2026年高考数学第一轮专题复习：课时突破练45空间向量及其运算 [含答案]

这是一份2026年高考数学第一轮专题复习：课时突破练45空间向量及其运算 [含答案]，共21页。试卷主要包含了关于空间向量,以下说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
基础达标练
1.(2024·江苏常州期中)向量a=(2,-1,1),b=(1,1,x),若a⊥b,则x=( )
A.-2B.-1
C.1D.0
2.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量AB与AC的夹角为( )
A.-π3B.π6
C.π4D.π3
3.已知空间向量a=(1,2,0),b=(0,-1,1),c=(2,3,m),若a,b,c共面,则实数m=( )
A.1B.2
C.3D.4
4.(2024·浙江宁波期末)已知a=(2,2,1),b=(1,1,0),则a在b上的投影向量的坐标为( )
A.(1,1,0)B.(1,2,0)
C.(2,2,0)D.(1,1,1)
5.(多选)已知向量a=(1,5,2),b=(-2,0,1),c=(-1,1,-2),则下列说法正确的有( )
A.|a|=27
B.(a+b)·c=a·(c+b)
C.(a+b+c)2=a2+b2+c2
D.a,b,c共面
6.(2024·江苏常州期中)已知正四面体ABCD的棱长为1,点M是BC的中点,则AM·CD的值为 .
7.(2024·福建漳州期中)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=π4,则AC12= .
能力提升练
8.(2024·江西南昌模拟)半正多面体又称“阿基米德多面体”,它是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美.把正四面体的每条棱三等分,截去顶角所在的小正四面体,得到一个有八个面的半正多面体,如图,点P,A,B,C,D为该半正多面体的顶点,若PA=a,PB=b,PC=c,则PD=( )
A.-12a+b+12c
B.12a-b-12c
C.a-12b+12c
D.12a+b-12c
9.(2024·江西模拟)中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“刍童”的几何体,该几何体是上下两个底面平行,且均为矩形的六面体.现有一“刍童”ABCD-A1B1C1D1,如图所示.AB=AA1=4,A1B1=AD=2,A1D1=1,AB∥A1B1,∠BAA1+∠DAA1=2π3,A1C1与B1D1的交点为O,则AO·AC的最大值为( )
A.82+5B.18
C.83+5D.21
10.(多选)关于空间向量,以下说法正确的是( )
A.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面
B.若a·b27,A错误;
对于B项,a·b=0,b·c=0,(a+b)·c-a·(c+b)=b·c-a·b=0,B正确;
对于C项,a·c=1×(-1)+5×1+2×(-2)=0,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=a2+b2+c2,C正确;
对于D项,由选项BC知,向量a,b,c两两垂直,则a,b,c不共面,D错误.
6.-14 如图,正四面体ABCD的棱长为1,
∴AB·AC=AB·AD=AC·AD=1×1×cs 60°=12,
又点M是BC的中点,
∴AM=12(AB+AC),又CD=AD−AC,
∴AM·CD=12(AB+AC)·(AD−AC)=12(AB·AD−AB·AC+AC·AD−AC2)=12×12−12+12-1=-14.
7.3+32 因为平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=π4,所以AC12=(AB+BC+CC1)2=AB2+BC2+CC12+2AB·BC+2AB·CC1+2BC·CC1=3+6csπ4=3+32.
8.A 如下图所示,PC=PA+AC=PA+2BD=PA+2PD-2PB,
所以PD=-12PA+PB+12PC=-12a+b+12c.
9.C 设∠BAA1=α,则∠DAA1=2π3-α,由题意得AO=AA1+A1O=AA1+12A1B1+12A1D1=AA1+14AB+14AD,AC=AB+AD.
所以AO·AC=AA1+14AB+14AD·(AB+AD)=AA1·AB+AA1·AD+14AB2+14AD2+12AB·AD=16cs α+8cs2π3-α+4+1=43sin α+12cs α+5=83sinα+π3+5,当∠BAA1=α=π6时,AO·AC取得最大值,且最大值为83+5.
10.ACD 对于A项,因为有两个向量共线,所以这三个向量一定共面,A正确;
对于B项,若a·b