2027年高考数学一轮复习考点课时巩固练43　空间向量及其运算（含答案解析）

这是一份2027年高考数学一轮复习考点课时巩固练43　空间向量及其运算（含答案解析），共8页。试卷主要包含了已知a=,b=,则·=等内容，欢迎下载使用。
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础 巩固练
1.(2025·江苏南京期中)已知a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),则(a+b)·(a-b)=( )
A.11B.-13C.45D.3
2.(2025·江苏南京期中)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若A1B1=a,A1D1=b,A1A=c,则下列向量中与BM相等的是( )
A.-12a+12b+cB.-12a+12b-c
C.-12a-12b+cD.12a-12b+c
3.(2025·江苏泰州期末)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱CC1上任意一点,则AM在平面ABCD上的投影向量为( )
A.ACB.ABC.AC1D.AD
4.(2025·江苏南通模拟)已知三棱柱ABC-A1B1C1中,∠A1AB=∠A1AC=60°,BA⊥CA,AA1=AB=AC=2,M是B1C1的中点,则|AM|=( )
A.7B.22C.10D.23
5.(2025·广东汕头期末)已知空间向量a=(-3,2,1),b=(2,2,-1),c=(m,10,1),若a,b,c共面,则实数m=( )
A.2B.3C.13D.-5
6.(多选题)(2025·江苏连云港期中)关于空间向量a,b,c,下列结论正确的是( )
A.若存在实数x,y,使得c=xa+yb,则c与a,b共面
B.若c与a,b共面,则存在实数x,y,使得c=xa+yb
C.若a,b,c共面,则存在实数x,y,z,使得xa+yb+zc=0
D.若存在实数x,y,z,使得xa+yb+zc=0,则a,b,c共面
7.(多选题)(2025·广东广州模拟)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=AB=1,∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°,M为B1D1的中点,则( )
A.CM=-12AB+AA1−12AD
B.CM·AD=14
C.|BD1|=2
D.=120°
8.(2025·江苏泰州期中)已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2,3,4),则p在基底{a+b,b+c,c}下的坐标为 .
9.(2025·江苏盐城期中)已知直线l的方向向量为b=(0,-1,1),则向量a=(1,2,3)在直线l上的投影向量坐标为 .
综 合 提升练
10.(2025·广东汕尾期末)两位游客来到某建筑外的楼梯上拍照留念,此时正好一人站在地面上(点B处),一人站在楼梯斜坡上(点A处),如图所示.现将楼梯斜坡近似看作斜面,斜面与地面的交线记作直线l,通过测量得到以下数据:斜面与地面所成的坡度角为60°,A点在地面上的投影与B点恰好在直线l的两侧,A点到直线l的距离为AD,测得AD=6 m,B点到直线l的距离为BC,测得BC=2 m,且测得CD=4 m,则A,B两点间的距离为( )
A.217 mB.67 m
C.66 mD.65 m
11.(2025·山西临汾一模)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,H为CC1的中点,AF=λAH,λ∈(0,1),若B,D,C1,F四点共面,则λ=( )
A.12B.25C.13D.23
12.(多选题)(2025·广东潮州期末)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=1,∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,M,N分别是A1B,B1C1上的点,若BM=23BA1,C1N=23C1B1,则( )
A.cs=16
B.AB1⊥BC1
C.MN=13AB+13AC+23AA1
D.|MN|=53
13.(2025·广东茂名期中)如图,两条异面直线a,b所成的角为60°,在直线a,b上分别取点A',E和A,F,使AA'⊥a,且AA'⊥b.已知AF=2,A'E=1,EF=3,则公垂线段AA'的长为 .
14.(13分)(2025·浙江台州期末)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,∠BAC=π3,BD=13BA1.
(1)用AB,AC,AA1表示CD;
(2)求直线CD与直线AC1所成角的余弦值.
创 新 应用练
15.(15分)(2026·江苏镇江高三模拟)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形,AB=AD=AA1=1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=π3,动点M在线段A1D1上(含端点).
(1)求AC1的长;
(2)记AC1与BM所成的角为θ,求θ的最大值并指出此时点M的位置.
参考答案
1.A 解析 因为a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),所以a+b=(-2,7,4),a-b=(-4,-3,6),
所以(a+b)·(a-b)=8-21+24=11.
故选A.
2.B 解析 根据题意,BM=BB1+B1M=AA1+12BD=AA1+12(AD−AB)=-12a+12b-c.故选B.
3.A 解析 如图,因为CC1⊥平面ABCD,M是棱CC1上任意一点,
所以AM在平面ABCD上的投影向量为AC.故选A.
4.C 解析 由于AM=AA1+A1M=AA1+12(A1B1+A1C1)=AA1+12(AB+AC),所以|AM|=AM2 =AA12+14(AB+AC)2+AA1·(AB+AC)
=AA12+14(AB2+AC2+2AB·AC)+AA1·AB+AA1·AC
=22+14(22+22+0)+2×2×12+2×2×12=10.故选C.
5.D 解析 由空间向量a,b,c共面,得c=xa+yb,即(m,10,1)=x(-3,2,1)+y(2,2,-1),则m=-3x+2y,10=2x+2y,1=x-y,解得x=3,y=2,m=-5.故选D.
6.AC 解析 若向量a,b共线,易知c与a,b共线,显然共面,若向量a,b不共线,根据平面向量基本定理可知c与a,b共面.
综上所述,c与a,b共面,故A正确;
若向量c与a,b共面,如果a,b共线,c与它们不共线,则不存在实数x,y,使得c=xa+yb,故B错误;
若向量a,b共线,则取x=y=z=0,可得xa+yb+zc=0;
若向量a,b不共线,根据平面向量基本定理可知,存在实数x,y,使得c=xa+yb,
即xa+yb-c=0,可得z=-1.
综上所述,若a,b,c共面,则存在实数x,y,z,使得xa+yb+zc=0,故C正确;
例如x=y=z=0,对于任意空间向量a,b,c均有xa+yb+zc=0成立,此时无法判断a,b,c是否共面,故D错误.
故选AC.
7.AD 解析 对于A,CM=CD+DD1+D1M=-AB+AA1+12AB−12AD=-12AB+AA1−12AD,故A正确;
对于B,CM·AD=(-12AB+AA1−12AD)·AD=-12AB·AD+AA1·AD−12AD2=-12×12+12−12=-14,故B错误;
对于C,|BD1|=|AD+AA1−AB|=(AD+AA1-AB)2=1+1+1+1-1-1=2,故C错误;
对于D,连接B1C,易得△B1CD1为正三角形,故==180°-∠B1CD1=120°,故D正确.
故选AD.
8.(2,1,3) 解析 由题意可得p=2a+3b+4c,设p=x(a+b)+y(b+c)+zc=xa+(x+y)b+(y+z)c,
则x=2,x+y=3,y+z=4,解得x=2,y=1,z=3,所以坐标为(2,1,3).
9.(0,-12,12) 解析 直线l的方向向量为b=(0,-1,1),a=(1,2,3),
则a·b=0-2+3=1,|b|=02+(-1)2+12=2,则向量a=(1,2,3)在直线l上的投影向量坐标为a·b|b|2b=12b=12(0,-1,1)=(0,-12,12).
10.A 解析 由于AB=AD+DC−BC,AD⊥DC,BC⊥DC,
由于斜面与地面所成的坡度角为60°,故=60°,
故AD·DC=0,BC·DC=0,
故AB2=(AD+DC-BC)2=AD2+DC2+BC2+2AD·DC-2AD·BC-2BC·DC=36+16+4+0-2×6×2cs 120°-0=68,
因此|AB|=217 m.故选A.
11.D 解析 由平行六面体的特征可得AH=AB+BC+CH=AB+AD+12AA1,
则AF=λAH=λAB+λAD+λ2AA1,
所以BF=BA+AF=BA+λAB+λAD+λ2AA1=(λ-1)AB+λAD+λ2AA1,又BD=AD−AB,BC1=BC+CC1=AD+AA1,又由B,D,C1,F四点共面,可得存在实数x,y,使BF=xBC1+yBD=x(AD+AA1)+y(AD−AB)=-yAB+(x+y)AD+xAA1,所以λ-1=-y,λ=x+y,λ2=x,解得λ=23.
故选D.
12.AD 解析 设AB=a,AC=b,AA1=c,因为AB=AC=AA1=1,
∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,所以a·b=0,a·c=b·c=12.
因为AB1=AB+AA1=a+c,
BC1=BC+BB1=AC−AB+AA1=b-a+c,
所以AB1·BC1=(a+c)·(b-a+c)=a·b+b·c-a2+c2=12≠0,所以AB1与BC1不垂直,故B错误;
因为AB12=(a+c)2=a2+c2+2a·c=3,所以|AB1|=3,
因为BC12=(-a+b+c)2=a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c=3,所以|BC1|=3,所以cs=AB1·BC1|AB1||BC1|=123×3=16,故A正确;
因为BM=23BA1,C1N=23C1B1,
所以A1N=A1B1+B1N=AB+13B1C1=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC,
A1M=13A1B=13(AB−AA1),
所以MN=A1N−A1M=32AB+13AC−13(AB−AA1)=13AB+13AC+13AA1,故C错误;
因为MN2=19(a+b+c)2=19(a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c)=19(3+2)=59,所以|MN|=53,故D正确.故选AD.
13.2或6 解析 由已知,得EA'·AF=2×1×cs 60°=1,或EA'·AF=2×1×cs(180°-60°)=-1,
设AA'=d>0,因为EA'·A'A=0,A'A·AF=0,
所以|EF|2=(EA'+A'A+AF)2=|EA'|2+|A'A|2+|AF|2+2EA'·A'A+2A'A·AF+2EA'·AF=1+d2+4+0+0+2EA'·AF.
当EA'·AF=1时,可得1+d2+4+2=9,解得d=2;
当EA'·AF=-1时,可得1+d2+4-2=9,解得d=6.综上可知,即公垂线段AA'的长为2或6.
14.解 (1)BD=13BA1,
故CD=CB+BD=CB+13BA1=AB−AC+13(AA1−AB)=23AB−AC+13AA1.
(2)由(1)知,CD=23AB−AC+13AA1,两边平方得
CD2=(23AB−AC+13AA1)2
=49AB2+AC2+19AA12−43AB·AC−23AA1·AC+49AB·AA1.
因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,AB=AC=AA1=3,
所以AB⊥AA1,AA1⊥AC,故AB·AA1=AA1·AC=0,
AB·AC=|AB|·|AC|csπ3=3×3csπ3=92,所以CD2=4+9+1-43×92=8,故|CD|=22.
因为AC1=AC2+CC12=32,故|AC1|=32,
设直线CD与直线AC1所成角为θ,
CD·AC1=(23AB−AC+13AA1)·(AC+AA1)=23AB·AC+23AB·AA1−AC2−AC·AA1+13AC·AA1+13AA12=23×92-9+3=-3,所以cs θ=|CD·AC1||CD||AC1|=322×32=14,
所以直线CD与直线AC1所成角的余弦值为14.
15.解 (1)设AB=a,AD=b,AA1=c,
依题意|a|=|b|=|c|=1,===π3,则a·b=a·c=c·b=1×1×csπ3=12,
由图可知AC1=AC+CC1=AB+AD+AA1=a+b+c,则|AC1|2=(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+a·c+c·b)=1+1+1+2(12+12+12)=6,故AC1的长为6.
(2)因为动点M在线段A1D1上(含端点),设A1M=tA1D1=tAD,0≤t≤1,
则BM=AM−AB=AA1+A1M−AB=-a+tb+c,
则AC1·BM=(a+b+c)·(-a+tb+c)
=-|a|2+t|b|2+|c|2+(t-1)a·b+(t+1)c·b
=t+12(t-1)+12(t+1)=2t,而|AC1|=6,|BM|2=(-a+tb+c)2=|a|2+t2|b|2+|c|2-2ta·b+2tc·b-2a·c=t2+2-t+t-1=t2+1,
则|BM|=t2+1,
于是cs θ=|cs|=|2t|6×t2+1=63·t2t2+1=63·1-1t2+1,
因为0≤t≤1,则1≤t2+1≤2,则0≤1-1t2+1≤12,故0≤cs θ≤33,
因为0≤θ≤π2,而函数y=cs x在[0,π2]上单调递减,故当cs θ=0时,θ取得最大值π2,此时点M与点A1重合.
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