平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份平面向量的数量积、平面向量的坐标运算专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
A．B．2C．D．1
【答案】A
【详解】由题意可知，
所以.
例2．（2026·河北保定·一模）在边长为2 的等边三角形中，点为 上靠近点的三等分点，则 （ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【详解】由已知条件可得，，
则.
例3．（2026·甘肃·一模·多选）已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则的最小值为
【答案】BD
【详解】由题意得，所以，
所以，故A错误；
由，所以，故B正确；
又，
所以，所以，
，故C错误；
，
当时，，所以的最小值为，故D正确.
例4．（25-26高一上·河北唐山·月考·多选）已知、是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．
C．D．与的夹角是钝角
【答案】BC
【详解】对于A，，
故，故A错误；
对于B选项，，
故，故B正确；
对于CD选项，作，，，
则，，
因为，所以，
故点的轨迹是以为直径的圆，如下图所示：
设线段的中点为点，则，，
所以，，故C正确；
以、为邻边作平行四边形，则，
则为向量与的夹角，
当与圆相切时（此时点与点重合），此时，取得最大值，
连接，则，则为锐角，即与的夹角是锐角，故D错误.
例5．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）已知两个单位向量，的夹角为，该平面内，，则_______.
【答案】
【详解】由题意得，
.
例6．（2026·广东汕头·一模）为圆O的一条弦，且，则的值为_______.
【答案】2
【详解】取弦的中点，连接，根据圆的垂径定理，可得，如图.
因为,所以.
根据向量数量积的几何意义：

变式1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）平面向量，满足，，且向量，的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【详解】因为，且向量，的夹角为，所以，
由，得，
则，解得（负值舍）.
变式2．（2026·河北衡水·一模）已知两个单位向量，互相垂直，则（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【详解】依题意得，
则.
变式3．（2026·山西大同·一模·多选）已知单位向量，，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
【答案】ABD
【详解】对于A，由，得，即，解得，
则，而，因此，A正确；
对于B，由，得，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，在上的投影向量为，D正确.
变式4．（2025·安徽·三模·多选）已知向量满足，，则（ ）
A．与的夹角为B．与的夹角为
C．D．
【答案】ACD
【详解】设与的夹角为，
由得，
将代入得，∴，
又，∴，故A正确，B错误;
，故C正确;
，故，故D正确.
故选：ACD.
变式5．（2026·湖北武汉·模拟预测）平面向量，满足：，，，则与的夹角的余弦值是__________.
【答案】
【详解】，
解得.
变式6．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）如图，在边长为1的正六边形ABCDEF中，________.
【答案】
【详解】如图，连接BE，取线段BE的中点为O，连接OC，EC，
由正六边形结构性质得，且，
所以，可得.
考点二 平面向量的坐标运算
例1．（2026·陕西咸阳·二模）已知向量，，若，则|（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】D
【详解】因为向量，，且，所以，解得，
所以，所以．
例2．（2026·河南开封·模拟预测）已知向量，，，，均为实数，且，，则（ ）
A．25B．16C．5D．4
【答案】C
【详解】因为，，所以，，得，，
所以，
故.
例3．（25-26高三上·西藏拉萨·月考·多选）已知向量，，，则（ ）
A．
B．，使得
C．，使得
D．，使得
【答案】ABC
【详解】对于A，因为，，所以，则，故A正确，
对于B，因为，，若，则，即，所以，使得，故B正确，
对于C，因为，所以，
由，整理得，解得，
所以，使得，故C正确，
对于D，因为，若，则，
解得，不合题意，所以不存在，使，故D错误，
故选：ABC.
例4．（2026·新疆·模拟预测·多选）已知向量，，，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．在上的投影向量为D．的最小值为
【答案】BC
【详解】A选项，，若，
则，解得，A错误；
B选项，，则，故，
所以，B正确；
C选项，，
在上的投影向量为，C正确；
D选项，，
故，当时，，D错误.
故选；BC
例5．（2026·福建莆田·二模）已知向量，，若，则_____.
【答案】
【详解】向量，，所以，
若，则，
解得.
例6．（25-26高二上·云南保山·期末）已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________．
【答案】
【详解】因为，所以，解得：,
则在方向上的投影向量的坐标为
变式1．（2026·四川内江·二模）已知向量，，若，则（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D
【详解】因为向量，，所以，
因为，所以，即，解得，
所以.
变式2．（2026·广东广州·一模）已知向量，，向量满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设.
已知，，所以.
则，即.
因表示点到原点的距离，而点是直线上的点，
故的最小值即为原点到直线的距离，
因为点在直线上，所以可无限大，
所以的取值范围是.
变式3．（25-26高三下·浙江·开学考试·多选）已知向量，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则在上投影向量的模为D．若，则
【答案】ACD
【详解】对于A选项，当时，，故A选项正确；
对于B选项，当时，，故B选项不正确；
对于C选项，若，在上的投影向量为，
于是在上的投影向量的模为，故C选项正确；
对于D选项，若，则，所以，所以D选项正确．
变式4．（25-26高一下·湖北襄阳·月考·多选）已知向量，，，则（ ）
A．，B．，使得
C．，使得D．，使得
【答案】BD
【详解】对于A，因为，，若，则，无解，故A错误；
对于B，因为，，若，则，即，故B正确；
对于C，因为，
若，则，解得，不合题意，故C错误；
对于D，因为，所以，
由，整理得，解得，故D正确.
变式5．（2025·四川成都·模拟预测）已知向量，．若向量满足，，则_____________，_____________．
【答案】
【详解】，则，
又，①，
又，，②，
由①②解得，．
故答案为：；
变式6．（2026·吉林白山·二模）已知平面向量在方向上的投影向量模长为，则___________．
【答案】
【详解】因为，，所以 ，
所以
所以向量在方向上投影向量的模长为，又，
所以 ，
因此.考点目录
平面向量的数量积
平面向量的坐标运算