2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点15不等式证明方法(12大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点15不等式证明方法(12大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共11页。试卷主要包含了常用导数放缩，对数平均不等式等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc202365034" 01 重点解读 PAGEREF _Tc202365034 \h 2
\l "_Tc202365035" 02 思维升华 PAGEREF _Tc202365035 \h 3
\l "_Tc202365036" 03 典型例题 PAGEREF _Tc202365036 \h 4
\l "_Tc202365037" 题型一：直接法（转化为最值问题） PAGEREF _Tc202365037 \h 4
\l "_Tc202365038" 题型二：指对切线放缩 PAGEREF _Tc202365038 \h 5
\l "_Tc202365039" 题型三：指对增强放缩 PAGEREF _Tc202365039 \h 6
\l "_Tc202365040" 题型四：对称化构造法(和型) PAGEREF _Tc202365040 \h 7
\l "_Tc202365041" 题型五：对称化构造法(积型) PAGEREF _Tc202365041 \h 8
\l "_Tc202365042" 题型六：换元构造辅助函数 PAGEREF _Tc202365042 \h 9
\l "_Tc202365043" 题型七：比值代换 PAGEREF _Tc202365043 \h 10
\l "_Tc202365044" 题型八：对数单身狗，指数找朋友 PAGEREF _Tc202365044 \h 12
\l "_Tc202365045" 题型九：主元法 PAGEREF _Tc202365045 \h 13
\l "_Tc202365046" 题型十：与数列结合的不等式问题 PAGEREF _Tc202365046 \h 14
\l "_Tc202365047" 题型十一：凹凸反转 PAGEREF _Tc202365047 \h 16
\l "_Tc202365048" 题型十二：拐点偏移问题 PAGEREF _Tc202365048 \h 17
\l "_Tc202365049" 04 课时精练 PAGEREF _Tc202365049 \h 19
在高考数学考纲里，利用导数证明不等式是导数应用板块的关键内容，着重考查学生的逻辑推理、运算求解以及综合运用知识的能力。
考纲要求学生掌握构造合适函数的方法，能依据所证不等式的特征，巧妙构建函数模型。熟练运用求导公式与法则，准确求出函数的导数，通过分析导数的正负性，精准判断函数的单调性。进而依据单调性确定函数在特定区间上的最值，利用最值与不等式的关系完成证明。
此考点常与函数、方程等知识综合考查，难度较高。备考时，学生需深入理解导数的本质，多做针对性练习，总结常见题型和解题策略，提升思维的严谨性与灵活性，以应对高考中的此类难题。
1、常用导数放缩
①(切点横坐标是，)
②
③(切点横坐标是，)
④
⑤
⑥
2、利用导数证明不等式是高中数学的重要方法，常见方法有以下几种：
（1）构造函数法：将不等式变形，构造新函数。如证明，可设，对求导，根据导数正负判断其单调性。若在某区间单调递增，且能求出在该区间端点值或极限值大于0，则可证不等式成立。
（2）放缩构造函数法：当直接构造函数难以处理时，对不等式进行适当放缩，再构造函数。
（3）多次求导法：对于一些复杂函数，一次求导难以判断单调性，需多次求导。通过多次分析导数的变化情况，确定函数的单调性与极值，进而证明不等式。
3、对(指)数平均不等式
对数平均不等式：两个正数的对数平均，有如下关系：，即几何平均数对数平均数算术平均数．
指数平均不等式：设，，则，有如下关系：．
题型一：直接法（转化为最值问题）
【例1】（2025·江西·模拟预测）已知函数．
(1)当时，证明：有且仅有一个零点；
(2)若曲线与相切．
（ⅰ）求a；
（ⅱ）当时，证明：．
【变式1-1】（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，求证：对任意的，恒成立；
【变式1-2】已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)当时，判断函数在区间上的单调性；
(2)令，若函数在区间上存在极值，设极值点为，证明：.
【变式1-3】已知函数．
(1)求的零点及；
(2)求的极值；
(3)求证：．
题型二：指对切线放缩
【例2】（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数，，为的导函数.
(1)若函数的图象与的图象的交点的横坐标，求实数的取值范围；
(2)当时，证明：.
【变式2-1】（2025·江苏盐城·模拟预测）设函数.
(1)求在处的切线方程；
(2)若恒成立，求的最小值；
(3)求证：.
【变式2-2】设函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：.
题型三：指对增强放缩
【例3】（2025·山东·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线方程为．
(1)求实数的值
(2)证明：．
【变式3-1】（2025·湖南岳阳·三模）已知函数（）．
(1)设，当时，，求的取值范围．
(2)当时，
①写出曲线的两条相互垂直的切线方程，并说明理由；
②设，数列满足，，证明：．
【变式3-2】已知函数．
(1)当时，求的最小值．
(2)求证：．
【变式3-3】当时，求证：．
题型四：对称化构造法(和型)
【例4】已知函数，，是自然对数的底数.
(1)讨论函数的极值；
(2)当时，若，（其中）满足，求证：.
【变式4-1】已知函数．
(1)若有两个零点，且，求的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求证：．
【变式4-2】已知函数，为实数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：.
【变式4-3】已知函数．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若，且，求证：．
题型五：对称化构造法(积型)
【例5】已知函数，为常数，若函数有两个零点，试证明：
【变式5-1】定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”．
(1)若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围．
(2)若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”．
①求b的取值范围；
②证明：．
【变式5-2】已知函数，直线是曲线的一条切线．
(1)求的值，并讨论函数的单调性；
(2)若，其中，证明：．
【变式5-3】（2025·高三·山东潍坊·期末）已知函数，.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若，求的取值范围；
(3)若有两个实数解，，证明：.
题型六：换元构造辅助函数
【例6】已知函数在处的切线与直线平行
（1）求实数的值，并求的极值；
（2）若方程有两个不相等的实根，，求证：.
【变式6-1】已知函数，其中为常数且．
（1）若曲线与直线相切，求的值；
（2）设，为两个不相等的正数，若，证明：．
【变式6-2】已知.
(1)求的单调区间；
(2)设，是两个不相等的正数，证明：
【变式6-3】已知函数．
(1)讨论函数的单调区间；
(2)当时，证明：；
(3)函数有两个零点、，求证：．
【变式6-4】已知函数.
(1)若有两个零点，求的取值范围；
(2)若方程有两个实数根，且，证明：.
【变式6-5】已知函数．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若有2个不同的零点，求证：．
题型七：比值代换
【例7】已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若有两个零点，且，证明：.
【变式7-1】已知函数.
(1)讨论导函数的零点个数情况；
(2)若有两个不同极值点、.当时，证明：.
【变式7-2】曲率是指曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲率越大，表示曲线在该点处的弯曲程度越大．记，定义曲线在点处的曲率为．
(1)比较曲线在点和处弯曲程度的大小；
(2)若函数的图象上存在两个不同的点、，使得曲线在、处的曲率均为．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
【变式7-3】（2025·四川巴中·二模）已知函数，函数是定义在的可导函数，其导数为，满足.
(1)令函数，求证：在上是减函数；
(2)若在上单调递减，求实数取值范围；
(3)对任意正数，试比较与的大小.
题型八：对数单身狗，指数找朋友
【例8】（2025·甘肃·模拟预测）已知函数.
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)求的零点个数；
(3)证明：.
【变式8-1】已知函数，.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)已知的导函数在上存在零点，求证：当时，.
【变式8-2】（2024·陕西榆林·三模）已知函数的导函数为.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：.
【变式8-3】（2024·青海·模拟预测）已知质数，且曲线在点处的切线方程为．
(1)求m的值；
(2)证明：对一切，都有．
题型九：主元法
【例9】已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围；
(3)若是两个不相等的正数，证明：.
【变式9-1】（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数的定义域为，若在上单调递增，则称为“强增函数”.
(1)若是“强增函数”，求的取值范围；
(2)已知，请判断的导数在上的单调性，并说明理由
(3)已知，，，.证明：.
参考结论：当时，.
【变式9-2】（2025·江苏徐州·模拟预测）给定函数，若过点P恰能作曲线的k条切线，则称P是的“k秩点”，切点的横坐标为的“k秩数”．
(1)若是函数的“k秩点”，求其“k秩数”；
(2)证明：是函数的“0秩点”；
(3)记使函数的“1秩数”小于0的“1秩点”构成的集合为．证明：对，，且，有．
【变式9-3】（2025·海南海口·模拟预测）已知函数，当时，的切线斜率．
(1)求的单调区间；
(2)已知，若，求证：若，则．
题型十：与数列结合的不等式问题
【例10】（2025·辽宁鞍山·一模）设有两个极值点，且．
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：；
(3)证明：．
【变式10-1】（2025·河北·模拟预测）函数（或级数）逼近论是函数（或级数）论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数（或级数）的近似表示问题.将一函数用较简单的函数（或级数）来找到最佳逼近，且所产生的误差可以有量化的表征——这种处理复杂函数（或级数）的方法，我们称之为函数（或级数）逼近.用函数去逼近，在处的值称为逼近估差.法国数学家亨利・帕德用有理函数去逼近一些常见函数，有较高的精确度.比如对数函数两个常见的逼近函数为：，
(1)证明：时，；
(2)对时，用分别去逼近和的逼近估差分别为，.证明：
①；
②，必有一数小于0.02.
【变式10-2】（2025·浙江绍兴·二模）已知数列满足，且.为等差数列，其前项的和为，有．
(1)设．
（i）求，并证明为等差数列．
（ii）在的前5项中随机取3项，设其小于的项数为X．求X的分布列与数学期望．
(2)证明：
【变式10-3】（2025·湖南·模拟预测）已知数列是各项均为正整数的递增数列，，且.
(1)求和；
(2)证明：；
(3)设，证明：.
题型十一：凹凸反转
【例11】已知函数，证明：当时，.
【变式11-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数．
(1)求的最大值；
(2)证明：当时，．
【变式11-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)若函数的最小值与的最小值之和为，求的值．
(2)若，，证明：．
题型十二：拐点偏移问题
【例12】已知函数，，，令．
(1)，研究函数的单调性；
(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；
(3)，正实数，满足，证明：．
【变式12-1】已知函数，.
（1）若，求函数的单调递减区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；
（3）若，正实数，满足，证明：.
【变式12-2】（2025·高三�河北�期中）已知函数（）.
(1)讨论的单调性；
(2)若，且正数满足，证明.
【变式12-3】已知函数的导函数为.
（1）求的最小值；
（2）若，实数、满足且，证明：.
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)求证：.
2．（2025·内蒙古包头·模拟预测）设函数，其中．
(1)当时，判断函数的单调性：
(2)若对任意，函数均有2个零点，求的取值范围：
(3)设且，证明：．
3．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，若存在数列满足，，.称是“的关联数列”，称为数列的“关联函数”；
(1)若数列的“关联函数”，求最小正数A的值，使数列为等差数列；
(2)若某数列的“关联函数”.证明：当时，；
(3)若数列的“关联函数”，求证：
4．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知，．
(1)判断的单调性；
(2)若函数图象在处切线斜率为，求；
(3)求证：．
5．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；
(2)若函数在区间上单调递增．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：，．
6．（2025·云南·模拟预测）设函数．
(1)证明：；
(2)设函数的导数为，，当时，函数存在一个极值点，求实数a的取值范围；
(3)证明：当时，．
7．（2025·河南新乡·模拟预测）设函数定义在区间上，是函数的导函数，，是函数的两个极值点，且，
(1)设，求的极值；
(2)证明：
8．已知函数的图象与轴相切于原点．
(1)求实数的值；
(2)若，证明：当时，．
9．（2025·安徽·模拟预测）已知函数
(1)若，求的单调区间；
(2)若，证明：当时，.
10．（2025·安徽合肥·三模）已知函数
(1)证明不等式：；
(2)记，证明：；
(3)已知，证明：.
11．（2025·山东聊城·三模）已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，（i）求的最小值；（ii）证明：．
12．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数是函数的导函数，且．
(1)求；
(2)若在区间内单调递增，求实数的取值范围；
(3)当时，证明：．
13．（2025·高三·上海杨浦·开学考试）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点.
(1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；
(2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
14．已知函数．
(1)若函数有两个零点，求的取值范围；
(2)设是函数的两个极值点，证明：．
15．已知函数和，若存在两个实数，且，使得，，证明：．
16．已知函数．
(1)求函数的最值；
(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：．
17．已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，且，证明：．
18．已知．
(1)不等式对任意恒成立，求的取值范围；
(2)当有两个极值点时，求证：．
19．已知函数，，，令．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；
（Ⅲ）若，且正实数满足，求证：．
20．设函数
(1)分析的单调性和极值；
(2)设，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围；
(3)若，且满足时，证明：.
培优点15 不等式证明方法
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc202365034" 01 重点解读 PAGEREF _Tc202365034 \h 3
\l "_Tc202365035" 02 思维升华 PAGEREF _Tc202365035 \h 4
\l "_Tc202365036" 03 典型例题 PAGEREF _Tc202365036 \h 5
\l "_Tc202365037" 题型一：直接法（转化为最值问题） PAGEREF _Tc202365037 \h 5
\l "_Tc202365038" 题型二：指对切线放缩 PAGEREF _Tc202365038 \h 8
\l "_Tc202365039" 题型三：指对增强放缩 PAGEREF _Tc202365039 \h 12
\l "_Tc202365040" 题型四：对称化构造法(和型) PAGEREF _Tc202365040 \h 16
\l "_Tc202365041" 题型五：对称化构造法(积型) PAGEREF _Tc202365041 \h 20
\l "_Tc202365042" 题型六：换元构造辅助函数 PAGEREF _Tc202365042 \h 26
\l "_Tc202365043" 题型七：比值代换 PAGEREF _Tc202365043 \h 34
\l "_Tc202365044" 题型八：对数单身狗，指数找朋友 PAGEREF _Tc202365044 \h 39
\l "_Tc202365045" 题型九：主元法 PAGEREF _Tc202365045 \h 44
\l "_Tc202365046" 题型十：与数列结合的不等式问题 PAGEREF _Tc202365046 \h 50
\l "_Tc202365047" 题型十一：凹凸反转 PAGEREF _Tc202365047 \h 57
\l "_Tc202365048" 题型十二：拐点偏移问题 PAGEREF _Tc202365048 \h 59
\l "_Tc202365049" 04 课时精练 PAGEREF _Tc202365049 \h 65
在高考数学考纲里，利用导数证明不等式是导数应用板块的关键内容，着重考查学生的逻辑推理、运算求解以及综合运用知识的能力。
考纲要求学生掌握构造合适函数的方法，能依据所证不等式的特征，巧妙构建函数模型。熟练运用求导公式与法则，准确求出函数的导数，通过分析导数的正负性，精准判断函数的单调性。进而依据单调性确定函数在特定区间上的最值，利用最值与不等式的关系完成证明。
此考点常与函数、方程等知识综合考查，难度较高。备考时，学生需深入理解导数的本质，多做针对性练习，总结常见题型和解题策略，提升思维的严谨性与灵活性，以应对高考中的此类难题。
1、常用导数放缩
①(切点横坐标是，)
②
③(切点横坐标是，)
④
⑤
⑥
2、利用导数证明不等式是高中数学的重要方法，常见方法有以下几种：
（1）构造函数法：将不等式变形，构造新函数。如证明，可设，对求导，根据导数正负判断其单调性。若在某区间单调递增，且能求出在该区间端点值或极限值大于0，则可证不等式成立。
（2）放缩构造函数法：当直接构造函数难以处理时，对不等式进行适当放缩，再构造函数。
（3）多次求导法：对于一些复杂函数，一次求导难以判断单调性，需多次求导。通过多次分析导数的变化情况，确定函数的单调性与极值，进而证明不等式。
3、对(指)数平均不等式
对数平均不等式：两个正数的对数平均，有如下关系：，即几何平均数对数平均数算术平均数．
指数平均不等式：设，，则，有如下关系：．
题型一：直接法（转化为最值问题）
【例1】（2025·江西·模拟预测）已知函数．
(1)当时，证明：有且仅有一个零点；
(2)若曲线与相切．
（ⅰ）求a；
（ⅱ）当时，证明：．
【解析】（1）当时，，显然是增函数，
而，故在区间上有零点，
结合的单调性可知，在R上有且仅有一个零点．
（2）（ⅰ）不妨记切点为，则，
由，
故切线方程为，
即，
令其与重合，故，
则，
若，显然有，这与题设条件矛盾，
若，由可知二者不在处相切，矛盾，
故，于是，经验证符合题意，
综上，；
（ⅱ）设，则，
由可知，设，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，故，
于是．
【变式1-1】（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，求证：对任意的，恒成立；
【解析】（1）当时，，则．
令，得；令，得．
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是．
（2）证明：当时，．
要证，即证．
构建，则．
构建，则．
所以函数在上单调递增，则，即，
可知函数在上单调递增，
则，即．
【变式1-2】已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)当时，判断函数在区间上的单调性；
(2)令，若函数在区间上存在极值，设极值点为，证明：.
【解析】（1）时，.
显然，在区间上单调递增，
所以，即，
所以在区间上单调递减.
（2）.
因为在区间上存在极值点，
所以，可得，
此时，将代入得
.
要证明，即证明，
移项可得.
设，
因为，所以，所以成立.
所以得证.
【变式1-3】已知函数．
(1)求的零点及；
(2)求的极值；
(3)求证：．
【解析】（1）令，解得的零点为0；
，
（2），
在上恒成立，
为上的增函数．
又，当时，为减函数；
当时，为增函数．
当时，取极小值．
（3）要证，即证：当时，；
当时，．
令，
在上恒成立，
为上的增函数．
又，当时，，即；
当时，，即．
当时，显然成立．
．
题型二：指对切线放缩
【例2】（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数，，为的导函数.
(1)若函数的图象与的图象的交点的横坐标，求实数的取值范围；
(2)当时，证明：.
【解析】（1）因为，，
所以.
令，，
则，
所以在上单调递减.
由题意知方程在上有根，所以，且，
即解得，
即实数的取值范围是.
（2）当时，，.
令，，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以，
所以.
令，则问题转化为证当时，.
，令，则，等号不恒成立，
所以在上单调递减.
又因为，所以当时，，即，
所以在上单调递减.
又因为，所以当时，，
所以，即得证.
【变式2-1】（2025·江苏盐城·模拟预测）设函数.
(1)求在处的切线方程；
(2)若恒成立，求的最小值；
(3)求证：.
【解析】（1）由已知，
则，
则，
又，
所以函数在处的切线方程为，
即；
（2）由已知，恒成立，
则对恒成立，
设，，
则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以，
所以，
即的最小值为；
（3）由（2）可知时，，
又，所以，
则时，，
设，，则，
设，则，
所以当时，恒成立，
所以在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
即，
所以，，
即，
综上所述.
【变式2-2】设函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：.
【解析】（1）由函数可得
令，解得或.
当时，；当时，；
当时，.
故在和上单调递减，在上单调递增.
（2）=
当时，，
要证，即证>.
设则
当时，则在上单调递增，
因为
当时，，，
故只需证明.
令，
则
当时，单调递减；
当时，单调递增，
故，
则在上成立，
故，即成立.
题型三：指对增强放缩
【例3】（2025·山东·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线方程为．
(1)求实数的值
(2)证明：．
【解析】（1）由题意可知，，
因为，所以，
所以，
解得；
（2）设，
，
所以在上单调递增 且，
所以当时，单调递减
当时，，单调递增
所以，所以
设，所以，
在上单调递减，在上单调递增 ，
所以，所以 ，
又因为与等号成立的条件不一致，
所以．
【变式3-1】（2025·湖南岳阳·三模）已知函数（）．
(1)设，当时，，求的取值范围．
(2)当时，
①写出曲线的两条相互垂直的切线方程，并说明理由；
②设，数列满足，，证明：．
【解析】（1）设，
从而原题条件等价于恒成立，
求导得，
若，即，此时恒成立，
所以在上单调递减，，
所以，解得，
当，即时，，
，
此时在单调递增，在上单调递减，
故，
所以，该方程组无解，
综上所述，所求为；
（2）①当时，，
求导得，因为函数的值域是，
所以函数的值域是，
所以函数的值域是，
所以函数的值域是，
而与的交集是，
所以当的某一条切线斜率时，与该切线垂直的直线的斜率也满足，
不妨取，则，
解得，，
故曲线的两条相互垂直的切线方程可以为，即；
②当时，，（因为）
现在利用数学归纳法证明，设当时，命题成立，
即，
现在来证明两个不等式：
第一个不等式为：.
证明过程如下：设，求导得，
，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，从而不等式成立，
第二个不等式为：，令，
求导得，
所以在上单调递增，所以，
从而不等式成立，
现在来证明，显然，
现在设时，，
则，
所以，从而，
所以由不等式可知，，
另一方面，
想要证明，只需证明，
而由假设有，
所以，
所以只需证明，即只需证明，
即只需证明，而，故前者恒成立，
综上所述，命题得证.
【变式3-2】已知函数．
(1)当时，求的最小值．
(2)求证：．
【解析】（1）当时，，求导得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
从而．
（2）由（1）知，即有，
要证，即证，
综上，显然是成立的，结论得证．
【变式3-3】当时，求证：．
【解析】因为，所以只需证明．
令，
因为，故只需研究时的情况．
①利用不等式，则有，
故．
②构造函数，则，
因此单调递减，从而．
利用不等式，
则有．
综上可知，即有．
题型四：对称化构造法(和型)
【例4】已知函数，，是自然对数的底数.
(1)讨论函数的极值；
(2)当时，若，（其中）满足，求证：.
【解析】（1）求导得，
当时，恒成立，此时函数在上单调递增，
此时函数无极值；
当时，，，
所以在单调递增，在单调递减，
此时极大值，无极小值.
综上所述，时，无极值，当时，极大值，无极小值.
（2）当时，
，
在单调递增，在单调递减，
又且，
∴要证，即证，
即证，即证，
设（），
，
∴在单调递增，又，
∴，又，
∴，∴.
【变式4-1】已知函数．
(1)若有两个零点，且，求的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求证：．
【解析】（1），
当时，，当时，，
故在上为单调递减，在上为单调递增，
因为有两个零点，故，故.
当时，，而，
设，则，故在上为增函数，
故，故，
而，故当时，确有两个实数根，
综上，.
（2）由（1）可得，
先证明：，即证，
而，故即证，
而，故即证，
即证，而，
故即证：，
设，则，
设，则，
故在上为减函数，故，
故在上为增函数，故即成立，
故.
设，则，
故在上为增函数，故，
故，故，
故 .
【变式4-2】已知函数，为实数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：.
【解析】（1）当时，，，
，故，
故函数在处的切线方程为，即；
（2）定义域为，
，
令，解得，令，解得，
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
（3）由题意得，解得，
故，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
可知函数在处取得极值，故符合题意，
因为，，
令，，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且当时，恒成立，，当时，，
画出的图象如下：
故，
令，，
，
因为，所以，，
故在上单调递减，
又，故在上恒成立，
即，，
因为，所以，所以，
其中，故，
其中，，在上单调递增，
所以，即.
【变式4-3】已知函数．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若，且，求证：．
【解析】（1）因为，其中，则，
令，解得，当变化时，、的变化情况如下表：
所以，的增区间为，减区间为.
故函数在处取得极大值，无极小值.
（2）构造辅助函数，，
则，
当时，，，则，则，
所以，在上单调递增，当时，，
故当时，，（*）
由，，
因为函数的增区间为，减区间为，
可设，将代入（*）式可得，
又，所以，．
又，，而在上单调递增，
所以，，即．
题型五：对称化构造法(积型)
【例5】已知函数，为常数，若函数有两个零点，试证明：
【解析】法一：消参转化成无参数问题：
，
是方程的两根，也是方程的两根，
则是的两根，
设，，则，
从而，
由，，
得，化简的，
设，令，则，
所以，则，则，
故要证，即证，
设，则，
所以在上单调递增，则，
所以，则，
所以，即，
所以
法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数：
不妨设，
∵，∴，
∴，欲证明，即证.
∵，∴即证，
∴原命题等价于证明，即证：，
令，构造，
则，
所以在上单调递增，又，
，
，即
法三：直接换元构造新函数：
由已知，得，
设，
则，
则，
故，
要证，即证，
令，
则，
所以在上单调递增，又，
，所以，
所以
【变式5-1】定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”．
(1)若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围．
(2)若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”．
①求b的取值范围；
②证明：．
【解析】（1）由与为“契合函数”，得，使
，令，依题意，方程有唯一解，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，则，
当时，，时，，，
又和只有一个“契合点”，则直线与函数的图象只有1个交点，则或，
所以实数a的取值范围是.
（2）①由与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”，
得存在，使，
即关于的方程有两个相异正根，令函数，
求导得，
由，得，得当时，；当时，，
则函数在上递增，在上递减，则，
当从大于0的方向趋近于0时，；当时，，
因此当时，直线与函数的图象有两个不同交点，
所以b的取值范围是.
②由（1）知，当时，，令，
求导得，
令，求导得，
当时，，函数在上单调递减，，，
函数在上单调递减，，因此当时，，
而，则，又，于是，
又，函数在上递减，则，
所以.
【变式5-2】已知函数，直线是曲线的一条切线．
(1)求的值，并讨论函数的单调性；
(2)若，其中，证明：．
【解析】（1）设直线与曲线相切于点，
，
又，即，
设，则，在上单调递增，
又，有唯一零点，
，解得，
，
则当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）知，
当时，；当时，，
，
要证，只需证．在上单调递减，
只需证，又，
则只需证对任意恒成立．
设，
则，
设，则，
在上单调递减，．
又当时，，
在上单调递增，
，即在时恒成立，
又．故原不等式得证．
【变式5-3】（2025·高三·山东潍坊·期末）已知函数，.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若，求的取值范围；
(3)若有两个实数解，，证明：.
【解析】（1），，，
所以在处的切线方程为，
即；
（2）由可知，，，
即在上恒成立，
设，，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增，
所以时，取得最小值，最小值为，
由题意知，即，故的取值范围为；
（3）方程有两实数解，，
即有两实数解，不妨设，
由（2）知方程要有两实数解，则，即，
同时，，，
，
则，在单调递减，
欲证，即证，，
等价于，即，
等价于，
整理得①，
令，①式为，
又在单调递增，
故①式等价于，即，
令，，
当时，，在单调递增，
又，，即，
所以，则.
题型六：换元构造辅助函数
【例6】已知函数在处的切线与直线平行
（1）求实数的值，并求的极值；
（2）若方程有两个不相等的实根，，求证：.
【解析】（1）函数的定义域为，，
由题意知，
，令，则，
当时，；时，.
的极小值为
（2）由（1）知，由得，
即，
所以.
，不妨设
令，，
则原题转化为有两个实数根，，
又，令，得；令，得，
在上单调递减，在上单调递增，
又时，，，，
由图象可知，，.
设，
则.
当时，，则
在上单调递减.
又
时，，得到，即，
又，，
又，则，且，在上单调递增，
，即，即.
【变式6-1】已知函数，其中为常数且．
（1）若曲线与直线相切，求的值；
（2）设，为两个不相等的正数，若，证明：．
【解析】（1）（）
因为，由，得．则在内单调递减，在内单调递增，所以为的唯一极值点
因为曲线与直线相切，则，即
因为，则
设，则，所以在内单调递增
因为，所以
（2）不妨设，因为，则，即，所以从而所证不等式化为．
因为，则不等式再化为
，即，
即，即
令（），则只要证，即证
设，则．当时，，
则在内单调递增，所以，故原不等式成立
【变式6-2】已知.
(1)求的单调区间；
(2)设，是两个不相等的正数，证明：
【解析】（1）由，，得，
设，，
则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以，
所以的单调递增区间为，无递减区间.
（2）证明：不妨设，因为，
又，
所以，
设，则
.
设，，
因为，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，
所以，
所以，即.
【变式6-3】已知函数．
(1)讨论函数的单调区间；
(2)当时，证明：；
(3)函数有两个零点、，求证：．
【解析】（1）函数的定义域为，
，
当时，对任意的，，
由可得，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为；
当时，由可得，由可得或，
此时函数的减区间为，增区间为、；
当时，对任意的，，
此时函数的增区间为；
当时，由可得，由可得或，
此时，函数的减区间为，增区间为、.
综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为；
当时，函数的减区间为，增区间为、；
当时，的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为、.
（2）当时，，
即证，
令，即证，即证，
因为，则函数在上单调递增，
当时，；当时，，
所以函数的值域为，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以函数的减区间为，增区间为，则，
故，即，故原不等式得证.
（3），
因为函数有两个零点、，不妨设，
则，所以，，
整理可得，即，
要证，即证，
即证，
令，即证，
令，其中，则，
所以函数在上为增函数，则，
即，即，故原不等式得证.
【变式6-4】已知函数.
(1)若有两个零点，求的取值范围；
(2)若方程有两个实数根，且，证明：.
【解析】（1）易知函数的定义域为，
当时，，在上无零点，与题意不符，
当时，由，得，令，
所以若有两个零点，则直线与函数的图象有两个不同的交点，
易得，令，得，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减，所以，
又，当时，，所以函数的大致图象如图所示，
由图可知，当，即时，直线与函数的图象有两个不同的交点，
所以实数的取值范围是.
（2）由，得，
令，则，易得，
所以函数在上单调递增，
令，则关于的方程有两个实数根，且，
要证，即证，即证，即证，
由已知得，所以，所以，
不妨设，即证，
即证，令，即证，其中，
构造函数，则，
所以函数在上单调递增，所以，故原不等式得证.
【变式6-5】已知函数．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若有2个不同的零点，求证：．
【解析】（1）因为函数的定义域为，所以成立，等价于成立.
令，则，
令，则，所以在内单调递减，
又因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以在处取极大值也是最大值.
因此，即实数的取值范围为.
（2）有2个不同的零点等价于有2个不同的实数根.
令，则，当时，解得.
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取极大值为.
又因为，当时，，当时，.
且时，.
所以，且.
因为是方程的2个不同实数根，即.
将两式相除得，
令，则，，变形得，.
又因为，，因此要证，只需证.
因为，所以只需证，即证.
因为，即证.
令，则，
所以在上单调递增，，
即当时，成立，命题得证.
题型七：比值代换
【例7】已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若有两个零点，且，证明：.
【解析】（1）当时，，
曲线在处切线的斜率为，
又切线方程为，
即曲线在处的切线方程为；
（2）若有两个零点，
则，
得.
，令，则，
故，
则，
，
令，则，
令，则，
在上单调递增，
，
，则在上单调递增，
，
故.
【变式7-1】已知函数.
(1)讨论导函数的零点个数情况；
(2)若有两个不同极值点、.当时，证明：.
【解析】（1）因为函数的定义域为，
且，由可得，
令，其中，则，
由可得，列表如下：
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，的极小值为，
且当时，；当时，.
如下图所示：
当时，即当时，直线与函数只有一个公共点，
当时，即当时，直线与函数有两个公共点，
当时，即当时，直线与函数无交点.
综上所述，当时，函数只有一个零点；
当时，函数有两个零点；
当时，函数无零点.
（2）由，即，得，
要证明，只需证明，
而，
令，则，欲证明，
即证明，只需证明即可，
令，
求导得，
令，当时，，
则在单调递增，故，
则，令在时单调递增，则，
因此，即，所以.
【变式7-2】曲率是指曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲率越大，表示曲线在该点处的弯曲程度越大．记，定义曲线在点处的曲率为．
(1)比较曲线在点和处弯曲程度的大小；
(2)若函数的图象上存在两个不同的点、，使得曲线在、处的曲率均为．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
【解析】（1）设，其中，则，，
所以，，，，
所以在点处的曲率为.
在点处的曲率为，
所以曲线在点处的曲率大于其在点处的曲率.
（2）（i）因为，其中，
则，，
因为函数的图象上存在两个不同的点、，
使得曲线在、处的曲率均为．
即有两个不同的解、，即有两个不同的解、，
所以，
令，得，令，得，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在单调递减，
所以，，作出直线与函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，即当时，直线直线与函数的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是；
（ii）由得，
不妨设，由（i）可知，先证明，
即证，即证，
令，即证，构造函数，其中，
则对任意的恒成立，
所以函数在上为增函数，则，
故当时，，所以，，
由基本不等式可得，故结论成立.
【变式7-3】（2025·四川巴中·二模）已知函数，函数是定义在的可导函数，其导数为，满足.
(1)令函数，求证：在上是减函数；
(2)若在上单调递减，求实数取值范围；
(3)对任意正数，试比较与的大小.
【解析】（1）依题意，得.
，又
在上恒成立，在上是减函数.
（2）在上单调递减，恒成立，
又由，
令， ，
当时，单调递增，
当时，单调递减，所以
，根据均值不等式，
当且仅当时等号成立，此时， ，
又因为，所以.
（3），由（1）知在上是减函数：
所以，即，
要想比较与的大小.
考虑，根据可得
令，则，
因为，
则，
.
题型八：对数单身狗，指数找朋友
【例8】（2025·甘肃·模拟预测）已知函数.
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)求的零点个数；
(3)证明：.
【解析】（1）由，得，
则，
故的图象在点处的切线方程为.
（2）解法一：由，得，
令，
则，
令，显然在上单调递增，
且，故，
当时，，则，即在上单调递减；
当时，，则，即在上单调递增.
因为，
所以，从而的零点个数为2，
即的零点个数为2.
解法二：由，得，，
令，，
则，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
显然函数在上单调递减，
因为，所以，
又，所以，
故的零点个数为2.
（3）证明：要证，需证，
令，则，
令，
则，
则在上单调递增，
因为，所以当时，，则，即在上单调递减，
当时，，则，即在上单调递增，
从而，证毕.
【变式8-1】已知函数，.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)已知的导函数在上存在零点，求证：当时，.
【解析】（1），
当时，令，解得或，
①当，即时，令，解得或；令，解得；
故在，上单调递增，在上单调递减；
②当，即时，则恒成立，故在上单调递增；
③当，即时，令，解得或；
令，解得；
故在，上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）知：若在区间上存在零点，则，解得.
在上单调递增，在上单调递减，
则，
令，，则，
令，则在时恒成立，
故在上单调递减，则，即在时恒成立，
则在上单调递减，则，故.
【变式8-2】（2024·陕西榆林·三模）已知函数的导函数为.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：.
【解析】（1），
当，即时，此时，，故在上单调递增.
当，即时，令，
则.
①当时，在上单调递增，在上单调递减.
②当时，，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：当时，，
证原不等式等价于证，令，
则，且，故只需证，即证
令，则，
令，则，
由于，令则，
在上单调递增，在上单调递减.又，
当时，，即，当,时，，即，
在上单调递增，在上单调递减，
，
所以，当时，1.
【变式8-3】（2024·青海·模拟预测）已知质数，且曲线在点处的切线方程为．
(1)求m的值；
(2)证明：对一切，都有．
【解析】（1），，，
则有，，
解得；
（2）由，故，
要证对一切，都有，
即证对一切恒成立，
即证对一切恒成立，
令，
，
则当时，，则当时，，
即在、上单调递减，在上单调递增，
又，，
故对一切恒成立，即得证.
题型九：主元法
【例9】已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围；
(3)若是两个不相等的正数，证明：.
【解析】（1）函数的定义域为，由，
令，可得，令，可得，
故函数的减区间为，增区间为；
（2）由（1）知，若函数有且仅有两个零点，必须，
又由，有，可得，
令，有，
令，可得，令，可得，
可得函数的减区间为，增区间为，
可得，
当时，，有，
当时，，
可得若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为；
（3）不妨设，令，
有，
，
又由，可得函数单调递增，
又由
，
令，
则，当时，，当时，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，即，当且仅当时等号成立，
故