2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 055-课时作业49 直线、平面平行的判定与性质（教用）

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单选题每小题3分，多选题每小题4分，填空题每小题4分，共32分.
1．如图，已知平面α// 平面β ，点P 为α ，β 外一点，直线PB 与α ，β 分别相交于点A ，B ，直线PD 与α ,β 分别相交于点C ，D ，则AC 与BD 的位置关系为（ ）
A. 平行B. 相交C. 异面D. 平行或异面
【答案】A
【解析】由题意知，P,A,B,C,D在同一平面内，且平面PBD∩ 平面α=AC，平面PBD∩ 平面β=BD，∵ 平面α//平面β ，∴AC//BD.故选A.
2．已知a，b，c为三条不重合的直线，α ，β ，γ 为三个不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. 若α//γ ，β//γ ，则α//βB. 若c//α ，c//β ，则α//β
C. 若a//γ ，b//γ ，则a//bD. 若c//α ，a//c，则a//α
【答案】A
【解析】对于A，由α//γ ，β//γ ，结合面面平行的传递性，可得α//β ，故A为真命题；
对于B，若c//α ，c//β ，则α ,β 可能平行，也可能相交，故B为假命题；
对于C，若a//γ ，b//γ ，则a,b可能平行，也可能相交或异面，故C为假命题；
对于D，若c//α ，a//c，则a//α 或a⊂α ，故D为假命题.故选A.
3．（2025·湖南模拟）设α ,β 是两个不同的平面，α∩β=l，m是异于l的一条直线，则“m//l”是“m//α 且m//β ”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当m//l时，m可能在α 内，也可能在β 内，故不能推出m//α 且m//β ，所以充分性不成立；当m//α 且m//β 时，取直线n⊂α ,n⊄β ，且n//m，因为m//β ，所以n//β ，根据直线与平面平行的性质定理，可得n//l，所以m//l，即必要性成立，故“m//l”是“m//α 且m//β ”的必要不充分条件.故选A.
4．（2025·浙江三模）在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P，Q分别为棱AA1，C1D1上的动点（可与端点重合），若PQ//平面AB1C，则PQ=（ ）
A. 52B. 2C. 72D. 3
【答案】B
【解析】连接A1C1,在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1C1//AC，因为AC⊂ 平面AB1C，A1C1⊄ 平面AB1C，所以A1C1//平面AB1C，因为点P，Q分别为棱AA1，C1D1上的动点（可与端点重合），PQ//平面AB1C，所以PQ即为A1C1，因此PQ=2.故选B.
5．（2025·湖南邵阳模拟）我国古代著名的数学专著《九章算术》中记载有几何体“刍甍”.如图，在几何体“刍甍”ABCDEF中，EF//平面ABCD，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，EF=12AB，O为正方形ABCD的中心，则（ ）
A. EO⊥平面ABCDB. EO//平面FBC
C. EO//FBD. EO//FC
【答案】B
【解析】取BC的中点G，连接FG,OG，因为O为正方形ABCD的中心，所以OG//AB,OG=12AB,因为四边形ABFE是等腰梯形，且EF=12AB，所以OG//EF,OG=EF,所以四边形OGFE是平行四边形，所以EO//FG,因为FG⊂ 平面FBC，EO⊄ 平面FBC，所以EO//平面FBC，所以B正确；因为四边形ABFE为等腰梯形，所以平面FBC与平面ABCD不垂直，又EO//平面FBC,所以EO与平面ABCD不垂直，所以A错误；因为EO⊂ 平面EOGF,F∈ 平面EOGF,B∉ 平面EOGF,所以EO和FB异面，同理可得EO和FC也异面，所以C，D错误.故选B.
6．已知正方体ABCD−A1B1C1D1，平面AB1C与平面DD1C1C的交线为l，则（ ）
A. l//A1DB. l//B1DC. l//C1DD. l//D1C
【答案】C
【解析】在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面AA1B1B//平面DD1C1C，平面AB1C∩ 平面DD1C1C=l，平面AB1C∩ 平面AA1B1B=AB1，所以l//AB1，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=B1C1且AD//B1C1，所以四边形ADC1B1为平行四边形，则AB1//C1D，所以l//C1D，C正确；
因为A1D,B1D,D1C都与C1D相交，所以l与A1D,B1D,D1C都不平行，A，B，D都错误.故选C.
7．（2025·福建福州模拟）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN//平面ABC的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，如图1所示，因为BC//EQ，BC⊄ 平面EMPQ,EQ⊂ 平面EMPQ，所以BC//平面EMPQ，同理可证AB//平面EMPQ，因为AB∩BC=B,AB,BC⊂ 平面ABC，所以平面EMPQ//平面ABC，
又MN⊂ 平面EMPQ，所以MN//平面ABC,故A满足；
图1
对于B，如图2所示，因为PA//BT，PA=BT，所以四边形PABT为平行四边形，故AB//PT，因为M,N分别为所在棱的中点，所以MN//PT，所以MN//AB，又MN⊄ 平面ABC,AB⊂ 平面ABC，所以MN//平面ABC，故B满足；
图2
对于C，如图3所示，取GT的中点F，连接AF,BF,PT，GN，因为F,B分别为GT,TN的中点，所以BF//GN，又AC//GN,所以BF//AC，所以A,B,C,F四点共面，因为A,F分别为PG,GT的中点，所以AF//PT，又PT//MN,所以MN//AF，又MN⊄ 平面ABC,AF⊂ 平面ABC，所以MN//平面ABC,故C满足；
图3
对于D，如图4所示，取EK的中点H，连接BH,MH,CN,PT,EF,BN，因为A,C分别为所在棱的中点，所以AC//PT，又BN//PT,故AC//BN，所以A,B,C,N四点共面，同理可证MH//BN，故AC//MH，同理可得AB//MN,BH//CN，假设MN⊄ 平面ABC，因为MN//AB，且AB⊂ 平面ABC，
所以MN//平面ABC，但MN与平面ABC存在公共点N，这与MN//平面ABC矛盾，故MN⊂ 平面ABC，故D不满足.
故选D.
图4
8．多选 如图，已知圆锥的顶点为S，四边形ACBD的两条对角线恰好为圆O的两条直径，E,F分别为SA,SC的中点，且SA=AC=AD，则（ ）
A. SD//平面OEFB. 平面OEF//平面SBD
C. OE⊥SAD. 直线EF与SD所成的角为45∘
【答案】ABC
【解析】由已知可得，四边形ACBD为正方形，且四棱锥S−ACBD的各棱长均相等，
由O,F分别为CD,SC的中点，可得OF//SD，又OF⊂ 平面OEF，SD⊄ 平面OEF，所以SD//平面OEF，故A正确.
因为O,E分别为AB,SA的中点，所以OE//SB，又OE⊂ 平面OEF,SB⊄ 平面OEF，所以SB//平面OEF，而SD∩SB=S，且SB,SD⊂ 平面SBD，所以平面OEF//平面SBD，故B正确.
设SA=1，则SB=AD=BD=1,AB=2AD=2，所以SA2+SB2=AB2，即SA⊥SB，由B可知OE//SB，所以OE⊥SA，故C正确.
因为EF//AC//BD，所以∠SDB或其补角即为异面直线EF与SD所成的角，而∠SDB=60∘ ，故D错误.故选ABC.
9．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，点D在棱BB1上，且BD=23BB1,M,E分别是棱A1B1,AA1的中点，点N在棱CC1上，若MN//平面CDE，则C1NCN=（ ）
A. 57B. 75C. 23D. 32
【答案】B
【解析】过点M作MF//AA1,与DE交于点F，则MF//CC1，所以M,F,C,N四点共面，连接CF，因为MN//平面CDE，所以由线面平行的性质定理知MN//CF，所以四边形MFCN是平行四边形，所以MF=CN.因为MF//AA1,M是A1B1的中点，所以MF是梯形A1B1DE的中位线，设AA1=6，则MF=A1E+B1D2=3+22=52，即CN=52，所以C1N=6−52=72，所以C1NCN=75.故选B.
10．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP=a3，过P，M，N的平面交CD于点Q，则PQ=_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】22a3
【解析】∵MN//平面ABCD，平面PMNQ∩ 平面ABCD=PQ，MN⊂ 平面PMNQ，∴MN//PQ，
易知PD=DQ=23a，
故PQ=PD2+DQ2=22a3.
能力强化练
单选题每小题4分，多选题每小题5分，解答题每题10分，共23分.
11．（2025·辽宁沈阳模拟）在四棱锥P−ABCD中，E，F分别是线段AP，BC上的点，AEEP=BFFC，则下列条件中可以确定EF//平面PCD的是（ ）
A. AB//CDB. AD//BC
C. BC//平面PADD. AB=AD，BC=CD
【答案】A
【解析】连接AC,在AC上取点M，满足AMMC=AEEP，连接EM,MF,则有EM//PC,
又EM⊄ 平面PCD，PC⊂ 平面PCD，所以EM//平面PCD，要使EF//平面PCD，则需平面EMF//平面PCD，则MF//CD.
对于A，在四边形ABCD中，由AB//CD，AMMC=AEEP=BFFC，可得MF//AB//CD，故A符合要求；
对于B，由AD//BC，不能得出AB//CD,从而不能得出MF//CD，故B不符合要求；
对于C，因为BC//平面PAD，BC⊂ 平面ABCD，平面ABCD∩ 平面PAD=AD，所以BC//AD，再结合B分析，可得C不符合要求；
对于D，由AB=AD，BC=CD，不能得出AB//CD，从而不能得出MF//CD，故D不符合要求.故选A.
12．（2025·黑龙江一模）如图，O是圆台上底面的圆心，A，B是圆台下底面圆周上的两个动点，MN是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面半径分别为r，R.若MN=R=2r，MN//平面OAB，且AB长度的最小值为6，则该圆台的体积为（ ）
A. 733π B. 15π C. 21π D. 183π
【答案】C
【解析】设圆台的下底面圆心为O′，连接MO′，与AB交于点C，连接ON,OO′,OC，显然ON//O′M，
由MN//平面OAB，MN⊂ 平面OO′MN，平面OO′MN∩ 平面OAB=OC，得MN//OC，则四边形OCMN为平行四边形，OC=MN=2r,CM=ON=r=12R=O′C，sin∠COO′=O′COC=12,所以∠COO′=30∘ .
易知当且仅当AB⊥O′M时，AB取得最小值6，所以3=R2−(12R)2，解得R=23，因此r=3，
在△OO′C中，OO′⊥O′C，∠COO′=30∘ ，所以圆台的高h=OO′=Rcs30∘=3，所以该圆台的体积V=13π(r2+rR+R2)h=13π×(3+6+12)×3=21π .故选C.
13．（2025·湖南长沙模拟）多选 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥A1−APD的体积为定值
B. A1P//平面ACD1
C. AP+B1P的最小值为22
D. 当A1，C，D1，P四点共面时，四面体B1PA1C1的外接球的体积为32π
【答案】ABD
【解析】对于A，因为BC1//AD1,BC1⊄ 平面ADD1A1，AD1⊂ 平面ADD1A1，所以BC1//平面ADD1A1，又P∈BC1，所以点P到平面ADD1A1的距离恒为1，又S△AA1D为定值，故VA1−APD=VP−AA1D=13S△AA1D为定值，A正确.
对于B，连接A1B（图略），因为AD1//BC1，AD1⊂ 平面ACD1，BC1⊄ 平面ACD1，所以BC1//平面ACD1，同理可知A1C1//平面ACD1，又BC1∩A1C1=C1，BC1,A1C1⊂ 平面A1C1B，所以平面A1C1B//平面ACD1，由于A1P⊂ 平面A1C1B，故A1P//平面ACD1，B正确.
对于C，展开两线段所在的平面，得矩形ABC1D1与等腰直角三角形BB1C1，连接AB1，交BC1于点P，此时AP+B1P的值最小，即AP+B1P的最小值为AB1的长，过点B1作B1N⊥AB，交AB的延长线于点N，其中AB=1,AD1=BC1=2,BN=B1N=22，故AN=1+22，由勾股定理得AB1=B1N2+AN2=12+(1+22)2=2+2，C错误.
对于D，当点P在点B处时，A1，C，D1，P四点共面，四面体B1PA1C1的外接球即为正方体的外接球，故外接球的半径为12+12+122=32，所以该球的体积为43π×(32)3=32π ，D正确.故选ABD.
14．如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点.
（1） 求证：平面MNQ//平面PCD；
（2） 在线段PD上是否存在一点E，使得MN//平面ACE？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由.
【解析】
（1） 证明：∵ 在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点，∴NQ//AB//CD，MQ//PC.
又∵NQ，MQ⊄ 平面PCD，CD，PC⊂ 平面PCD，∴NQ//平面PCD，MQ//平面PCD.
又NQ∩MQ=Q，NQ，MQ⊂ 平面MNQ，∴ 平面MNQ//平面PCD.
（2） 取PD的中点E，连接NE，CE，AE，
∵N，E，M分别是AP，PD，BC的中点，且BC//AD，∴NE//MC，
∴ 四边形MCEN是平行四边形，
∴MN//CE.
又MN⊄ 平面ACE，CE⊂ 平面ACE，
∴MN//平面ACE，此时PEPD=12.
思维创新练
15．（5分）多选 半正多面体亦称“阿基米德体”，是由边数不全相同的若干个正多边形围成的多面体.如图所示的半正多面体由6个正方形和8个正六边形围成，其也可由正八面体（由八个等边三角形围成）切割而成，也可以看作由上、下两个正四棱锥黏合后再切割而成.若此半正多面体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）
A. AB//GF
B. 若平面ABDC∩ 平面EFG=l，则CD//l
C. 该半正多面体的体积为722
D. 该半正多面体的表面积为6+123
【答案】ABD
【解析】如图所示：
对于A，易知四边形HIJL为正方形，
∴AB//GF，A正确；
对于B，∵AB//GF，AB⊄ 平面EFG，GF⊂ 平面EFG，∴AB//平面EFG，又AB⊂ 平面ABDC，且平面ABDC∩ 平面EFG=l，∴AB//l，又AB//CD，∴CD//l，B正确；
对于C，根据题意可知上、下两个大正四棱锥的所有棱长都为3，∴ 上、下两个大正四棱锥的高是边长为3的正方形HIJL的对角线的一半，即为322，∴ 一个大正四棱锥的体积为13×3×3×322=922，∵ 截去的一个小正四棱锥与大正四棱锥的相似比为1:3，∴ 一个小正四棱锥的体积为922×127=26，∴ 该半正多面体的体积为2×922−6×26=82，C错误；
对于D，根据题意可得，该半正多面体的表面积为6×12+8×6×12×1×1×32=6+123，D正确.故选ABD.