2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 058-课时作业52 空间角（教用）

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单选题每小题2分，多选题每小题4分，填空题每小题3分，解答题每题10分，共29分.
1．若直线l的方向向量与平面α 的法向量的夹角等于60∘ ，则l与α 所成的角等于（ ）
A. 120∘ B. 60∘C. 30∘ D. 60∘ 或30∘
【答案】C
【解析】设l的方向向量为m，平面α 的法向量为n，l与平面α 所成的角为θ(0∘≤θ≤90∘)，所以sinθ=|cs⟨m,n⟩|=12，所以θ=30∘ .故选C.
2．已知向量m=(1,2,−1),n=(t,1,−t)，且m⊥ 平面α ,n⊥ 平面β ，若平面α 与平面β 夹角的余弦值为223，则实数t=（ ）
A. 12或−1B. 15或1C. −1或2D. −12
【答案】B
【解析】根据题意可得，m⋅n=2+2t,|m|=6,|n|=1+2t2，所以|cs⟨m,n⟩|=|2+2t|6⋅1+2t2=223，解得t=15或t=1.故选B.
3．（2025·安徽合肥模拟）中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，AA1,BB1,CC1,DD1均与曲池的底面ABCD垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90∘ ，则图中异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为（ ）
A. 45B. 35C. 1010D. 31010
【答案】A
【解析】设上底面圆心为O1，下底面圆心为O，连接OO1，OC，OB，O1C1,O1B1,以O为坐标原点，OC，OB，OO1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则C(1,0,0)，A(0,2,0)，B1(0,1,2)，D1(2,0,2)，所以AB1=(0,−1,2)，CD1=(1,0,2)，
则cs⟨AB1,CD1⟩=AB1⋅CD1|AB1|⋅|CD1|=45×5=45，所以异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为45.
4．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，C1D1的中点，则直线A1B1与平面A1EF所成角的正弦值为 （ ）
A. 62B. 63C. 64D. 2
【答案】B
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1，则A1(1,0,1)，E(1，12，0)，F(0,12,1)，B1(1,1,1)，所以A1B1=(0,1,0)，A1E=(0,12,−1)，A1F=(−1,12,0).
设平面A1EF的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅A1E→=0,n⋅A1F→=0,即y2−z=0,−x+y2=0,
令y=2，可得n=(1,2,1)，
则cs⟨n，A1B1⟩=26=63.
设直线A1B1与平面A1EF所成的角为θ ，
则sinθ=|cs⟨n，A1B1⟩|=63.
5．如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，M,N分别为BC,AD的中点，则直线AM和CN所成角的正弦值为（ ）
A. 23B. 34C. 53D. 23
【答案】C
【解析】因为在棱长为1的正四面体ABCD中，M,N分别为BC,AD的中点，所以∠BAC=∠BAD=∠CAD=π3，AM=CN=32，且AM=12(AB+AC)，CN=AN−AC=12AD−AC，则AM⋅CN=12(AB+AC)⋅(12AD−AC)=12(12AB⋅AD−AB⋅AC+12AC⋅AD−AC2)=12×(14−12+14−1)=−12，
所以|cs⟨AM,CN⟩|=|AM⋅CN||AM||CN|=1234=23，即直线AM和CN所成角的余弦值为23，所以所求正弦值为53.故选C.
6．如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，若A1A⊥ 平面ABC，AB⊥AC，A1C1=1，AB=AC=AA1=2，M为BC的中点，则二面角M−AC1−C的余弦值为（ ）
A. −23B. 23C. 13D. 53
【答案】B
【解析】由于AB=AC=AA1=2，A1C1=1，故根据台体的性质可知A1B1=1,
因为A1A⊥ 平面ABC，AB,AC⊂ 平面ABC，所以A1A⊥AB,A1A⊥AC，
又AB⊥AC，所以AB，AC，AA1两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0),M(1,1,0),C1(0,1,2)，则AM=(1,1,0),AC1=(0,1,2)，
设平面MAC1的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AM→=x+y=0,n⋅AC1→=y+2z=0,故n=(2,−2,1)，
易知平面CC1A的一个法向量为m=(1,0,0)，
设二面角M−AC1−C的平面角为θ ，由图可知θ 为锐角，所以csθ=|m⋅n|m|⋅|n||=23.故选B.
7．多选 在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为上底面A1B1C1D1的中心，则（ ）
A. OB//平面ACD1
B. OB⊥C1D
C. 直线BC1与CD1所成的角为60∘
D. 直线BC与平面ACD1所成角的正弦值为33
【答案】ACD
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),O(12,12,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1)，所以AC=(−1,1,0),AD1=(−1,0,1)，OB=(12,12,−1)，
设平面ACD1的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AC→=−x+y=0,m⋅AD1→=−x+z=0,令x=1，可得m=(1,1,1)，
所以OB⋅m=12×1+12×1−1×1=0，所以OB⊥m，又OB⊄ 平面ACD1，所以OB//平面ACD1，故A正确；
BC=(−1,0,0)，设直线BC与平面ACD1所成的角为θ ，则sinθ=|cs⟨BC,m⟩|=|BC⋅m||BC|⋅|m|=|−1|1×3=33，所以直线BC与平面ACD1所成角的正弦值为33，故D正确；
C1D=(0,−1,−1)，则OB⋅C1D=12×0+12×(−1)+(−1)×(−1)=12≠0，所以OB⊥C1D不成立，故B错误；
因为BC1//AD1，所以∠AD1C（或其补角）为直线BC1与CD1所成的角，易知∠AD1C=60∘ ，故C正确.
故选ACD.
8．如图，二面角α−l−β 的棱上有A,B两点，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l，若AB=AC=6,BD=8,CD=65，则二面角α−l−β 的余弦值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】−1124
【解析】由题可知AC⊥AB,BD⊥AB，所以DB⋅BA=BA⋅AC=0，
设二面角α−l−β 的平面角为θ ，则DB⋅AC=8×6cs(π−θ)=−48csθ ，由DC=DB+BA+AC，得DC2=DB2+BA2+AC2+2DB⋅BA+2DB⋅AC+2BA⋅AC，
即(65)2=82+62+62+0+2×(−48csθ)+0，解得csθ=−1124.故二面角α−l−β 的余弦值为−1124.
9．（2026·湖南湘东联考）如图，空间几何体ABCDE的底面ABC是以∠BAC为直角的等腰直角三角形，平面BCD⊥ 平面ABC，直线AE⊥ 平面ABC，且AE=AC=2.
（1） 求证：AE//平面BCD；
（2） 若DE⊥ 平面BCD，求直线BD与平面ACE所成角的正弦值.
【解析】
（1） 证明：过点D作DH⊥BC于点H，连接AH，
∵ 平面BCD⊥ 平面ABC，且平面BCD∩ 平面ABC=BC,DH⊂ 平面BCD，∴DH⊥ 平面ABC.
又AE⊥ 平面ABC，
∴DH//AE，
又AE⊄ 平面BCD,DH⊂ 平面BCD，
∴AE//平面BCD.
（2） 取BC的中点G，连接AG,则AG⊥BC，
又AE⊥ 平面ABC，AG⊂ 平面ABC，
∴AE⊥AG，
又AE//DH，∴DH⊥AG，
由（1）知DH⊥ 平面ABC，
又AH⊂ 平面ABC，∴DH⊥AH，
故H与G重合.
又AH⊥BC，DH∩BC=H,DH,BC⊂ 平面BCD，∴AH⊥ 平面BCD，
又DE⊥ 平面BCD，∴AH//DE，
又DH//AE，∴ 四边形AHDE为矩形.
以A为原点，AC,AB,AE所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
则B(0,2,0),C(2,0,0),D(1,1,2)，
∴BD=(1,−1,2).
易得平面ACE的一个法向量为n=(0,1,0)，
设直线BD与平面ACE所成的角为θ ，
则sinθ=|cs⟨BD,n⟩|=|−11×12+(−1)2+22|=66，
∴ 直线BD与平面ACE所成角的正弦值为66.
能力强化练
多选题每小题6分，填空题每小题5分，解答题每空10分，共26分.
10．（2025·山东德州三模）多选 在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥ 平面ABCD，且PA=1，E，F，G分别为棱AB,AD,PC的中点，则（ ）
A. AG⊥PD
B. 异面直线FG和AC所成的角为π6
C. 平面EFG与平面ABCD夹角的正弦值为63
D. 过点E，F，G的平面截四棱锥P−ABCD所得的截面为五边形
【答案】ACD
【解析】因为PA⊥ 平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，所以AB，AD，AP两两垂直，
以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0),E(12,0,0)，F(0,12,0)，G(12,12,12).
对于A，AG=(12,12,12),PD=(0,1,−1)，由AG⋅PD=12−12=0，得AG⊥PD，故A正确；
对于B，FG=(12,0,12),AC=(1,1,0)，设FG和AC所成的角为θ ，则csθ=|cs⟨FG,AC⟩|=|FG⋅AC||FG|⋅|AC|=
1212×2=12，又θ∈(0,π2]，所以θ=π3，故B错误；
对于C，易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1)，EF=(−12,12,0)，设平面EFG的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅EF→=0,n⋅FG→=0,则−12x+12y=0,12x+12z=0,令x=1，则n=(1,1,−1)，设平面EFG与平面ABCD的夹角为α ，则csα=|cs⟨m,n⟩|=|m⋅n||m|⋅|n|=11×3=33，则sinα=1−cs2α=63，故C正确；
对于D，延长FE，与CB的延长线交于点N，延长EF，与CD的延长线交于点J，连接NG，与PB交于点H，连接GJ，与PD交于点K，连接HE,KF，则平面EFG截四棱锥P−ABCD所得的截面为五边形HEFKG，故D正确.故选ACD.
11．如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是梯形，PA⊥ 平面ABCD，AD//BC，AB=AP=2，BC=2AD=22，∠ABC=45∘ ，E为线段PB上的一个动点，且BE=λBP，若直线PC与平面EAD所成的角为60∘ ，则λ=_ _ _ _ _ _ .
【答案】13
【解析】连接AC，在△ABC中，AB=2，BC=22，∠ABC=45∘ ，由余弦定理得AC=AB2+BC2−2AB⋅BCcs45∘=4+8−2×2×22×22=2，即AB2+AC2=BC2，所以AB⊥AC.又PA⊥ 平面ABCD，所以AB，AC，AP两两垂直.
以A为原点，AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，C(0,2,0)，D(−1,1,0)，所以AD=(−1,1,0)，PC=(0,2,−2)，BP=(−2,0,2)，AB=(2,0,0)，
则BE=λBP=λ(−2,0,2)=(−2λ,0,2λ)，所以AE=AB+BE=(2−2λ,0,2λ)，
设平面EAD的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅AD→=−x+y=0,m⋅AE→=(2−2λ)x+2λz=0,
令x=λ ，得m=(λ,λ,λ−1)，
所以sin60∘=|cs⟨m,PC⟩|=|m⋅PC|m||PC||=23λ2−2λ+1×22=32，解得λ=13.
12．如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥PB，PA=PB，AB=2BC=2，平面PAB⊥ 平面ABC，则：
（1） 三棱锥P−ABC体积的最大值为_ _ _ _ _ _ ；
（2） 二面角P−AC−B正弦值的最小值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） 13
（2） 255
【解析】
（1） 取AB的中点O，连接PO，在△PAB中，因为PA=PB，所以PO⊥AB.又平面PAB⊥ 平面ABC，平面PAB∩ 平面ABC=AB，PO⊂ 平面PAB，所以PO⊥ 平面ABC，因为PA⊥PB，PA=PB，AB=2BC=2，所以PO=1，BC=1，所以VP−ABC=13S△ABC⋅PO=13⋅(12AB⋅BC⋅sin∠ABC)⋅PO=13sin∠ABC.
因为∠ABC∈(0,π)，所以0