2020届高考数学一轮复习：课时作业46《空间向量的运算及应用》(含解析) 练习

课时作业46　空间向量的运算及应用

1．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　D　)

A．－2   B．－

C.   D．2

解析：由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.

2．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有＝＋＋，则P，A，B，C四点(　B　)

A．不共面   B．共面

C．共线   D．不共线

解析：由已知可得

－＝－＋＋，

即－＝－＋＋－，

可得＝－(－)＋(－)＝－＋＝(＋)，

所以，，共面但不共线，故P，A，B，C四点共面．

3．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC的中点，则△AMD是(　C　)

A．钝角三角形   B．锐角三角形

C．直角三角形   D．不确定

解析：∵M为BC的中点，∴＝(＋)．

∴·＝(＋)·

＝·＋·＝0.

∴AM⊥AD，即△AMD为直角三角形．

4．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的比为2，现用基向量，，表示向量，设＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别是(　D　)

A．x＝，y＝，z＝   B．x＝，y＝，z＝

C．x＝，y＝，z＝   D．x＝，y＝，z＝

解析：设＝a，＝b，＝c，

∵G分MN的所成比为2，∴＝，

∴＝＋＝＋(－)＝a＋＝a＋b＋c－a＝a＋b＋c，即x＝，y＝，z＝.

5．已知空间向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且a，b的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足＝2a＋b，＝3a－b，则△OAB的面积为(　B　)

A.   B.

C.   D.

解析：||＝＝＝，

同理||＝，则cos∠AOB＝＝＝，从而有sin∠AOB＝，

∴△OAB的面积S＝×××＝，故选B.

6．如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值为(　A　)

A.   B.

C.   D.

解析：因为＝－，

所以·＝·－·

＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝－16＋24.

所以cos〈，〉＝＝＝.

即OA与BC所成角的余弦值为.

7．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为　60°　.

解析：由题意，得(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10，

即2a·c＋b·c＝－10.

又∵a·c＝4，∴b·c＝－18，

∴cos〈b，c〉＝＝＝－，

又∵〈b，c〉∈[0°，180°]，

∴〈b，c〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.

8．已知O点为空间直角坐标系的原点，向量＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，的坐标是　　.

解析：∵点Q在直线OP上，∴设点Q(λ，λ，2λ)，

则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，

·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－.

即当λ＝时，·取得最小值－.

此时＝.

9．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝.则VA与平面PMN的位置关系是　VA∥平面PMN　.

解析：如图，设＝a，＝b，＝c，

则＝a＋c－b，

由题意知＝b－c，

＝－＝a－b＋c.

因此＝＋，

∴，，共面．

又∵VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.

10．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点．

(1)试用向量，，表示；

(2)用向量方法证明平面EFG∥平面AB1C.

解：(1)设＝a，＝b，

＝c.

由图得＝＋＋

＝c＋b＋＝a＋b＋c

＝＋＋.

(2)证明：由题图，得＝＋＝a＋b，

＝＋＝b＋a＝，

∵EG与AC无公共点，∴EG∥AC，

∵EG⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C，

∴EG∥平面AB1C.

又∵＝＋＝a＋c，

＝＋＝c＋a＝，

∵FG与AB1无公共点，∴FG∥AB1，

∵FG⊄平面AB1C，AB1⊂平面AB1C，

∴FG∥平面AB1C，

又∵FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG，

∴平面EFG∥平面AB1C.

11．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上，且＝，N为B1B的中点，则||为(　A　)

A.a   B.a

C.a   D.a

解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)， N.

设M(x，y，z)，因为点M在AC1上，且＝，

则(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，

得x＝a，y＝，z＝，即M，

所以||＝＝a.

12．如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点.

(1)求的模；

(2)求cos〈，〉的值；

(3)求证：A1B⊥C1M.

解：(1)如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．

由题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，

所以||＝＝.

(2)由题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，

所以＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，·＝3，||＝，||＝，

所以cos〈，〉＝＝.

(3)证明：由题意得C1(0,0,2)，M，

＝(－1,1，－2)，＝，

所以·＝－＋＋0＝0，

所以⊥，

即A1B⊥C1M.