2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 059-课时作业53 空间距离（教用）

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单选题每小题2分，多选题每小题3分，填空题每小题2分，解答题每题10分，共27分.
1．已知A(−1,−1,−1)，直线l过原点且平行于a=(0,1,2)，则A到l的距离为（ ）
A. 255B. 1C. 305D. 355
【答案】C
【解析】由题意，取直线l上一点P(0,1,2)，则AP=(1,2,3)，所以A到l的距离d=
|AP|2−(AP⋅a|a|)2=
(12+22+32)−(2+612+22)2=
14−645=305.故选C.
2．已知a=(1,1,1)为平面α 的一个法向量，A(1,0,0)为α 内的一点，则点D(1,1,2)到平面α 的距离为（ ）
A. 3B. 2C. 52D. 63
【答案】A
【解析】依题意得，AD=(0,1,2)，又a=(1,1,1)为平面α 的一个法向量，所以点D到平面α 的距离d=|a⋅AD||a|=33=3.
3．已知A(0,1,0),B(2,1,0),C(−1,0,0),D(0,−1,1)，则异面直线AB与CD之间的距离是（ ）
A. 22B. 12C. 2D. 2
【答案】A
【解析】由已知得AB=(2,0,0),CD=(1,−1,1)，
设AB与CD的公垂线的方向向量为n=(x,y,z)，则n⋅AB→=2x=0,n⋅CD→=x−y+z=0,
取y=1，则n=(0,1,1)，
又AC=(−1,−1,0)，所以异面直线AB与CD之间的距离d=|AC⋅n||n|=12=22，故选A.
4．在三棱锥O−ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA=2，OB=4，OC=6，则点O到平面ABC的距离为（ ）
A. 125B. 2C. 127D. 32
【答案】C
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,6)，O(0,0,0),
则AB=(−2,4,0)，AC=(−2,0,6)，CO=(0,0,−6)，
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z)，
则AB→⋅n=−2x+4y=0,AC→⋅n=−2x+6z=0,
令x=6，则n=(6,3,2)，
所以点O到平面ABC的距离d=|CO⋅n||n|=|−12|62+32+22=127，故选C.
5．（2025·湖南长沙三模）在空间直角坐标系中，若一条直线经过点P(x0,y0,z0)，且它的一个方向向量为m=(a,b,c)(abc≠0)，则这条直线可以用方程x−x0a=y−y0b=z−z0c来表示.已知直线l的方程为x+12=y=−z+1，则点Q(2,4,−4)到直线l的距离为（ ）
A. 52B. 522C. 562D. 362
【答案】B
【解析】由题意可得直线l的一个方向向量为m=(2,1,−1)，直线l经过点P(−1,0,1)，
又Q(2,4,−4)，所以PQ=(3,4,−5)，
则点Q(2,4,−4)到直线l的距离d=|PQ|2−(PQ⋅m|m|)2=50−(156)2=522.故选B.
6．（2025·湖南邵阳模拟）多选 在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点，则（ ）
A. 点A1到直线B1E的距离是53
B. 直线FC1到直线AE的距离是305
C. 点A1到平面AB1E的距离是34
D. 直线FC1到平面AB1E的距离是13
【答案】ABD
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(1,0,1),B1(1,1,1),E(0,0,12),F(1,1,12),C1(0,1,1),A(1,0,0).
对于A,B1E=(−1,−1,−12),A1B1=(0,1,0)，所以点A1到直线B1E的距离为A1B12−(A1B1⋅B1E|B1E|)2=1−49=53，A正确；
对于B,AE=(−1,0,12),FC1=(−1,0,12),所以AE//FC1，即AE//FC1,所以直线FC1到直线AE的距离即为点F到直线AE的距离，又AE|AE|=(−255,0,55),AF=(0,1,12)，所以直线FC1到直线AE的距离为54−(510)2=305，B正确；
对于C,AB1=(0,1,1),AA1=(0,0,1)，设平面AB1E的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AB1→=y+z=0,n⋅AE→=−x+12z=0,令z=2，则n=(1,−2,2)，所以点A1到平面AB1E的距离为|AA1⋅n||n|=23，C错误；
对于D,因为AE//FC1,FC1⊄ 平面AB1E，AE⊂ 平面AB1E，所以FC1//平面AB1E，所以直线FC1到平面AB1E的距离等于C1到平面AB1E的距离，又C1B1=(1,0,0)，由C得平面AB1E的一个法向量为n=(1,−2,2)，所以C1到平面AB1E的距离为|C1B1⋅n||n|=13，即直线FC1到平面AB1E的距离为13，D正确.故选ABD.
7．若两个平行平面α 和β 分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两个平面的一个法向量为n=(−1,0,1)，则两个平行平面α ，β 间的距离是_ _ _ _ _ _ .
【答案】22
【解析】依题意知，两个平行平面α ,β 间的距离即为点O到平面β 的距离，
因为OA=(2,1,1)，所以两个平行平面α ，β 间的距离d=|n⋅OA||n|=|−1×2+0×1+1×1|(−1)2+02+12=12=22.
8．（2025·湖南衡阳三模）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱CC1上，且CE=2EC1，若AB=2，AA1=3，则点A1到平面BDE的距离为_ _ _ _ .
【答案】5
【解析】设AB,A1B1的中点分别为F,G，连接FG,FC,因为AA1⊥ 平面ABC，所以FG⊥ 平面ABC，又FB,FC⊂ 平面ABC，所以FG⊥FB,FG⊥FC，
因为△ABC是正三角形，F是AB的中点，所以FB⊥FC，所以FB,FC,FG两两垂直，
以F为坐标原点，FB,FC,FG所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
因为CE=2EC1，AB=2，AA1=3，D为AC的中点，所以B(1,0,0),D(−12,32,0),E(0,3,2),A1(−1,0,3)，
所以A1B=(2,0,−3),DB=(32,−32,0),EB=(1,−3,−2)，
设平面BDE的法向量为n=(x,y,z)，
则DB→⋅n=32x−32y=0,EB→⋅n=x−3y−2z=0,
令x=1，则n=(1,3,−1)，
所以点A1到平面BDE的距离为|A1B⋅n||n|=51+3+1=5.
9．已知在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1E=14A1C1.
（1） 求点C到直线AE的距离；
（2） 求点C到平面AED1的距离；
（3） 求异面直线CD与AE间的距离.
【解析】
9．根据正方体的性质，可以建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,4,0)，A(4,0,0)，E(3,1,4)，D1(0,0,4)，D(0,0,0)，
所以AE=(−1,1,4)，CA=(4,−4,0)，AD1=(−4,0,4),CD=(0,−4,0).
（1） 点C到直线AE的距离为
|CA|2−(AE⋅CA|AE|)2=
(42)2−(423)2=163.
（2） 设平面AED1的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅AE→=0,m⋅AD1→=0,即−x+y+4z=0,−4x+4z=0,
令z=1，则m=(1,−3,1)，
所以点C到平面AED1的距离为|CA⋅m||m|=1611=161111.
（3） 设异面直线CD与AE的公垂线的方向向量为n=(a,b,c)，
则n⋅CD→=0,n⋅AE→=0,即−4b=0,−a+b+4c=0,
令c=1，则n=(4,0,1)，所以异面直线CD与AE间的距离为|CA⋅n||n|=1617=161717.
能力强化练
单选题每小题4分，多选题每小题5分，填空题每小题4分，解答题每题10分，共33分.
10．（2025·山西太原三模）已知OA=(1,0,0)，OB=(0,1,0)，OC=(0,0,1)，OP=xOA+yOB+zOC，且x+2y+4z=4，则|OP|的最小值为（ ）
A. 233B. 42121C. 174D. 73
【答案】B
【解析】设OD=4OA，OE=2OB，则OD=(4,0,0)，OE=(0,2,0)，
因为x+2y+4z=4，所以x4+y2+z=1，
又OP=xOA+yOB+zOC=x4OD+y2OE+zOC，所以D，E，C，P四点共面，
则当OP⊥ 平面DEC时，|OP|有最小值.
由题意得CD=(4,0,−1)，CE=(0,2,−1)，
设平面DEC的法向量为m=(a,b,c)，则m⋅CD→=4a−c=0,m⋅CE→=2b−c=0,
取a=1，则m=(1,2,4)，所以O到平面DEC的距离d=|m⋅OC||m|=42121.故选B.
11．多选 在正四面体ABCD中，AB=3，点O为△ACD的重心，过点O的平面平行于AB和CD，分别交BC，BD，AD，AC于点E，F，G，H，则 （ ）
A. 四边形EFGH的周长为8
B. 四边形EFGH的面积为2
C. 点A到平面EFGH的距离为2
D. 直线AC与平面EFGH所成的角为π4
【答案】BCD
【解析】∵AB//平面EFGH,AB⊂ 平面ABC,平面ABC∩ 平面EFGH=HE,
∴AB//HE,同理可得AB//GF,CD//HG,CD//EF,∴HE//GF,HG//EF,
∴ 四边形EFGH为平行四边形，
∴HE=GF,HG=EF,
连接AO并延长，与CD交于点M（图略），则AO=23AM,又HG//CD，∴HG=23CD，∴HG=EF=2，AH=23AC,∴CH=13AC,又HE//AB,∴HE=13AB，∴HE=GF=1，∴ 四边形EFGH的周长为6，A错误.
在正四面体中,易知AB⊥CD，则HE⊥EF，∴ 四边形EFGH为矩形，
∴S四边形EFGH=2×1=2，B正确.
将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为322，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0),H(2,2,0),∴AH=(2,2，0)，连接MN与AB交于点P,∵AB//HE,HG//CD//MN,HE∩HG=H,AB∩MN=P,
∴ 平面EFGH//平面ANBM,∴ 平面EFGH的一个法向量为n=(0,1,0),
∴ 点A到平面EFGH的距离d=|AH⋅n||n|=21=2，C正确.
易知AC与平面ANBM所成的角为π4，则AC与平面EFGH所成的角也为π4，D正确.故选BCD.
12．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面ADD1A1上的动点,且PC1//平面AEF,则点P的轨迹的长度为_ _ _ _ ，点P到直线AF的距离的最小值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】2； 223
【解析】以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0),E(2,1,0),F(2,2,1),C1(2,2,2),所以AE=(2,1,0),EF=(0,1,1),AF=(2,2,1),
设平面AEF的法向量为m
=(x1,y1,z1),
则m⋅AE→=2x1+y1=0,m⋅EF→=y1+z1=0,取x1=1,可得m=(1,−2,2),
因为P是侧面ADD1A1上的动点,所以设点P的坐标为(0,y,z)(0≤y≤2,0≤z≤2),所以C1P=(−2,y−2,z−2),
因为PC1//平面AEF,所以C1P⊥m,即C1P⋅m=−2−2(y−2)+2(z−2)=0,可得z=y+1,
分别取线段A1D1,AA1的中点M(0,1,2),N(0,0,1),所以点P的轨迹为线段MN,故点P的轨迹的长度为|MN|=02+(0−1)2+(1−2)2=2.
由0≤y≤2,0≤z≤2,z=y+1,可得0≤y≤1,
因为A(0,0,0),P(0,y,y+1),所以AP=(0,y,y+1),所以cs∠PAF=AP⋅AF|AP|⋅|AF|=3y+1y2+(y+1)2⋅3=3y+132y2+2y+1,
所以点P到直线AF的距离d=|AP|sin∠PAF=|AP|1−cs2∠PAF=
2y2+2y+1⋅1−(3y+1)29(2y2+2y+1)=
9y2+12y+83=13(3y+2)2+4,
因为函数f(y)=(3y+2)2+4在[0,1]上单调递增,所以当y=0时,d取得最小值,为223.
13．（2026·江苏南京七校联考）如图，四棱锥P−ABCD，PA⊥ 平面ABCD，AD=2BC=2AB=2，AB⊥BC，AD//BC.若点E满足PE=13PA，平面BCE交线段PD于点F.
（1） 求证：EF//BC；
（2） 若平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为66，求点D到平面BCE的距离.
【解析】
（1） 证明：∵AD//BC，AD⊂ 平面PAD，BC⊄ 平面PAD，∴BC//平面PAD，
又BC⊂ 平面BCE，且平面BCE∩ 平面PAD=EF，∴BC//EF.
（2） ∵PA⊥ 平面ABCD，AB⊥AD，∴PA,AB,AD两两垂直，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
设AP=ℎ(ℎ>0)，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,ℎ)，∴PC=(1,1,−ℎ)，CD=(−1,1,0)，
设平面PCD的法向量为m=(x0,y0,z0)，则PC⋅m=0，CD⋅m=0，
∴x0+y0−ℎ⋅z0=0,−x0+y0=0,取x0=1，则m=(1,1,2ℎ)，
易得平面PAB的一个法向量为n=(0,1,0)，
∴|cs⟨m,n⟩|=11+1+4ℎ2=66，解得ℎ=1（负值舍去），
∴P(0,0,1)，E(0,0,23)，则BE=(−1,0,23)，BC=(0,1,0)，
设平面BCE的法向量为k=(x1,y1,z1)，则BC⋅k=0，BE⋅k=0，
∴y1=0,−x1+23z1=0,取x1=1，则k=(1,0,32)，
∴ 点D到平面BCE的距离d=|k⋅CD||k|=11+94=21313.
14．（2025·福建泉州一模）如图，四棱台ABCD−EFGH中，底面ABCD是边长为4的菱形，HD=HG=2,AE=22，FA=FC.
（1） 证明：HD//平面ACF；
（2） 证明：HD⊥ 平面ABCD；
（3） 若该四棱台的体积等于2833，且FA>FB，求直线BC到平面AFG的距离.
【解析】
（1） 证明：连接BD，与AC交于点I，则I为AC,BD的中点，连接FI，HF，
易知平面ABCD//平面EFGH，
又平面BDHF∩ 平面ABCD=BD，平面BDHF∩ 平面EFGH=HF，所以BD//HF，
因为HGDC=12，所以FHBD=12，
因为I为AC,BD的中点，所以FH=DI=12BD，所以四边形DHFI为平行四边形，故HD//FI，
又IF⊂ 平面ACF，HD⊄ 平面ACF,所以HD//平面ACF.
（2） 证明：取DA的中点J，连接HJ，
因为EH=HG=2，AJ=12AD=2，EH//AJ，所以四边形AJHE为平行四边形，所以HJ=EA=22,DJ=HD=2，
所以DH2+DJ2=HJ2，所以HD⊥AD.
由（1）知AI=IC，
又FA=FC，所以FI⊥AC，
又FI//HD，所以HD⊥AC，
又AC,AD⊂ 平面ABCD,AC∩AD=A，所以HD⊥ 平面ABCD.
（3） S菱形ABCD=2×12×AB×AD×sin∠BAD=16sin∠BAD，
因为在四棱台ABCD−EFGH中，EH=12AD，所以S菱形EFGH=14S菱形ABCD=4sin∠BAD，
则四棱台ABCD−EFGH的体积V=13(S菱形ABCD+S菱形ABCDS菱形EFGH+S菱形EFGH)⋅HD=13×28sin∠BAD×2=2833，
解得sin∠BAD=32，
因为FA>FB,IA=FA2−FI2,IB=FB2−FI2，所以IA>IB，故tan∠IAB=IBIA