偶性的应用：利用奇偶性求解析式
例1．（25-26高一上·安徽·月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】当时，，所以
函数是上的奇函数，所以
故选：B.
例2．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以对任意，都有，且.
于是 即.
因为当时，当时，，则，
故有，
由得或，
解得或.
综上，不等式的解集为.
故选：B
例3．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知是偶函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________.
【答案】
【详解】由题意知，当时，，
则，又为上的偶函数，
所以.
故答案为：
例4．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为___________．
【答案】
【详解】任取，则，，又为偶函数，，
所以，
所以，所以切点坐标为，
又，所以，
即切线的斜率，所以切线的点斜式方程为，
整理得，
故答案为：.
变式1．（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知是定义在上的奇函数，且时，，则（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】D
【详解】当时，，所以.
因为是定义在上的奇函数，所以.
所以，所以.
因为，所以.
故选：D.
变式2．（25-26高一上·河北唐山·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】当时，，所以，
因为函数是定义域为的奇函数，所以 .
故选：C
变式3．（25-26高三上·广西贵港·月考）设函数，若是奇函数，则的表达式是___________．
【答案】，
【分析】根据函数的奇偶性求解析式即可.
【详解】因为是奇函数，所以.
因为时，，
所以当时，，所以.
所以，.
又当时，，所以，.
变式4．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知函数是奇函数，当时，，则____.
【答案】
【详解】因为，
且是奇函数，
所以,
故答案为：.
考点五 奇偶性的应用：利用奇偶性解不等式
例1．（25-26高一下·安徽阜阳·开学考试）函数，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】设，该函数的定义域为，
，都有，且，
所以函数是奇函数，
因是上的增函数，则是上的增函数且恒为正数，
故是上的减函数，是上的增函数，
由，得，则，
则，解得.
例2．（2026·安徽黄山·一模）已知是上的奇函数，且，若在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由函数是上的奇函数，且， 在上单调递减，
可得函数的图像关于原点对称，，且在上单调递减，
函数的图像如图所示，
结合图像可得，不等式的解集为.
故选：A.

例3．（25-26高一下·河北邢台·开学考试）已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，且，，则不等式的解集为_________.
【答案】
【详解】由函数为定义在上的奇函数，在上单调递增函数，
则函数在上也是单调递增函数，且，
当时，因为，不等式，即为，可得
当时，因为，满足；
当时，因为，可得，
则不等式，即为，可得，
综上可得，不等式的解集为.
例4．（25-26高二下·河北衡水·开学考试）设，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，，为其导函数，当时，且，则不等式的解集为________________.
【答案】
【详解】设，则，
因为当时，，所以当时，，
所以函数在上单调递减，
又，分别是定义在上的奇函数和偶函数，
所以，即是上的奇函数，
故函数在上单调递减，，
又为偶函数，则，所以，所以，
不等式等价于，结合图象解得或，
则不等式的解集为.
变式1．（2026·云南红河·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由题意可知，当时，；当时，．
由奇函数的性质可得函数的图象如下：
由图象可得，不等式的解集为．
故选:B．
变式2．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】令，则，
由时，，故，
即在上单调递减，又为偶函数，则，
则也是定义在的偶函数，
由，则，
则当时，，且，
当时，，且，
令，则有或，
对，解得；对，解得，
故的解集为.
故选：A.
变式3．（25-26高二上·陕西渭南·期末）设函数 ，则满足的的取值范围是___________.
【答案】
【详解】由题意得，，所以，
在上单调递增.
又，所以为上单调递增的奇函数.
则可化为，
又在上单调递增，所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
变式4．（25-26高三上·河南周口·期末）若函数在上单调递增，且是奇函数，则不等式的解集为______.
【答案】
【详解】因为是奇函数，所以，
则等价于．
又在上单调递增，所以，解得或．
则其解集为.
故答案为：.
考点六 抽象函数的奇偶性
例1．（2026·广东佛山·二模·多选）定义域关于原点对称的函数，满足，，为偶函数且，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．若，则
【答案】ABD
【详解】令，则，化简得，又，，故A正确，
令，，化简得，又，，故B正确，
令，则，化简得，故为奇函数，故C错误.
令，则，化简得，
又，，
再令，则，
又为偶函数，，又为奇函数，，
故化简得，
，解得，故D正确.
例2．（25-26高三下·河南·开学考试·多选）已知函数 满足 ，，且，则（ ）
A．B．
C．的解集为D．
【答案】ACD
【详解】令，，则，即，
因为，所以，则，故A正确；
令，，则，所以，
又，所以 0，故B错误；
令，得，即，所以，
由，得 ，即，
两边平方并整理得，解得，
所以不等式的解集为，故C正确；
令，则，所以在上单调递减，
又，，所以，所以 ，
取，得，所以，
又在上单调递减，所以，故 正确.
故选：ACD.
例3．（25-26高三上·福建漳州·月考）定义在上的单调函数满足且对任意x，都有．
(1)判断的奇偶性，并说明理由；
(2)若对任意恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)奇函数，理由见解析；
(2)
【详解】（1）是奇函数，
理由如下：
由，①
令，代入①式，得，即．
令，代入①式，得，又，
则有．即对任意成立，
所以是奇函数．
（2），即，又在上是单调函数，
所以在上是增函数
又由（1）是奇函数．，
∴，对任意成立．
令，问题等价于对任意恒成立．
令，其对称轴．
当即时，，符合题意；
当时，对任意，恒成立．
解得．
综上所述，当时，对任意恒成立．
例4．（25-26高三上·河北保定·月考）已知定义在上的函数满足，，，且．
(1)求，，的值；
(2)判断的奇偶性，并证明．
【答案】(1)，，
(2)偶函数，证明见解析
【详解】（1）令，得，
因为，所以．
令，得，
因为，所以．
令，得，
即，
因为，所以，所以．
（2）为偶函数．
证明如下：令，得，
由（1）得，
即，又的定义域为，所以为偶函数．
变式1．（25-26高三上·山东日照·期末·多选）已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是奇函数
C．D．
【答案】ACD
【详解】A：令，，可得，解得，
所以，故A正确；
B：由题可得函数的定义域为，令，则得，
即，所以为偶函数，故B错误；
C：令，即，即，
将替换可得，
得，则，
所以，故C正确；
D：令，则，因，所以；
由，所以当时，，
当时，，当时，，
令，，则，解得，所以，
所以在一个周期内，
因，所以，故D正确．
故选：ACD．
变式2．（25-26高三上·江苏无锡·期末·多选）函数在R上的图象是一条连续不断的曲线，，，则（ ）
A．B．
C．是奇函数D．零点个数大于1
【答案】ACD
【详解】对于A项，令，由已知可得，，解得.
令，由已知可得，，
解得.故A正确；
对于B项，令，代入已知条件可得，
.
又，所以有.故B错误；
对于C项，令，代入已知条件可得，
.
因为，
所以有，
所以，是奇函数.故C正确；
对于D项，令，代入已知有.
.
令，由可得，
.
令，，由可得，
.
因为函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且，根据零点存在定理，可知在，使得.
根据函数为奇函数，可知.
所以，函数至少存在三个零点.故D正确.
故选：ACD.
变式3．（25-26高三上·福建莆田·开学考试）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意x，y∈R，都有，当时，.
(1)证明：为奇函数；
(2)若，解不等式.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）∵函数的定义域为，则定义域关于原点对称．
∵对任意x，y∈R，都有，
故令，则，，
令，则，即，
是奇函数；
（2）任取，且，由题意得，，，
，
，
，
在上为减函数．
因，∴，
∴
，
解得，
∴的解集为：．
变式4．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）函数的定义域为，且满足对于任意，有，当.
(1)证明：在上是增函数；
(2)证明：是偶函数；
(3)如果，解不等式.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）设，则，
由于，所以，所以，
所以，所以，
所以在上是增函数；
（2）因对定义域内的任意，有，
令，则有，
又令，得，
再令，得，从而，
于是有，所以是偶函数．
（3）由于，所以，
于是不等式可化为，
由（2）可知函数是偶函数，则不等式可化为，
又由（1）可知在上是增函数，所以可得，
解得，所以不等式的解集为．考点目录
奇偶性的定义与判定
奇偶性的应用：利用奇偶性求参数
奇偶性的应用：利用奇偶性判断函数图像
奇偶性的应用：利用奇偶性求解析式
奇偶性的应用：利用奇偶性解不等式
抽象函数的奇偶性