平面向量的数量积、平面向量的坐标运算、用基底表示向量专项训练-2026届高考数学二轮复习

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A．B．36C．或6D．3或36
【答案】C
【详解】因为平面向量，，两两夹角相等，所以夹角有两种情况，
即，，两两夹角为或，
当夹角为时，；
当夹角为时，，
则
；
综上所述：或.
例2．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知向量与的夹角为，则等于（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【详解】因为向量与的夹角为，
所以.
故选：B.
例3．（25-26高三上·江苏南通·月考）已知向量满足，且与的夹角为，则____________.
【答案】
【详解】由题意：，
所以，
所以.
故答案为：
例4．（25-26高三上·上海松江·期中）已知且，若向量满足，则的最大值是__________.
【答案】
【详解】由且，得，
当时，成立；
当时，由，得，
则，当且仅当与同向时取等号，
因此，即的最大值是.
故答案为：
变式1．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【详解】已知，
因为，
所以.
故选：A.
变式2．（2026·重庆·一模）边长为 2 的等边三角形 的外心为 ，则 （ ）
A．B．2
C．D．
【答案】A
【详解】取BC边的中点D，连接AD，
因为O为边长为2的等边三角形的外心，
所以，所以，
所以
.
故选：A.

变式3．（25-26高三上·浙江温州·月考）已知在方向上的投影数量是，则______．
【答案】2
【详解】由已知，，
则．
故答案为：2
变式4．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知在矩形中，，点是边的中点， 则________.
【答案】
【详解】由题意如图所示：
由，，
因为，所以，
所以
，
故答案为：.
考点二 平面向量的坐标运算
例1．（25-26高三上·陕西商洛·期末）已知向量，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，
所以．
故选：A.
例2．（25-26高三上·安徽亳州·期末）已知向量，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由，得，
将坐标代入得，解得，
故，
设，
则解得
即．
故选：C
例3．（25-26高一上·江苏南通·期中·多选）已知向量，，则（ ）
A．B．
C．向量与的夹角为D．向量在方向上的投影向量为
【答案】AC
【详解】对于A，，
，故A正确；
对于B，，
，
因为，
所以与不平行，故B错误；
对于C，设向量与的夹角为，
，
，
，
又，所以，故C正确；
对于D，设和的夹角为，
则向量在方向上的投影向量为，
，，
则，故D错误．
故选：AC．
例4．（25-26高三上·河南·月考·多选）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故，故B正确；
对于C，取，则，此时，，故C错误；
对于D，取，则，此时，故D错误，
故选：AB
例5．（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）已知平面向量，，若，则________．
【答案】
【详解】，
则，解得，
所以，则．
例6．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知向量，若，则实数__________．
【答案】4
【详解】由题意得，因为，所以，解得
故答案为：4.
变式1．（2026·湖南岳阳·一模）已知向量，若，则（ ）
A．-2B．0C．2D．4
【答案】D
【详解】因为，所以，
若，则，解得，
故选：D.
变式2．（2026·山东威海·一模）已知，且，则（ ）
A．B．0C．D．
【答案】B
【详解】由题可得，
因为，所以
即，
即，
即，
得到.
故选：B.
变式3．（25-26高三上·甘肃嘉峪关·月考·多选）已知向量，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【详解】由于，，，
选项A：由于，故不成立，即A错误；
选项B：，故，故成立，故B正确；
选项C：因为， ，故不成立，故C错误；
选项D：，，故成立，故D正确.
故选：BD.
变式4．（25-26高二上·宁夏吴忠·月考·多选）已知向量，，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【详解】对于A，若，则，解得，故A错误；
对于B，若，则，解得，故B正确；
对于C，若，则，解得，故C错误；
对于D，若，则，所以，故D正确.
故选：BD.
变式5．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知平面向量，若，则_____．
【答案】或
【详解】根据题意，又，则，
所以，解得或.
当时，，则；
当时，，则.
故答案为：或.
变式6．（25-26高三上·山东聊城·期末）已知向量在上的投影向量的坐标为，则为_________．
【答案】58
【详解】因为在上的投影向量为，
所以，所以，
故答案为：58
考点三 用基底表示向量
例1．（25-26高一上·安徽·期末）在梯形中，，点在对角线上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】根据题意，作图如下所示：
由题意得，.
故选：A.
例2．（24-25高一上·重庆渝中·月考）如图，已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
则，
因为，所以，即，
则.
故选：C
例3．（25-26高一上·湖南长沙·期末）如图，已知和为直角三角形，，与交于点，若，则__________.
【答案】
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系，
由题意得，则
，
因为，故，
因为，所以（负值舍去），
所以，故.
又，则，
因为，
所以，
解得，所以.
故答案为：
例4．（25-26高三上·福建厦门·月考）在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为______.

【答案】
【详解】因为，所以，又，
所以，
因为点三点共线，所以，解得.
故答案为：
变式1．（25-26高三上·山东青岛·期末）中，为边的中点，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图，，
则，
故 .
故选：B
变式2．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知的两条对角线相交于点O，M为CD的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为,，,
所以
则.
故选：D.
变式3．（25-26高三上·广东·月考）如图，为等边的重心，为边上靠近的四等分点，若，则__________.
【答案】
【详解】由题意，设 ，，
取 中点 ，则 ，
重心 在中线 上，且 ，
故，
为 边上靠近 的四等分点，
即 ，而 ，
所以，
由，得：
因此：
故答案为：
变式4．（24-25高一下·陕西汉中·期末）在平行四边形ABCD中，为BC的中点，，则______________.
【答案】1
【详解】在平行四边形中，为的中点，，
，又因为，
且因为不共线，所以.
故答案为：1.考点目录
平面向量的数量积
平面向量的坐标运算
用基底表示向量