2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 057-课时作业51 空间向量及其运算（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 057-课时作业51 空间向量及其运算（教用），共13页。试卷主要包含了已知向量a=，b=，则⋅b=等内容，欢迎下载使用。
基础达标练
单选题每小题3分，多选题每小题4分，填空题每小题3分，共34分.
1．已知空间向量a=(x,1,2)，b=(4,2,4)，若a⊥b，则x=（ ）
A. 1B. −52C. −32D. 3
【答案】B
【解析】因为a=(x,1,2)，b=(4,2,4)，且a⊥b，所以4x+2+8=0，解得x=−52，故选B.
2．（2025·辽宁鞍山一模）已知向量a=(3,5,1)，b=(2,1,4)，则(a+b)⋅b=（ ）
A. 36B. 32C. 56D. 52
【答案】A
【解析】向量a=(3,5,1)，b=(2,1,4)，则a+b=(5,6,5)，所以(a+b)⋅b=5×2+6×1+5×4=36.故选A.
3．已知空间向量a=(1,−1,2)，b=(1,−2,1)，则向量b在向量a上的投影向量的坐标是（ ）
A. (566,−566,563)B. (1,−1,1)
C. (56,−56,53)D. (14,−12,14)
【答案】C
【解析】因为a=(1,−1,2)，b=(1,−2,1)，所以a⋅b=1×1+(−1)×(−2)+2×1=5，|a|=1+1+4=6，故向量b在向量a上的投影向量的坐标是a⋅b|a|⋅a|a|=(56,−56,53)，故选C.
4．已知e1，e2，e3不共面，若AB=e1+e2+e3，BC=e1+λe2+μe3，且A,B,C三点共线，则λ+μ=（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】因为A,B,C三点共线，所以设AB=xBC(x∈R)，即e1+e2+e3=xe1+xλe2+xμe3，故x=1,xλ=1,xμ=1,解得x=1,λ=1,μ=1,所以λ+μ=2.故选C.
5．（2025·浙江温州模拟）已知空间向量a=(1,0,0),b=(0,1,0)，则下列向量中可以与a,b构成空间向量的一个基底的是（ ）
A. c1=(0,0,0)B. c2=(0,0,1)C. c3=(1,1,0)D. c4=(1,2,0)
【答案】B
【解析】对于A，由于基向量不能是零向量，故A错误；
对于B，由于c2=(0,0,1)，a,b不共面，符合基底的要求，故B正确；
对于C，c3=(1,1,0)=a+b，故a,b,c3共面，不符合要求，C错误；
对于D，c4=(1,2,0)=a+2b，故a,b,c4共面，不符合要求，D错误.故选B.
6．（2026·江苏南通模拟）如图，在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且满足OM=2MA，N为BC的中点，则MN=（ ）
A. 12a−23b+12cB. −23a+12b+12c
C. 12a+12b−12cD. 23a+23b−12c
【答案】B
【解析】MN=MA+AB+BN=13OA+OB−OA+12BC=−23OA+OB+12OC−12OB=−23OA+12OB+12OC，又OA=a，OB=b，OC=c，∴MN=−23a+12b+12c.故选B.
7．（2025·黑龙江齐齐哈尔模拟）已知空间中有E，A，B，C，D五点，若满足(1−λ)EA=13EB+14EC+λAD，且A，B，C，D四点共面，则λ=（ ）
A. 712B. 512C. 14D. 112
【答案】B
【解析】由EA−λEA=13EB+14EC+λAD，得EA=13EB+14EC+λ(EA+AD)，即EA=13EB+14EC+λED，由A，B，C，D四点共面可知，13+14+λ=1，解得λ=512.故选B.
8．（2025·湖北武汉模拟）已知在空间直角坐标系Oxyz中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面α 的方程为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0，若直线l是平面x−3y+7=0与平面4y+2z+1=0的交线，则下列向量可以作为直线l的方向向量的是（ ）
A. m1=(3,1,2)B. m2=(3,1,−2)
C. m3=(2,1,3)D. m4=(−2,1,−3)
【答案】B
【解析】由题可知平面x−3y+7=0的一个法向量为a=(1,−3,0)，平面4y+2z+1=0的一个法向量为b=(0,4,2)，设直线l的方向向量为m=(e,f,d)，则m⋅a=e−3f=0,m⋅b=4f+2d=0,令f=1，则m=(3,1,−2).故选B.
9．（2025·山东潍坊二模）多选 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为线段A1D1，AB的中点，则（ ）
A. 直线EF与BC异面B. EF//平面CDD1C1
C. EF⊥ACD. BD⊥ 平面EFC1
【答案】AC
【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，E(1,0,2)，F(2,1,0).
对于A，由图易知直线EF与BC既不平行，也不相交，故直线EF与BC异面，A正确；
对于B，EF=(1,1,−2)，易知平面CDD1C1的一个法向量为m=(1,0,0)，则EF⋅m=1≠0，故EF与平面CDD1C1不平行，B错误；
对于C，AC=(−2,2,0)，所以EF⋅AC=−2+2=0，故EF⊥AC，C正确；
对于D，DB=(2,2,0)，所以EF⋅DB=2+2=4，所以EF与BD不垂直，故BD与平面EFC1不垂直，D错误.故选AC.
10．（2025·江苏扬州五校联考）如图，在由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，点P是正方形A1B1C1D1的中心，则AA1⋅AP=_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】设AB的中点为M，正方形ABCD的中心为N，则AA1⋅AM=0,AA1⋅MN=0,且AA1⋅NP=|AA1|2=1,又AP=AM+MN+NP，∴AA1⋅AP=AA1⋅(AM+MN+NP)=AA1⋅NP=1.
11．如图，在四棱锥P−ABCD中，BC//AD，AD=2BC，E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于点F，设PF=xPA+yPB+zPE，则PFPC=_ _ _ _ _ _ ；y+z−2x=_ _ _ _ .
【答案】23； 2
【解析】PC=PB+BC=PB+12AD=PB+12(PD−PA)=−12PA+PB+PE，设PF=λPC=−λ2PA+λPB+λPE，由A,B,E,F四点共面，得−λ2+λ+λ=1，解得λ=23，故PFPC=23.又PF=xPA+yPB+zPE，所以x=−13,y=23,z=23，则y+z−2x=23+23+23=2.
能力强化练
单选题每小题5分，多选题每小题6分，解答题每题10分，共26分.
12．（2025·福建福州模拟）多选 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，M，N分别是线段A1B，B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N.设AB=a，AC=b，AA1=c，且均为单位向量，若∠BAC=90∘ ，∠BAA1=∠CAA1=60∘ ，则下列说法中正确的是（ ）
A. AB与B1C1的夹角为60∘B. MN=13a+13b+13c
C. |MN|=53D. MN⊥BC
【答案】BCD
【解析】对于A，∵AB=AC=1，∠BAC=90∘ ，∴∠ABC=45∘ ，∴AB与BC的夹角为135∘ ，又BC=B1C1，∴AB与B1C1的夹角为135∘ ，故A错误；
对于B，∵BM=2A1M，C1N=2B1N，∴A1N=A1B1+B1N=AB+13B1C1=AB+13BC=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC，A1M=13A1B=13(AB−AA1)，
∴MN=A1N−A1M=23AB+13AC−13(AB−AA1)=13AB+13AC+13AA1=13a+13b+13c，故B正确；
对于C，∵|a|=|b|=|c|=1，∠BAC=90∘ ，∠BAA1=∠CAA1=60∘ ，∴a⋅b=0，a⋅c=12，b⋅c=12，∴|MN|2=(13a+13b+13c)2=19a2+19b2+19c2+29a⋅b+29a⋅c+29c⋅b=19+19+19+29×12+29×12=59，∴|MN|=53，故C正确；
对于D，MN⋅BC=(13a+13b+13c)⋅(b−a)=−13a2+13b2+13b⋅c−13a⋅c=0，∴MN⊥BC，故D正确.故选BCD.
13．（2025·安徽安庆模拟）在直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AM=13AC，且|AC|=33，N是棱AA1上的一点（不含端点），且满足NM⋅NC1=0，则|AA1|的最小值为（ ）
A. 33B. 6C. 3D. 63
【答案】B
【解析】连接A1C1,
设|AA1|=ℎ，AN=tAA1，t∈(0,1)，则NM=AM−AN=13AC−tAA1，NC1=NA1+A1C1=(1−t)AA1+AC，
所以NM⋅NC1=(13AC−tAA1)⋅[AC+(1−t)AA1]=13AC2+t(t−1)AA12+1−4t3⋅AA1⋅AC=0①，
又|AC|=33，AA1⊥AC，
所以AC2=27,AA1⋅AC=0，
将其代入①式并整理得t(t−1)ℎ2+9=0，显然t(t−1)≠0，所以ℎ2=9−t2+t=9−(t−12)2+14，
又0