对数型复合函数的图像与性质、对数函数的实际应用问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

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A．的图象恒过原点
B．若，则是增函数
C．若的定义域为，则的取值范围为
D．若在上单调递增，则的取值范围
【答案】AC
【详解】因为函数，
对于选项A：因为，所以的图象恒过原点，故A正确；
对于选项B：若，则，
因为，可知不是增函数，故B错误；
对于选项C：若的定义域为，则对任意恒成立，
则，解得，
所以的取值范围为，故C正确；
对于选项D：若在上单调递增，结合在定义域内为增函数，
在单调递增且恒大于零，
则，解得，故D错误．
故选：AC．
例2．（25-26高一上·安徽合肥·期末·多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在单调递增
B．在单调递减
C．的图象关于点对称
D．的图象关于直线对称
【答案】ABD
【详解】对于A、B：因为函数，则，解得，
所以的定义域为，
又，
令，，则，
∵在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递增，
∴在上单调递增，在上单调递减，故A、B正确；
对于C：因为，
故不恒成立，
所以的图象不关于点对称，故C错误；
对于D：∵函数,
∴，即，
即的图像关于直线对称，故D正确.
故选：ABD
例3．（25-26高一上·山东德州·期末·多选）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，的单调递增区间为
B．当时，的值域为
C．若的定义域为，则的取值范围为
D．若的值域为，则的取值范围
【答案】BC
【详解】对于A：若，则，令，
解得，即函数的定义域为，因此的单调递增区间不可能为，故A错误；
对于B：当时，，令，
由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，故，
若，则，即的值域为，故B正确；
对于C：若的定义域为，则在上恒成立，
因此有，解得，即，故C正确；
对于D：若的值域为，则是的值域的子集.
若，易知的值域为，满足题意；
若，要使是的值域的子集，则必有，且，得，
综上的取值范围为，故D错误.
故选：BC.
例4．（25-26高三上·安徽阜阳·月考·多选）已知函数 ，则（ ）
A．在 上单调递增
B．在 上单调递减
C．的最小值为
D．的图象关于直线对称
【答案】CD
【详解】令，所以 .
由于在 上单调递减，在上单调递增，且是增函数，
所以在 上单调递减，在 上单调递增，最小值为 .
又关于对称，所以的图象关于直线对称
故选：CD.
例5．（24-25高三上·江西宜春·期末）已知为实数，函数，其中.
(1)若函数是偶函数，求实数的值；
(2)设，当时，函数的值域为，若的最小值为，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由函数，
因为是偶函数，可得对任意恒成立，
即对任意恒成立，
所以，可得.
（2）因为且，可得函数，
由复合函数的单调性可得函数在上单调递减，在单调递增，
因为当时，函数的值域为，且，
所以（其中，等号不能同时取得），
令，可得，解得或，
又因为，所以，
所以的最小值为，解得.
例6．（24-25高三上·安徽亳州·月考）设函数且．
(1)若，求实数的值及函数的定义域；
(2)若，求函数的最大值．
【答案】(1)，定义域为
(2)2
【详解】（1）由，解得．
所以，
由得，所以函数的定义域为．
（2）若，
由（1）知，函数的定义域为，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在定义域内为增函数，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．
变式1．（25-26高三上·云南楚雄·期中·多选）若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为偶函数
B．若的定义域为，则的取值范围是
C．若，则的单调递增区间为
D．若在上单调递减，则的取值范围是
【答案】ABD
【详解】当时，，定义域是，满足，是偶函数，故A正确；
若的定义域为，则的解集为，则，解得，故B正确；
若，则，由得或，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
且函数为增函数，则的单调递增区间是，故C错误；
若在上单调递减，由于的对称轴是，因此有，即，
且时，，因此有，即，D正确．
故选：ABD．
变式2．（2025·云南昆明·一模·多选）已知函数，则（ ）
A．在定义域上单调递减B．曲线关于点对称
C．当时，D．
【答案】BC
【详解】对于A，由，可得或，
所以函数定义域为，而，错误；
对于B，，
所以曲线关于点对称，正确；
对于C，由在区间上单调递减，
当时，，正确；
对于D，，错误．
故选：BC
变式3．（25-26高三上·安徽·月考·多选）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．的增区间为B．的减区间为
C．的值域为D．有最大值
【答案】BC
【详解】令，解得或，
所以函数的定义域为，又在定义域内单调递减，
所以根据复合函数同增异减的性质可知，
的增区间为，的减区间为，故A错误，B正确；
因为当或时，的值域为，
所以的值域为，无最大值，故C正确，D错误.
故选：BC.
变式4．（24-25高一下·山西运城·月考·多选）已知函数，则（ ）
A．函数为偶函数
B．函数的增区间为，减区间为
C．函数的值域为
D．若，则实数的取值范围为
【答案】ABD
【详解】对于A选项，函数的定义域为，
由，有，
可得函数为偶函数，故A选项正确；
对于B选项，当时，，
由函数在上单调递增，在上单调递增，
可得函数在上单调递增（复合函数的单调性），
又由函数为偶函数，可得函数的增区间为，减区间为，
故B选项正确；
对于C选项，当时，由，得，有，
可得，
又由函数为偶函数，可得函数的值域为，故C选项错误；
对于D选项，由及函数是偶函数，
且函数的增区间为，减区间为，
，可得，故D选项正确．
故选：ABD.
变式5．（24-25高三上·上海·期中）已知函数.
(1)当时，解不等式；
(2)若函数的最大值是，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由题意，则，可得，即；
（2）令，而在定义域内单调性递增，
所以，最大值是，则只需，令，
所以在上最大值为，
根据二次函数性质有，则函数的图象开口向下，对称轴为，
所以，则，
整理得，可得或（舍）.
变式6．（24-25高三上·青海西宁·月考）已知函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若的定义域为，求实数的取值范围；
(3)若的值域为，求实数的取值范围.
【答案】(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增.
(2)
(3).
【详解】（1）因为当时，函数，
令，由，可得，
在区间上单调递增，在区间上单调递减.
又函数为减函数，根据复合函数单调性“同增异减”的判断法则，
可得在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）要使的定义域为，只需真数对一切实数恒成立.
①当，即时，
若，
显然，只有时，才有，不符合题意，；
若，则对一切实数都成立，满足题意.
②当时，对一切实数恒成立的充要条件是：
解得或.
综上，实数的取值范围是.
（3）要使的值域为，只需真数的值域包含.
①当，即时，
若，则，显然的值域包含满足题意；
若，则，不符合题意，.
②当时，必有
即解得.
综上，实数的取值范围是.
考点二 对数函数的实际应用问题
例1．（25-26高三上·湖南长沙·期末）已知某放射性物质的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足表示原有的某种物质的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的该种物质的质量是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（ ）（参考数据：）
A．800年B．810年C．900年D．920年
【答案】C
【详解】由题要使得某放射性物质的质量是原来的倍，可得，即，
两边取自然对数可得，即，
所以年.
故选：C
例2．（25-26高三上·辽宁·期末）5G信号随传输距离的增加而变弱.传输距离 （单位：km）与5G信号 （单位：W）的关系为 其中 为发射器发出的5G初始信号 为衰减系数（常数）.已知某5G信号的传输距离为50 km时该信号减弱为5G初始信号的一半.若在某处测得的信号为5G初始信号的 则传输距离为（ ）
A．100 kmB．150 kmC．200 kmD．250 km
【答案】C
【详解】由题意可知解得所以
将代入得.
故选：C
例3．（25-26高三上·广东佛山·月考·多选）在声学中，音量被定义为，其中是音量（单位为），是基准声压，为，p是实际声音压强．人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值．经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图所示，其中对应的听觉下限阈值为对应的听觉下限阈值为，则下列结论正确的是（ ）
A．音量同为20dB的声音，1000～10000Hz的高频比30～100Hz的低频更容易被人们听到
B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小
C．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa
D．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍
【答案】AD
【详解】对于A，30～100Hz的低频对应的听觉下限阈值高于20dB，1000～10000Hz的高频对应的听觉下限阈值低于20dB，
所以对比高频更容易被听到，故A正确；
对于B，从图象上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误；
对于C，240Hz对应的听觉下限阈值为20dB，，令，此时，故C错误；
对于D，1000Hz的听觉下限阈值为0dB，令，此时，
所以240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D正确．
故选：AD.
例4．（2025·河南郑州·模拟预测·多选）溶液酸碱度是通过来计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．例如纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，则纯净水的是7．当时，溶液呈酸性，当时，溶液呈碱性，当（例如：纯净水）时，溶液呈中性．我国规定饮用水的值在之间，则下列选项正确的是（ ）（参考数据：取）
A．若苏打水的是8，则苏打水中的氢离子浓度为摩尔/升
B．若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的是
C．若海水的氢离子浓度是纯净水的倍，则海水的是
D．若某种水中氢离子的浓度为摩尔/升，则该种水适合饮用
【答案】ABC
【详解】对于A，若苏打水的是8，即，所以，
即苏打水中的氢离子浓度为摩尔/升，所以A正确；
对于B，若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则，即B正确；
对于C，若海水的氢离子浓度是纯净水的倍，则海水的氢离子浓度是，
因此，即海水的是，所以C正确；
对于D，若某种水中氢离子的浓度为摩尔/升，则；
而不在范围内，即可得该种水不适合饮用，即D错误；
故选：ABC
例5．（24-25高三上·江苏盐城·月考）中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率N的大小，其中叫做信噪比．已知当x比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了 （附：）
【答案】
【详解】根据题意可设技术提升前最大信息传送速率，信道带宽，信噪比；
提升后分别为，信道带宽，信噪比；
且满足，；
易知，
所以；
所以可得C大约增加了.
故答案为：
例6．（25-26高三上·山西·月考）科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为．在2021年3月13日下午，江西鹰潭余江区发生里氏3.1级地震，2020年1月1日，四川自贡发生里氏级地震，若自贡地震所散发出来的相对能量程度是余江地震所散发出来的相对能量程度的100倍，则 ．
【答案】4.3/
【详解】设里氏3.1级地震所散发出来的能量为，里氏级地震所散发出来的能量为，则.
由已知可得.
所以，.
故答案为：．
变式1．（25-26高三上·江苏盐城·月考）星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，则（ ）
A．3等星的亮度是8等星亮度的100倍
B．8等星的亮度是3等星亮度的100倍
C．3等星的亮度是8等星亮度的10倍
D．8等星的亮度是3等星亮度的10倍
【答案】A
【详解】设3等星的亮度是x，8等星亮度是y，则，
即3等星的亮度是8等星亮度的100倍.
故选：A
变式2．（25-26高三上·福建龙岩·期中）随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（ ）（参考数据：，）
A．秒B．秒
C．秒D．秒
【答案】C
【详解】设处理这段自然语言的翻译所需时间为秒，则，
两边同时取对数，可得，可得，
即，
所以.
故选：C.
变式3．（2026·河北秦皇岛·模拟预测·多选）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准.里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）.地震的能量（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量.已知，其中为地震震级.下列说法正确的是（ ）
A．若地震震级增加1级，则最大振幅增加到原来的10倍
B．若地震震级增加2级，则放出的能量增加到原来的20倍
C．若最大振幅增加到原来的10倍，则放出的能量增加到原来的倍
D．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量也增加到原来的100倍
【答案】AC
【详解】设为地震震级加1级的地震震级，新的地震的能量，新的最大振幅为，
设为地震震级加2级的地震震级，新的地震的能量，
因为，所以，故A正确；
因为，
所以，所以B错误；
因为，
所以，
所以C正确；
因为，
所以，
所以D错误.
故选：AC.
变式4．（2026·河南南阳·模拟预测·多选）在物理学中，声音的强弱叫做响度，单位为宋（sne），响度级为响度的相对量，它反映了人耳依据声压和频率对声音做出的主观响度感受，单位为方（phn），实验发现，响度级LN与响度的关系式为，则（ ）（参考数据：）
A．响度级每增加10方，响度约增加一倍B．响度级为40方，响度为1宋
C．当响度为2宋时，响度级约为45方D．当响度为8宋时，响度级约为70方
【答案】ABD
【详解】对于A，响度级增加10方对应的响度为，则，
因此，即，则响度级每增加10方，响度约增加一倍，A正确；
对于B，当时，，则，B正确；
对于C，当时，，解得，C错误；
对于D，当时，，解得，D正确.
故选：ABD
变式5．（25-26高三上·江苏南京·月考）里氏震级是由来自美国加州理工学院的地震学家里克特（C．F.Richter）和古登堡（B．Gutenberg）于1935年提出的．里氏震级M的计算公式是，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0地震并引发海啸，造成重大人员伤亡和财产损失．一般里氏6.0级地震给人的震撼已十分强烈．按照里氏震级M的计算公式，此次日本东北部大地震的最大振幅是里氏6.0级地震最大振幅的 倍．
【答案】1000
【详解】，
，所以，
所以．
故答案为：1000.
变式6．（25-26高一上·浙江衢州·期末）碧波荡漾，鼓声震天．2025年，衢州市首届全民龙舟争霸赛在乌溪江上激情开赛．在比赛当天水流条件下，龙舟的平均行进速度（米／秒）与队内选手的平均划桨速度（次／分钟）之间满足函数关系：（米／秒）．甲队平均划桨速度为，乙队平均划桨速度为，且．两队从乌溪江同一赛道起点同时出发，划桨频率均保持不变．开赛1分钟后，甲队比乙队多划行 米．
【答案】
【详解】设甲队龙舟的平均行进速度（米／秒），乙队龙舟的平均行进速度（米／秒），
则，，又
则
（米／秒），
所以开赛1分钟后，甲队比乙队多划行（米）.
故答案为：考点目录
对数型复合函数的图像与性质
对数函数的实际应用问题