外接球、内切球问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份外接球、内切球问题专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则，
因为灯罩侧面沿母线剪开后展开图为一个半圆，
所以，即，故
所以圆锥的高为，
设圆锥形灯罩的外接球的半径为，球心为，
如图，，，，
所以，即，解得
所以圆锥形灯罩的外接球的半径为，表面积为
故选：D
例2．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球表面积最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设、的外心分别为、，
则为的中点，为的中心，
过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，设这两垂线的交点为，
则为四面体的外接球球心，如下图所示：
因为为等边三角形，则，
所以，易知，
因为为等腰直角三角形，且其底边长为，所以，
故球的半径为，
当且仅当点与点重合时，取最小值，即球的半径的最小值为，
所以四面体的外接球表面积最小值为.
故选：C
例3．（25-26高三下·安徽·开学考试）已知某圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则该圆锥的体积与其外接球的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由于圆锥的轴截面是等腰直角三角形，那么圆锥的外接球的球心和底面圆心重合，
不妨设底面直径为，则圆锥的高为，外接球的半径为，
外接球的体积是，圆锥的体积为，
于是圆锥的体积与其外接球的体积之比为.
故选：D．
例4．（2026·云南·模拟预测）如图，在直角梯形中，，，将沿直线翻折至的位置，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球的表面积为_________．
【答案】
【详解】如图所示，设点到平面的距离为，
因为，且为定值，
所以当三棱锥的体积最大时，只需取得最大值，
此时平面平面，取的中点，连接．
因为且，
所以且，
因为平面平面，且平面，所以平面，
取的中点为，连接，因为平面，所以，
因为在梯形中，，，
所以，则，所以，
且，在直角中，，
在直角中，根据直角三角形的中线性质，，
所以，即为三棱锥外接球的球心，
设三棱锥外接球的半径为，则，
所以．
故答案为：.
例5．（2026·山东德州·一模）在矩形中，已知是的中点，将沿直线翻折成为线段的中点，连接.当与平面所成角为时，三棱锥外接球的表面积为__________.
【答案】
【详解】因是的中点，则，
是矩形，，
翻折后，因为线段的中点，则，
因，，则，故，
取的中点，连接，则，，，
，平面，平面，平面，
平面，平面平面，在平面的射影为，
与平面所成角为，，
因和都是直角三角形，则，为等边三角形，
取的中点为，连，则，
平面，平面，，
，，平面，平面，
平面，
是直角三角形，，为的外接圆的圆心，
设为三棱锥外接球的球心，半径为，则平面，
设，则，
若球心和点位于平面的两侧，如图1，延长到点，使得，
平面，平面，，
四边形为平行四边形，，
，
，
解得，则，
三棱锥外接球的表面积；
若球心和点位于平面的同侧，如图2，
平面，平面，，
过点作，交于点，则四边形为平行四边形，
则，，
则，解得，舍去.
综上可得，三棱锥外接球的表面积为.
例6．（2026·安徽合肥·一模）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为，若该圆台上下底面的圆周均在同一个球的球面上，则此球的表面积为_____．
【答案】
【详解】设圆台的上下底面圆心分别为，球心为，
在上下底面圆周上分别取点为，连接，如图，
因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为，
所以，，
设，则，所以，
所以，解得，所以该球的半径，
所以该球的表面积.
故答案为：.
例7．（2026·江西·一模）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，为正三角形，且平面平面．
(1)求证：；
(2)求直线和平面所成角的正弦值；
(3)设点是三棱锥外接球上一点，求点到平面距离的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）设O为的中点，连接，
由题得，
所以为正三角形，则，
所以平面，平面，．
（2）由（1）可知两两垂直，故以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
则，
设平面的法向量为，
则，
令，则，则，
则，
所以直线和平面所成角的正弦值为.
（3）设外接球的球心为，分别过和外心作平面和平面的垂线，
垂线的交点就是球心，易求，则外接球的半径，
又，所以点到平面的距离，
所以点到平面距离的最大值为.
例8．（25-26高二上·广东肇庆·期中）如图所示，在直三棱柱中，，，点是线段上的动点（不与点重合），且满足，实数．
(1)证明：平面平面．
(2)若二面角的余弦值不超过，求实数的取值范围．
(3)求四面体的外接球半径的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)．
【详解】（1）根据题意，因为在直三棱柱中平面，平面，则，
又因为，平面，所以平面，而平面，
所以，因为在直三棱柱中，
所以四边形为正方形，所以
因为，、平面，所以平面,
所以平面平面.
（2）在直三棱柱中，，，，
则以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，,,,,,
又，则，
则,
设平面的法向量为，
则，取，则，故，
又在直三棱柱中，，则平面，
所以平面的法向量为，
又二面角的平面角为锐角，则二面角的余弦值为：
令，因为，则，故，
即，则，即，故，所以.
（3）设四面体的外接球球心的坐标为，半径为，
则，
故，
则，所以外接球球心的坐标为，
代入得，
即，
则，，当时，取得最小值为，
当或时，，所以，
所以，当时，取得最小值为，
当时，，所以，所以，
所以四面体的外接球半径的取值范围为．
变式1．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设长方体外接球的半径为．
因为，所以，该长方体外接球的体积．
变式2．（2026·湖南岳阳·一模）如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】建立如图所示坐标系，设下底面正方形的中心为坐标原点，
因为下底面边长为，几何体的高为，
所以，，，，，，，.
设球心，外接球半径为.
所以
则解得：.
所以.
外接球表面积
故选：B.
变式3．（2026·吉林延边·一模）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】该圆锥的底面周长为，设底面半径为，则，故，
又该圆锥的母线为，则该圆锥的高，
设该圆锥的外接球半径为，球心到底面距离为，
则，解得，
故该圆锥的外接球表面积.
变式4．（25-26高二上·河南许昌·月考）已知正方体的棱长为2，M是棱的中点，点P在棱上，且满足，则平面截三棱锥的外接球所得的截面面积为_____.
【答案】
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，设点，
得，由，得，得，则点，故点为的中点，
设的外接球球心为，在平面上的射影为的中点，在平面上的射影为的外心，的中点为，连接，则在线段上，
连接，设，则，解得，
因为，所以，
设外接球的球心为，依题意，，即，
解得，
所以球心，设平面的法向量为，而，
则，取，
又，球心到平面的距离为 ，
所以截面圆的半径为，
所以截面面积为．
故答案为：
变式5．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知正方体的棱长为2，是棱的中点，动点在侧面内（包括边界），且满足以下条件：①；②异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为________.
【答案】
【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系：
.
.
因为，
所以，
因为异面直线与所成角的余弦值为，
所以，
把代入上式，
得，或舍去，
把代入中，得，所以点的坐标为，
设三棱锥的外接球的球心坐标为，
则有，
由空间两点间距离公式，得
，
所以三棱锥的外接球的半径为，
所以三棱锥的外接球的表面积为，
故答案为：
变式6．（25-26高三上·山东青岛·月考）已知三棱锥中，，则该三棱锥体积为___________其外接球的表面积为___________．
【答案】
【详解】设是中点，是中点，连接，
由于，所以，
由于，平面，所以平面，
所以，
，，
所以，
所以.
将三棱锥补入长方体，设长方体的长宽高为、、，使，
，， 得，，
， 三式相加得，即，
外接球的直径为长方体的体对角线，半径为，
外接球的表面积为.
故答案为：；

变式7．（2026·云南红河·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧棱底面，，点，分别是，的中点，点是的中点，且．
(1)求证：；
(2)求点到直线的距离；
(3)若点是线段上的动点（不含端点），求三棱锥外接球半径的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)．
【详解】（1）由题意得：，点是的中点，故，
因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以．
因为是的中点，所以线段是的中位线，所以，
故．
（2）因为侧棱底面，平面，故，
因为，平面，所以平面，
又因为平面，
所以，又因为底面，所以，，两两互相垂直，
以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，．
因为点是线段的中点，故
，，．
故点到直线的距离为
（3）设，三棱锥外接球球心为，半径为，
则有，
即解得
所以，故，
即三棱锥外接球半径的取值范围为．
变式8．（25-26高三上·湖北武汉·期末）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且面面，面面，点分别在棱上．
(1)证明：面；
(2)若，面．
（Ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值．
（Ⅱ）已知在同一球面上，设该球面的球心为，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)（Ⅰ）（Ⅱ）
【详解】（1）因为为正方形，所以，
因为面面，所以面面，
所以平面因为平面，所以.
因为面面，面面，
所以平面，因为平面，
所以，又平面，
所以平面.
（2）过点作于，则，过点作交于，
因为平面，平面，
所以平面平面，又平面，所以平面.
以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则.
因为，，所以.
而，所以.
（Ⅰ）那么.
设平面的一个法向量为，则，
所以有，令，，所以.
易知平面的一个法向量为，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（Ⅱ）因为是直角三角形，所以外接圆的圆心为的中点，其坐标为，
故可设，因为，
所以，解得.
所以，又，所以.
考点二 内切球问题
例1．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知正三棱柱的内切球体积为，则此正三棱柱的表面积为（ ）
A．108B．108C．162D．
【答案】D
【详解】设正三棱柱的内切球的半径为 ，由题意可知，解得，
设正三棱柱的底面边长为 ，高为 ，内切球的球心位于棱柱的几何中心，
由于球与两个底面相切，球心到底面的距离为 ，且等于半径 ，则，
球与侧面相切，底面为正三角形，其内切圆半径（即几何中心到边的距离）为 ，
由于侧面垂直于底面，球心到侧面的距离等于底面内切圆半径，且等于 ，
则，正三棱柱的表面积由两个底面和三个侧面组成，
两个底面的面积为：，侧面为矩形，侧面的面积为 ，
所以总表面积为
故选：D
例2．（25-26高三上·北京·月考）已知圆锥的轴截面是边长为的正三角形，从该圆锥内挖去圆锥的内切球后剩余部分的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】取圆锥的轴截面等边，设该圆锥的内切球球心为，
由题意可知，球心在线段上，且为等边的中心，
为等边外接圆的半径，所以，可得，
又因为，且切圆于点，所以，
故，即内切球半径为，
由题意可知，圆锥的底面半径为，高为，
故从该圆锥内挖去圆锥的内切球后剩余部分的体积为.
故选：C.
例3．（25-26高三上·河南·月考）如图，三棱锥的体积为，该三棱锥的内切球半径为，且平面平面为的中点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由是的中点，，得，
由平面平面，平面平面，平面，
得平面，又，则，设，
于是，，等腰底边上的高
，于是，，
由，得，
解得，因此，
令，则，令函数，
求导得，由，得，
当时，；当时，，函数在上递减，在上递增，
则当时，，所以的最小值为.
故选：D
例4．（25-26高三上·江西赣州·期末）如图1，在平面四边形中，，，将沿折叠，使点到达点的位置，得到三棱锥（如图2），若，，则当三棱锥体积取最大值时其内切球的半径为________.
【答案】
【详解】在平面四边形中，，，
则、均在以、为焦点，长轴长为的椭圆上，则，，则，
在平面四边形中，过作于，连接，
在三棱锥中连接、，
由于，，且，、平面，
所以平面，故，
由已知得，又因为平面，
由于、互异，则点、是关于对称的两点.
令，则，
由于有平面，所以，
取为的中点，则，，
由于、均在以、为焦点，长轴长为的椭圆上，
当取中点时，最大，
即，
即，
此时三棱锥为棱长为的正四面体，
令内切球的半径为，有，
故.
故答案为：.
例5．（25-26高二上·广东江门·开学考试）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为______.
【答案】
【详解】根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中，如图，
∴三棱锥A－BCD的外接球即为长方体的外接球，
设三棱锥A－BCD的外接球的半径为R，内切球的半径为r，
∵三棱锥A－BCD的外接球的表面积为，
∵BC＝CD＝4，∴，解得AB＝4，
∴，
∵AB＝BC＝CD＝4，∴AC＝BD＝，
∴三棱锥的表面积为，
又∵，∴.
故答案为：
例6．（24-25高一下·广东惠州·月考）已知正三棱锥中，底面边长BC为3，侧棱长AB为，则此正三棱锥的内切球的半径______．
【答案】
【详解】
在正三角形中，设底面正三角形的中心为，，故其高为，
则，故正三棱锥的高，
所以，所以，
侧面为等腰三角形，其高为，故，
所以，
内切球的半径为，则由等体积的方法可得：
，
即，故内切球的半径，
故答案为：
变式1．（25-26高三上·河北邯郸·月考）已知某圆锥的底面半径为1，若该圆锥的体积与其内切球的体积之比为，则该圆锥的体积为（ ）
A．或B．C．D．或
【答案】A
【详解】不妨设圆锥的高为，母线长为，则，根据等面积法，该圆锥内切球的半径为，
所以该圆锥的体积与其内切球体积之比为，
解得或，所以或，所以该圆锥的体积为或．
故选：A.
变式2．（25-26高三上·天津和平·期末）已知某圆锥的母线长为，该圆锥内切球的球心与其外接球的球心重合，则该圆锥内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图，圆锥的轴截面为，圆锥的底面中心为，则点为中点，
设内切球的球心与其外接球的球心为，则点在圆锥的高上，连接，过作于，
设圆锥内切球半径为，外接球半径为，圆锥底面半径为，高为，母线为，
由题可得，，，，
则，
由勾股定理可得：，所以，整理得
所以，又由可得，
联立解得，
故该圆锥内切球的半径为，所以内切球的表面积为.
故选：C.
变式3．（25-26高三上·新疆·月考）已知圆锥的底面半径为12，高为9，则该圆锥的内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】画出该圆锥的轴截面，如图所示，
，
设该圆锥的内切球的球心为，半径为，
则，，，
∵，∴，即，解得．
故所求内切球的表面积为．
故选：C.

变式4．（2025·四川广安·二模）已知正方形的中心为，，现将其沿对角线翻折，使得在面内的射影为的中点，且，，______，再将绕直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的体积为______.
【答案】
【详解】正方形的中心为，将其沿对角线翻折，使得在面内的射影为的中点，则二面角为直二面角，如图所示，
又，则可得，，，，平面平面，
又平面平面，平面，
平面，
又，
所以为的中点，为的中点，
又正方形的中心为，
为的中点，
则可得，，
过作于点，连接，
则，平面，
又平面，
又，，，，
，
在中，，
又，
，
将绕直线旋转一周得到一个旋转体为两个同底面的圆锥组合体，
作出其轴截面，如图，
则该轴截面中和为边长为1的等边三角形，
该旋转体的内切球的半径即为菱形的内切圆的半径，
由等面积法，则，
即，则，
因此该旋转体的内切球的体积为.
故答案为：，.
变式5．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为______.
【答案】
【详解】
如图，作出正四棱台的轴截面,设上底面边长为，则下底面边长为，
则，,
故,
在中，,则由射影定理，得，解得，
于是棱台的上底面面积为，下底面面积为，高为2，
故该正四棱台的体积为：.
故答案为：.
变式6．（2024·吉林·模拟预测）清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的全等正四面体组合而成（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点）.如图，若正四面体棱长为2，则该组合体的表面积为__________；该组合体的外接球体积与两正交四面体公共部分的内切球体积的比值为__________.
【答案】 27
【详解】该组合体一共有 24 个面，每一个面都是全等的边长为 1 的等边三角形，
则其表面积为 ;
该组合体的外接球也是任意一个正四面体的外接球，可用一个正四面体来看，
是 的中心， 是球心，
则 ，则 ， ，
设外接球半径为 ，则 ，
又 ，解得 ,
两正交四面体公共部分一共有 8 个面，且每一个面都是全等的边长为 1 的等边三角形，
则其表面积为 ，
大正四面体的体积为
则每个小正四面体的体积为 ，
则中间部分的体积为 ，
设其内切球半径为 ，则中间部分的体积也可表示为 ，解得 ，
故外接球和内切球体积之比为
故答案为：；.
考点目录
外接球问题
内切球问题