2026年高考数学一轮复习专项练习基础梳理第8讲 函数的奇偶性、周期性

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知识点目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc19423" 【知识点1】函数奇偶性的判断 PAGEREF _Tc19423 \h 2
\l "_Tc6759" 【知识点2】利用奇偶性求值(解析式) PAGEREF _Tc6759 \h 5
\l "_Tc5908" 【知识点3】利用奇偶性解不等式 PAGEREF _Tc5908 \h 9
\l "_Tc3376" 【知识点4】函数的周期性 PAGEREF _Tc3376 \h 13
基础知识

1．函数的奇偶性
2.函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．函数奇偶性常用结论
奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量x的值：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
知识点1

知识点
【知识点1】函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
典型例题
例1：
【例1】（2025•普陀区三模）下列函数中是奇函数的为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】结合基本初等函数的奇偶性检验各选项即可判断．
【解答】解：，为非奇非偶函数，错误；
为偶函数，错误；
，，
则，即为奇函数，正确．
故选：．
【例2】（2025春•长宁区期中）下列函数中是奇函数的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先求出各个函数的定义域，再根据与的关系即可做出判断．
【解答】解：对于，函数的定义域为，
且，是偶函数，故错误；
对于，函数的定义域为，，
且，所以是偶函数，故错误；
对于，函数的定义域为，
且，所以是奇函数，故正确；
对于，函数的定义域为，
且，
，，所以是非奇非偶函数，故错误．
故选：．
【例3】（2025•济宁模拟）已知函数，则下列是奇函数的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】结合基本初等函数的奇偶性检验各选项即可判断．
【解答】解：因为，
所以不是奇函数；
令，
则，
即为奇函数；
不是奇函数；
不为奇函数．
故选：．
【例4】（2025春•苏州月考）下列函数是偶函数的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可．
【解答】解：对，设，函数定义域为，但，，则（1），不是奇函数，故错误；
对，设，函数定义域为，
且，则为偶函数，故正确；
对，设，函数定义域为，不关于原点对称，则为非奇非偶函数，故错误；
对，设，函数定义域为，因为，，
则（1），则不是偶函数，故错误．
故选：．
【例5】（2025•虹口区二模）下列函数中为奇函数的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】分别判断选项中的函数是否为定义域上的奇函数即可．
【解答】解：对于，的定义域为，，是非奇非偶函数，不满足题意；
对于，是定义域为，，上的偶函数，不满足题意；
对于，，是定义域上的偶函数，不满足题意；
对于，，是定义域，，上的奇函数．
故选：．
知识点2

知识点
【知识点2】利用奇偶性求值(解析式)
一、利用奇偶性求值
1. 直接运用定义
奇函数性质：若函数为奇函数，则，且（若在处有定义）．当已知的值时，可根据此性质求出的值，即 ．
偶函数性质：若函数为偶函数，则，所以，利用这一性质，已知可直接得出的值．
2. 构造奇偶函数
当所给函数不直接具备奇偶性时，可通过对函数进行变形，构造出具有奇偶性的新函数．例如，对于函数，无论原本的性质如何，一定是偶函数；而函数则为奇函数．
利用构造出的奇偶函数的性质，结合已知条件建立方程，进而求解目标值．比如，已知在某点的值，根据偶函数的性质可得到其在对称点的值，从而辅助求解．
3. 利用奇偶性与其他性质结合
函数的奇偶性常与周期性、对称性等性质综合考查．若函数是周期为的奇函数，那么且，通过这两个性质的结合，可将不在已知范围内的自变量转化到已知范围内进行求值 ．
例如，已知在[0, 1]上的函数值，且是周期为的奇函数，要求的值，可利用周期性和奇偶性将转化为，再根据奇函数性质求解．
二、利用奇偶性求解析式
1. 已知对称区间一端的解析式
若已知函数在区间[a, b]（）上的解析式，要求其在对称区间上的解析式，可先设，则．
因为在已知解析式的区间内，可先求出的表达式，再根据函数的奇偶性进行转化．若是奇函数，则；若是偶函数，则，从而得到时的解析式．
2. 利用奇偶性的变形与恒等关系
对于一些复杂的函数，可能需要对奇偶性的定义式进行变形．例如，对于奇函数，；对于偶函数，．
可根据已知条件，结合这些恒等关系建立关于的方程，通过解方程求出的解析式．有时还需引入辅助函数，利用其奇偶性简化计算过程．
3. 分段函数的奇偶性应用
对于分段函数，判断奇偶性时需要分别对每一段进行分析．若分段函数是奇函数或偶函数，那么在每一段上都要满足相应的奇偶性条件．
已知分段函数在某几段上的解析式，求其他段的解析式时，同样利用奇偶性，通过在已知段和未知段之间建立自变量的对称关系，进行解析式的推导．同时要注意函数在定义域边界处的取值情况，确保解析式的完整性和准确性．
典型例题
例1：
【例6】（2024秋•福贡县期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据题意，当时，，可得的表达式，由函数的奇偶性分析可得答案．
【解答】解：根据题意，当时，，，
又由函数为偶函数，
则；
故当时，．
故选：．
【例7】（2024秋•重庆期中）已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据题意，令，则，求出的表达式，结合奇偶性分析可得答案．
【解答】解：根据题意，令，则，
则，
又由为上的奇函数，
则．
故选：．
【例8】（2024秋•桃城区期中）已知函数为上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为
A．B．C．D．以上都不对
【答案】
【分析】根据题意，当时，，求出的表达式，利用奇函数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，当时，，
则，
又由为奇函数，则．
故选：．
【例9】（2024秋•锡山区期中）函数为奇函数，且当时，，则当时，解析式是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出解析式即可．
【解答】解：当时，，
又函数为奇函数，
当时，，．
故选：．
【例10】（2024秋•北碚区期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为，则
A．B．1C．D．3
【答案】
【分析】由奇函数的性质直接求出结果即可．
【解答】解：根据题意，因为是上的奇函数，
且当时，函数的解析式为，
所以．
故选：．
知识点3

知识点
【知识点3】利用奇偶性解不等式
步骤1：判断奇偶性并分析单调性
奇偶性验证：
确认定义域关于原点对称（必要条件），再验证 是否成立．
单调性分析：
奇函数：只需分析 或 一侧的单调性，另一侧单调性与已知侧相同．
偶函数：重点分析 时的单调性， 时单调性与 相反．
步骤2：利用奇偶性化简不等式
奇函数：
若不等式含 ，用 转化为仅含 的形式（如 ）．
偶函数：
利用 ，将不等式统一为 的形式（如 ）．
步骤3：结合单调性脱去 f
奇函数：
若已知 在某区间递增/递减，直接根据单调性比较自变量大小（注意 x 的符号）．
偶函数：
若 在 上递增，则 ；
若递减，则 ．
步骤4：解代数不等式并验定义域
脱去 f 后，解绝对值、分式等代数不等式．
结合函数定义域，排除不满足条件的解．
典型例题
例1：
【例11】（2024秋•吐鲁番市期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】
【分析】由不等式等价于或求解．
【解答】解：函数是定义在上的奇函数，当时，，
所以时，，时，，
所以时，，时，，
又不等式，等价于或，
所以或，解得或．
故选：．
【例12】（2023秋•永城市期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】
【分析】首先判断时函数的单调性，并根据零点，求的解集，然后根据奇函数的性质，求函数在时，的解集，即可求解．
【解答】解：当时，是增函数，且（1），
所以当时，，时，，
根据奇函数的性质可知，，，，，
所以不等式的解集是，，．
故选：．
【例13】（2023秋•锡山区期末）已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为
A．，，B．
C．，，D．，，
【答案】
【分析】先由奇偶性求解，再由指数函数单调性即可求解不等式．
【解答】解：因为函数为上的奇函数，当时，，
当时，，
所以，
所以，
又，
则可转化或，
解得，或．
故选：．
【例14】（2024秋•姑苏区期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】
【分析】由已知结合奇函数定义及性质先求出的解析式，即可求解不等式．
【解答】解：因为是定义在上的奇函数，当时，，
则，
当时，，
则，即，
故，
当时，不等式，解得，
当时，不等式不成立，
当时，不等式，解得，
故或．
故选：．
【例15】（2023秋•东城区期中）已知是定义在上的偶函数，且在，上为增函数，，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】利用函数性质，数形结合即可解不等式．
【解答】解：是定义在上的偶函数，且在，上为增函数，，
由此画出的大致图象，如下：
将的图象向右平移1个单位，得到的图象，
则不等式，化为或，
结合图象，可得解集为：，．
故选：．
知识点4

知识点
【知识点4】函数的周期性
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
典型例题
例1：
【例16】（2025•江西模拟）已知函数满足若（1），则
A．1B．4C．5D．2024
【答案】
【分析】通过计算求得函数的周期即可得到答案．
【解答】解：根据题意，函数满足，
则（1），则（2），（3），（4），（5），（6），
（7），（8），（9），
，，，
，，发现从第6项开始就是以3为周期的周期函数，
则（8）．
故选：．
【例17】（2025•聊城模拟）已知是定义域为的可导函数，设其导函数为．若为偶函数，且，则
A．60B．40C．20D．8
【答案】
【分析】根据题意，分析的对称性和周期性，可得且，由此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，为偶函数，则，
两边同时求导可得：，
变形可得：，则有，
又由，即，
则有①，
变形可得：②，
①②联立可得：，
由于，即（1）（3），（2）（4），
则有（1）（2）（3）（4），
（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）．
故选：．
【例18】（2025•吉林四模）已知定义域为的奇函数满足，则
A．（2）
B．
C．的最小正周期为2
D．是曲线的一条对称轴
【答案】
【分析】根据是定义域为的奇函数，得到，再利用奇函数的性质，得到，最后利用赋值法，对各选项逐一进行分析判断即可．
【解答】解：选项，已知是定义域为的奇函数，则．
令，代入，可得（2），因为，可得（2），即（2），所以选项错误．
选项，因为是定义域为的奇函数，则．由可得．
用代替可得，又因为，所以，即①．
用代替代入①可得．
同理可知：，，．
令，则，所以选项正确．
对于选项，（方法一）由可知，所以的最小正周期不是2，选项错误．
（方法二）根据周期函数的定义，若有周期，则，但递推关系①表明，矛盾，选项错误．
对于选项，由（2），得不是曲线的对称轴，选项错误．
故选：．
【例19】（2025•新余模拟）已知函数的定义域为，且（3），，，则
A．5B．C．2D．
【答案】
【分析】利用赋值法，整理已知等式，可得函数周期性，利用周期性，可得答案．
【解答】解：由题意得①，
用代替，得，
即②．
将①代入②，得，即③，
用代替，代入③得，即，所以函数是以6为周期的函数．
因为，所以（5），所以（5），
因为，
令，得（4）（3）（5），
因为（3），（5），所以（4），
所以（4）．
故选：．
【例20】（2025•黄冈二模）已知函数满足对，，且（1），则的值为
A．1012B．1012.5C．1013D．1013.5
【答案】
【分析】令，得，令，，得，令，得，从而得到等差数列，然后可解．
【解答】解：因为函数满足对，，且（1），
所以令，得，
再令，，得，
再令，得，
所以是首项为，公差为的等差数列．
所以．
故选：．
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称