2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 014-第六节 空间向量及其运算（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 014-第六节 空间向量及其运算（教用），共15页。
课标要求
1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置.
2.理解空间向量的概念,掌握空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示.
4.理解直线的方向向量与平面的法向量,能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系.
回归教材 强基础
1．空间向量的有关概念
（1） 共线向量（平行向量）：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相_ _ _ _ _ _ _ _ ，那么称这些向量为共线向量或平行向量.
（2） 共面向量：平行于_ _ _ _ _ _ _ _ 的向量.
（3） 共线向量定理：对任意两个空间向量a,b(b≠0),a//b⇔ 存在λ∈R,使_ _ _ _ _ _ _ _ .
（4） 共面向量定理：若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=_ _ _ _ _ _ _ _ .
（5） 空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使得p=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
推论:设O,A,B,C是不共面的四点,则对平面ABC内任一点P都存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使OP=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1.
【答案】（1） 平行或重合
（2） 同一个平面
（3） a=λbx
（4） a+yb
（5） xa+yb+zc
2．两个空间向量的数量积
【答案】a⋅b=0； a⋅a
3.空间向量的坐标运算
4.直线的方向向量与平面的法向量
（1）直线的方向向量：与直线l平行（或在直线l上）的有向线段所表示的向量叫做直线l的方向向量.
（2）平面的法向量：直线l⊥ 平面α ,取直线l的方向向量,则这个向量叫做平面α 的法向量.
点拨 直线的方向向量和平面的法向量均不为零向量且不唯一.
5．空间位置关系的向量表示
【答案】n1=λ； n2n1⋅n2=0； n⋅m=0
自主评价
1．概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1） 空间中任意两个非零向量a,b共面.（ ）
（2） 在空间向量数量积的运算中，(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c).（ ）
（3） 空间中任意两个向量都不能比较大小.（ ）
（4） 若A，B，C，D是空间中任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0.（ ）
【答案】（1） √
（2） ×
（3） √
（4） √
2．（人教A版选择性必修第一册P33练习T1改编）已知m=(−1,2,1)是直线l的方向向量，n=(x,1,12)是平面α 的法向量，若l//α ，则x=（ ）
A. 52B. −52C. −12D. 12
【答案】A
【解析】若l//α ，则m⊥n，从而m⋅n=0，即−x+2+12=0，解得x=52.故选A.
3．已知n1=(2,3,5)，n2=(−3,1,−4)分别为平面α ，β 的法向量，则（ ）
A. α//βB. α⊥β
C. α ，β 相交但不垂直D. 以上均不对
【答案】C
【解析】∵n1≠λn2，且n1⋅n2=−23≠0，∴α ，β 相交但不垂直.
4．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OP=34OA+18OB+tOC，若P，A，B，C四点共面，则实数t=_ _ _ _ _ _ .
【答案】18
【解析】∵P，A，B，C四点共面，∴34+18+t=1，∴t=18.
突破核心 提能力
考点一 空间向量的线性运算
例1 已知A(1,5,−2)，B(2,4,1)，C(x,3,y+2)三点在一条直线上，x，y是实数，则x+y=（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】由已知可得AB=(1,−1,3)，AC=(x−1,−2,y+4).因为A，B，C三点共线，所以存在唯一的实数λ ，使得AC=λAB，所以x−1=λ,−2=−λ,y+4=3λ,解得λ=2,x=3,y=2,所以x+y=5.故选D.
例2 （2025·湖北武汉二模）在三棱柱ABC−A1B1C1中，设AA1=a，AB=b，AC=c，M，N分别为AB，CC1的中点，则MN=（ ）
A. 12a+12b+cB. 12a−12b+cC. a−12b+12cD. a+12b+c
【答案】B
【解析】MN=MA+AC+CN=−12AB+AC+12AA1=12a−12b+c.
变式．如图所示，在四面体ABCD中，E是CD的中点，记AB=a，AC=b，AD=c，则BE=（ ）
A. −a+12b+12cB. a−12b+12c
C. 12a−b+12cD. −12a+b+12c
【答案】A
【解析】如图，连接AE，∵E是CD的中点，AC=b，AD=c，∴AE=12(AC+AD)=12(b+c).在△ABE中，BE=AE−AB，又AB=a，∴BE=12(b+c)−a=−a+12b+12c.故选A.
归纳总结
空间向量的线性运算中的三个关键点
（1）结合图形，明确图形中各线段的几何关系.
（2）正确运用向量加、减、数乘运算的几何意义.
（3）平面向量中的三角形法则、平行四边形法则在空间向量的线性运算中仍然成立.
考点二 共面向量定理及其应用
例3 （2025·山西临汾一模）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，H为CC1的中点，AF=λAH，λ∈(0,1)，若B，D，C1，F四点共面，则λ=（ ）
A. 12B. 25C. 13D. 23
【答案】D
【解析】由平行六面体的特征可得AH=AB+BC+CH=AB+AD+12AA1，则AF=λAH=λAB+λAD+λ2AA1，所以BF=BA+AF=BA+λAB+λAD+λ2AA1=(λ−1)AB+λAD+λ2AA1，
由B，D，C1，F四点共面，可得存在实数x,y，使BF=xBC1+yBD=x(AD+AA1)+y(AD−AB)=−yAB+(x+y)AD+xAA1，
所以λ−1=−y,λ=x+y,λ2=x,解得λ=23.
例4 已知a=(2,3,5),b=(1,−2,2),c=(4,1,λ),若存在非零向量m满足m⋅a=0,m⋅b=0，m⋅c=0,则实数λ=_ _ _ _ .
【答案】9
【解析】由题可知m⊥a,m⊥b,m⊥c,所以a,b,c是共面向量，所以存在实数x,y，使得c=xa+yb,即(4,1,λ)=x(2,3,5)+y(1,−2,2),所以4=2x+y,1=3x−2y,λ=5x+2y,解得λ=9.
归纳总结
证明空间中P，M，A，B四点共面的方法
（1）MP=xMA+yMB(x,y∈R)；
（2）对空间中任意一点O，OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1)；
（3）PM//AB（或PA//MB 或PB//AM）.
考点三 空间向量数量积及其应用
例5 （2025·山东济南三模）已知点A(1,1,0),B(0,2,1),C(2,1,−1)，O(0,0,0),则向量AC与OB夹角的余弦值为（ ）
A. −66B. −36C. 36D. 66
【答案】A
【解析】依题意可得AC=(1,0,−1),OB=(0,2,1)，所以向量AC与OB夹角的余弦值为AC⋅OB|AC||OB|=−12×3=−66.
例6 如图所示，已知四面体ABCD的所有棱长都等于1，E，F，G分别是棱AB，AD，CD的中点.求：
（1） EF⋅BA；
（2） EG⋅BD.
【解析】
例6 设AB=a，AC=b，AD=c.由题意得|a|=|b|=|c|=1，⟨a，b⟩=⟨b，c⟩=⟨c，a⟩=60∘ .
（1） 因为EF=12BD=12(AD−AB)=12c−12a，且BA=−a，
所以EF⋅BA=(12c−12a)⋅(−a)=12a2−12a⋅c=14.
（2） EG⋅BD=(EA+AD+DG)⋅(AD−AB)=
(−12AB+AD+AG−AD)⋅(AD−AB)=
(−12AB+12AC+12AD)⋅(AD−AB)=
(−12a+12b+12c)⋅(c−a)=
12×(−a⋅c+a2+b⋅c−a⋅b+c2−a⋅c)=12.
变式1．在本例条件下，求证:EG⊥AB.
证明 由本例（2）知EG=12(b+c−a)，
所以EG⋅AB=12(a⋅b+a⋅c−a2)=0,
故EG⊥AB，即EG⊥AB.
变式2．在本例条件下，求EG的长.
【解析】由本例（2）知EG=−12a+12b+12c，
所以|EG|2=14a2+14b2+14c2−12a⋅b+12b⋅c−12a⋅c=12，
所以|EG|=22，即EG的长为22.
变式3．在本例条件下，求异面直线AG与CE所成角的余弦值.
【解析】易知AG=12b+12c，CE=CA+AE=−b+12a，
AG⋅CE=(12b+12c)⋅(−b+12a)=−12,
|AG|=(12b+12c)2=32,|CE|=(−b+12a)2=32,
所以cs⟨AG，CE⟩=AG⋅CE|AG||CE|=−23，
因为异面直线所成角的取值范围是(0,π2]，
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为23.
归纳总结
空间向量数量积的三个应用
（1）求夹角:设向量a,b的夹角为θ ,则运用公式csθ=a⋅b|a||b|,即可求出空间两非零向量的夹角，进而可求出空间中两异面直线所成的角.
（2）求长度（距离）:利用公式|a|=a⋅a,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.
（3）解决垂直问题:利用a⊥b⇔a⋅b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.
考点四 利用空间向量证明平行、垂直
例7 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点.用向量法证明：
（1） 平面A1BD//平面B1CD1；
（2） MN⊥ 平面A1BD.
【答案】
例7 证明 如图，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，
故DA1=(2,0,2)，DB=(2,2,0)，B1C=(−2,0,−2)，B1D1=(−2,−2,0)，
设平面A1BD的法向量为n1=(x1,y1,z1)，
则DA1→⋅n1=0,DB→⋅n1=0,即2x1+2z1=0,2x1+2y1=0,
令x1=1，则n1=(1,−1,−1).
（1） 设平面B1CD1的法向量为n2=(x2,y2,z2)，
则B1C→⋅n2=0,B1D1→⋅n2=0,即−2x2−2z2=0,−2x2−2y2=0,
令x2=1，则n2=(1,−1,−1)，
所以n1//n2，故平面A1BD//平面B1CD1.
（2） 由M，N分别是AB，B1C的中点，得M(2,1,0)，N(1,2,1)，所以MN=(−1,1,1)，
则MN//n1，所以MN⊥ 平面A1BD.
例8 如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥ 底面ABC，∠BAC=90∘ .点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.
（1） 求证：MN//平面BDE；
（2） PB上是否存在一点H，使得平面BDE⊥ 平面ACH？若存在，求出PH的长度，若不存在，说明理由.
【解析】
例8 如图，以A为原点，AB，AC，AP的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0).
（1） 证明：DE=(0,2,0)，DB=(2,0,−2).
设平面BDE的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅DE→=0,n⋅DB→=0,即2y=0,2x−2z=0,
令z=1，可得n=(1,0,1).
又MN=(1,2,−1)，所以MN⋅n=0.
因为MN⊄ 平面BDE，所以MN//平面BDE.
（2） 假设PB上存在一点H，使得平面BDE⊥ 平面ACH.
设H(x0,y0,z0),则PH=(x0,y0,z0−4),PB=(2,0,−4)，
令PH=λPB，则x0=2λ,y0=0,z0=4−4λ,即H(2λ,0,4−4λ)，所以AH=(2λ,0,4−4λ),
易得AC=(0,4,0).
设平面ACH的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AH→=0,m⋅AC→=0,即2λx+(4−4λ)z=0,4y=0,
令z=λ ，可得m=(2λ−2,0,λ)，所以m⋅n=2λ−2+λ=0，解得λ=23，
所以H(43,0,43)，
所以PH=(43,0,−83),
所以PH=(43)2+(−83)2=453.
故PB上存在一点H，使得平面BDE⊥ 平面ACH，此时PH=453.
归纳总结
1.利用向量法证明平行问题的类型及常用方法
（1）线线平行：两条直线的方向向量平行.
（2）线面平行：平面外的直线的方向向量与平面的法向量垂直.
（3）面面平行：两个平面的法向量平行.
2.利用向量法证明垂直问题的类型及常用方法
（1）线线垂直：两条直线的方向向量垂直.
（2）线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量平行.
（3）面面垂直：两个平面的法向量垂直.数量积
a⋅b=|a||b|cs⟨a，b⟩
垂直关系
a⊥b⇔ _ _ _ _ _ _ _ _ （a,b为非零向量）
模
|a|= _ _ _ _ _ _
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
向量和
a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
向量差
a−b=(a1−b1,a2−b2,a3−b3)
数量积
a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3
共线
a//b⇔a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R,b≠0)
垂直
a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0(a≠0,b≠0)
夹角
cs⟨a，b⟩=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32⋅b12+b22+b32
位置关系
向量表示
l1//l2
直线l1,l2的方向向量分别为n1，n2
n1//n2⇔ _ _ _ _ _ _ _ _ (λ∈R)
l1⊥l2
n1⊥n2⇔ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
l//α
直线l的方向向量为n,平面α 的法向量为m
n⊥m⇔ _ _ _ _ _ _ _ _
l⊥α
n//m⇔n=λm(λ∈R)
α//β
平面α ,β 的法向量分别为m,p
p//m⇔p=λm(λ∈R)
α⊥β
p⊥m⇔p⋅m=0