第二章　§2.3　函数的奇偶性-2026年高考数学大一轮复习课件含试题及答案（提高版）

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§2.3　函数的奇偶性课标要求　1.了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用.函数的奇偶性1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)为奇函数,则f(0)＝0.(　×　)(2)不存在既是奇函数,又是偶函数的函数.(　×　)(3)对于函数y＝f(x),若f(－2)＝－f(2),则函数y＝f(x)是奇函数.(　×　)(4)若f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则f(x)·g(x)是奇函数.(　√　)2.下列函数中是偶函数的是(　　)A.y＝2x B.y＝cos xC.y＝ln x D.y＝sin x答案　B解析　对于A,y＝2x为定义域内的增函数,故为非奇非偶函数；对于B,y＝cos x的定义域为全体实数,且f(－x)＝cos(－x)＝cos x＝f(x),故为偶函数；对于C,y＝ln x的定义域为(0,＋∞),不关于原点对称,故为非奇非偶函数；对于D,y＝sin x的定义域为全体实数,但是f(－x)＝sin(－x)＝－sin x＝－f(x),故为奇函数.3.(多选)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列结论正确的是(　　)A.f(x)＋f(－x)＝0B.f(0)＝0C.f(x)·f(－x)≤0D.f(x)f(-x)＝－1答案　ABC解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)＋f(－x)＝0,且f(0)＝0,A,B正确；因为f(－x)＝－f(x),所以f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0,当x＝0时,等号成立,C正确；当x＝0时,f(－x)＝0,此时f(x)f(-x)无意义,D错误.4.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)＝2x＋b,则f(－1)＝　　　　　　. 答案　－2解析　f(x)是奇函数,则f(0)＝b＝0,即当x≥0时,f(x)＝2x,所以f(1)＝2,从而f(－1)＝－f(1)＝－2.1.理解函数奇偶性的常用结论(1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)＝0.②如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)＝f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.2.灵活应用奇函数的两个特殊性质(1)若f(x)为奇函数,则f(x)＋f(－x)＝0.特别地,若f(x)存在最值,则f(x)min＋f(x)max＝0.(2)若F(x)＝f(x)＋c,f(x)为奇函数,则F(－x)＋F(x)＝2c.特别地,若F(x)存在最值,则F(x)min＋F(x)max＝2c.3.谨防两个易误点(1)求奇函数的解析式时,忽略x＝0会造成解析式缺失,特别地,奇函数要么在x＝0处没有定义,要么在x＝0处的函数值为0,即f(0)＝0.(2)解函数的奇偶性与单调性相结合的题目时,不要忽视自变量的取值在定义域内这一隐含条件.题型一　函数奇偶性的判断命题点1　常见函数奇偶性的判断例1　(多选)下列函数是奇函数的是(　　)A.f(x)＝tan x B.f(x)＝x2＋xC.f(x)＝ex-e-x2 D.f(x)＝ln|1＋x|答案　AC解析　对于A,函数的定义域为xx≠π2＋kπ,k∈Z,关于原点对称,且f(－x)＝tan(－x)＝－tan x＝－f(x),故函数为奇函数,符合题意；对于B,函数的定义域为R,关于原点对称,且f(－x)＝x2－x≠±f(x),故函数为非奇非偶函数,不符合题意；对于C,函数的定义域为R,关于原点对称,且f(－x)＝e-x-ex2＝－f(x),故函数为奇函数,符合题意；对于D,函数的定义域为{x|x≠－1},不关于原点对称,故函数为非奇非偶函数,不符合题意.命题点2　抽象函数奇偶性的判断例2　(多选)已知f(x)是定义在R上的函数,下列结论正确的有(　　)A.若恒有f(x2)＝－f(－x2),则f(x)是奇函数B.若恒有2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y),且f(0)≠0,则y＝f(x)为奇函数C.若恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y),则f(x)为偶函数D.若恒有f(xy)＝yf(x)＋xf(y),则f(x)是奇函数答案　AD解析　对于A,若∀t∈R,当t>0时,令t＝x2,因为f(x2)＝－f(－x2),所以f(t)＝－f(－t),即f(－t)＝－f(t)；当t＝0时,令t＝x2＝0,因为f(x2)＝－f(－x2),所以f(0)＝－f(－0),即f(0)＝0；当tf(2x＋1)的x的取值范围为　　　　　　　　　　. 答案　-1,-12∪-12,-13解析　f(x)＝ln(x2＋1)－1x,则f(x)的定义域为{x|x≠0},又f(x)＝f(－x),故f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)＝ln(x2＋1)－1x,又y1＝ln(x2＋1),y2＝－1x在(0,＋∞)上都单调递增,故f(x)在(0,＋∞)上单调递增,在(－∞,0)上单调递减.因为f(x)>f(2x＋1),所以x≠0,2x＋1≠0,x>|2x＋1|,故x的取值范围为-1,-12∪-12,-13.思维升华　(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值.(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象,结合几何直观求解相关问题.跟踪训练2　(1)(2023·新高考全国Ⅱ)若f(x)＝(x＋a)ln 2x-12x＋1为偶函数,则a等于(　　)A.－1 B.0 C.12 D.1答案　B解析　方法一　因为f(x)为偶函数,则 f(1)＝f(－1),即(1＋a)ln 13＝(－1＋a)ln 3,解得a＝0.当a＝0时,f(x)＝xln 2x-12x＋1.由(2x－1)(2x＋1)>0,解得x>12或x12或x0,得x>342,令F'(x)