2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用2.7对数运算与对数函数的图像与性质(2大考点+9大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用2.7对数运算与对数函数的图像与性质(2大考点+9大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共13页。
\l "_Tc200635838" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc200635838 \h 3
\l "_Tc200635839" 一、对数运算 PAGEREF _Tc200635839 \h 3
\l "_Tc200635840" 二、对数函数的图像与性质 PAGEREF _Tc200635840 \h 3
\l "_Tc200635841" 常用二级结论 PAGEREF _Tc200635841 \h 4
\l "_Tc200635842" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc200635842 \h 5
\l "_Tc200635843" 题型一：对数运算 PAGEREF _Tc200635843 \h 5
\l "_Tc200635844" 题型二：对数运算的实际应用 PAGEREF _Tc200635844 \h 6
\l "_Tc200635845" 题型三：对数函数的概念与图象 PAGEREF _Tc200635845 \h 9
\l "_Tc200635846" 题型四：对数式大小比拼 PAGEREF _Tc200635846 \h 13
\l "_Tc200635847" 题型五：解简单的对数方程或不等式 PAGEREF _Tc200635847 \h 15
\l "_Tc200635848" 题型六：对数函数性质的综合应用 PAGEREF _Tc200635848 \h 17
\l "_Tc200635849" 题型七：对数型糖水不等式 PAGEREF _Tc200635849 \h 22
\l "_Tc200635850" 题型八：恒成立与有解问题 PAGEREF _Tc200635850 \h 24
\l "_Tc200635851" 题型九：利用反函数的性质求解 PAGEREF _Tc200635851 \h 28
\l "_Tc200635852" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc200635852 \h 33
\l "_Tc200635853" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc200635853 \h 36
\l "_Tc200635854" ①数形结合 PAGEREF _Tc200635854 \h 36
\l "_Tc200635855" ②转化与化归 PAGEREF _Tc200635855 \h 38
\l "_Tc200635856" ③分类讨论 PAGEREF _Tc200635856 \h 39
\l "_Tc200635857" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc200635857 \h 42
\l "_Tc200635858" 基础过关篇 PAGEREF _Tc200635858 \h 42
\l "_Tc200635859" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc200635859 \h 51
1、理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2、掌握对数运算在实际问题中的应用.
3、通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
4、了解指数函数与对数函数互为反函数.
一、对数运算
1、如果（，且），那么数叫做以为底的对数，记作．
2、（，且）．
①；②；③；④．
3、对数的运算性质(，且，，)：若，则.（两边取对数）
（1）；
（2）；
（3）．
4、换底公式：；(其中，，且，，且)
推论：①；②；③．
二、对数函数的图像与性质
1、对数函数的概念：函数（，且）叫做对数函数，其中是自变量.
2、图像与性质
常用二级结论
1、底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．
2、与对数函数有关的奇函数
奇函数：①，更一般地，
②，更一般地，
3、设函数，记．
①若的定义域为，即恒成立，则或
②若的值域为，即取遍一切正实数，则或
题型一：对数运算
【例1】（2025·江西萍乡·三模）已知，则 .
【解题总结】
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.
(2)将同底对数的和、差、倍合并.
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
【变式1-1】若等比数列中的，是方程的两个根，则 ．
【变式1-2】已知且，若，则 .
【变式1-3】（2025·高三·上海静安·期中）已知，则 ．（请用含的代数式表达）
【变式1-4】（2025·广东深圳·三模）已知实数，且满足，则 ．
题型二：对数运算的实际应用
【例2】（2025·福建泉州·一模）如图，假定两点以相同的初速度运动．点沿射线做匀速运动，；点沿线段（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离．令与同时分别从出发，则数学家纳皮尔定义为的对数中，与的对应关系就是，其中e为自然对数的底．若点从线段的中点运动到靠近的四等分点，点同时从运动到，则 ．
【解题总结】
利用对数运算解决实际问题时认清所给函数模型、变量、参数，利用待定系数法确定参数的值，然后解决问题.
【变式2-1】人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为，则有，给出下列四个结论：
①等级为0dB的声音的强度为；
②函数在定义域上是增函数；
③等级为80dB的声音与70dB的声音强度之比是10；
④等级为60dB的声音与90dB的声音强度之比是1000.
其中所有正确结论的序号是 .
【变式2-2】（2025·云南昆明·模拟预测）根据统计数据可将某池塘里浮萍的面积单位：与时间单位：月的关系近似表示为如图所示函数关系，已知第1个月时，浮萍面积为，第5个月时，浮萍面积就会超过，下列函数模型：①，②，③，④中，最符合浮萍面积y与时间t关系的模型是 填写序号，若浮萍蔓延到，所经过的时间 .
【变式2-3】研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足，其中为非零常数；已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m，则释放信息素4秒后，距释放处的 米的位置，信息素浓度为.
【变式2-4】2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空.约582秒后，载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为mkg，当燃料质量为mkg时，该火箭的最大速度为2ln2km/s，当燃料质量为时，该火箭最大速度为2km/s.若该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s，则燃料质量是箭体质量的 倍.（参考数据：）
题型三：对数函数的概念与图象
【例3】（2025·海南·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．（0，1）D．
【解题总结】
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
【变式3-1】已知函数，且的图象恒过点，则（ ）
A．B．C．1D．2
【变式3-2】已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-3】（2025·高三·重庆荣昌·开学考试）已知函数，若在存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-4】（2025·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-5】若函数在上的最大值是2，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
【变式3-6】若不等式（，且）在内恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型四：对数式大小比拼
【例4】（多选题）（2025·安徽六安·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
【变式4-1】（多选题）（2025·河南鹤壁·二模）设，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（多选题）若，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】（多选题）已知正数 满足 ，则下列不等关系正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-4】（多选题）若，，则下列选项正确的有（ ）
A．B．C．D．
题型五：解简单的对数方程或不等式
【例5】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数则不等式的解集为 .
【解题总结】
【变式5-1】（2025·福建宁德·三模）设函数，则满足的的取值范围是 .
【变式5-2】不等式的解集为 ．
【变式5-3】（2025·湖南邵阳·三模）已知减函数（，且）的图象过点，且，分别是方程的两个实数根，则的值为 ．
【变式5-4】已知分别是方程与的实数解，则的值为 ．
题型六：对数函数性质的综合应用
【例6】（2025·上海·三模）设且，已知函数．
(1)判断是否为偶函数，并说明理由；
(2)令函数，解关于的不等式．
【解题总结】
求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成.
【变式6-1】（2025·江苏苏州·三模）已知函数．
(1)若，解关于的不等式；
(2)证明：关于的方程有且仅有一个实根；
(3)证明：的充要条件是．
【变式6-2】（2025·上海宝山·三模）已知，函数.
(1)若，求函数的表达式及定义域；
(2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围.
【变式6-3】已知.
(1)当时，方程恰有一个解，求的取值范围；
(2)当时，解不等式；
(3)当时，已知函数在上至少有3个零点，请求出的取值范围.
题型七：对数型糖水不等式
【例7】已知则（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
设，，则有.
上式的倒数形式：设，，则有.
【变式7-1】设，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-2】关于下列两个命题的正确的判断是（ ）
甲：；
乙：.
A．甲乙都成立B．仅甲成立C．仅乙成立D．甲乙都不成立
【变式7-3】设，则（ ）
A．B．C．D．
【变式7-4】已知，则（ ）
A．B．
C．D．
题型八：恒成立与有解问题
【例8】已知函数，，，；
(1)当时，求函数的值域；
(2)当时，恒成立，求的取值范围；
(3)若存在，使得不等式对任意，恒成立，求的取值范围.
【解题总结】
分离参数
【变式8-1】已知函数的图象与函数的图象关于直线对称．
(1)求函数的解析式；
(2)若．
（i）求的值域；
（ii）若对于，使得恒成立，求所有满足条件的的取值范围．
【变式8-2】已知是偶函数，，且在上单调递增．
(1)比较与2的大小；
(2)求不等式的解集；
(3)若函数，且，且不等式在上恒成立，求的取值范围．
【变式8-3】已知，函数的最大值为4，最小值为0.
(1)求的值
(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围.
题型九：利用反函数的性质求解
【例9】（2025·吉林·三模）已知正实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
利用反函数的性质求解
【变式9-1】（2025·高三·广东广州·开学考试）已知函数，，若，则下列各式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【变式9-2】已知函数，若存在使得，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式9-3】已知函数，若有且只有两个不等根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式9-4】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （ ）
A．B．3C．6D．9
【变式9-5】（2025·广东佛山·模拟预测）已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（ ）
A．B．C．D．E．均不是
1．已知，.设，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·广东·一模）已知曲线与曲线只有一个公共点，则（ ）
A．B．1C．eD．
3．若，则
A．B．C．D．
①数形结合
1．设函数则满足的x的取值范围是
A．B．C．D．
2．已知，则下列不正确的是
A．B．
C．D．
3．若，则a，b，c的大小关系为
A．B．C．D．
②转化与化归
4．已知，，则（ ）
A．10B．8C．6D．4
5．已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为
A．B．C．D．
6．已知函数则满足的实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
③分类讨论
7．若不等式在上有解，则a的取值范围是
A．B．
C．D．
8．已知，且，则函数的图象一定经过
A．一、二象限B．一、三象限C．二、四象限D．三、四象限
9．若函数的定义域为R，则实数m取值范围是
A．B．
C．D．
基础过关篇
1．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024年北京高考数学真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A．B．
C． D．
3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
4．（2022年新高考天津数学高考真题）化简（ ）
A．1B．C．2D．
5．（2022年新高考天津数学高考真题）设，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知，则（ ）
A．25B．5C．D．
7．（2022年新高考北京数学高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
8．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A．B．
C．D．
9．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知且，则 ．
10．（2023年北京高考数学真题）已知函数，则 ．
11．（2025·安徽合肥·模拟预测）放射性物质是指那些能自然地向外界辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称为半衰期.考古学中常利用生物标本中的碳元素稳定持续衰减的现象测定遗址的年代.已知碳的半衰期为年.现在实验室测定某遗址内动物标本中碳含量为正常大气中碳含量的.则该遗址大约距今（ ）（）
A．年B．年C．年D．年
12．（2025·陕西汉中·三模）声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强，用声强与比值的常用对数来表示声强的“声强级数”，即，则“声强级数8”的声强是“声强级数6”的声强的（ ）
A．2倍B．20倍C．100倍D．1000倍
13．（2025·广东·模拟预测）实数满足：，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14．（2025·江苏苏州·模拟预测）对数的第一位小数的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
15．（2025·江西南昌·模拟预测）已知a，b均为正数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
16．（2025·浙江绍兴·三模）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B．C．D．
17．（2025·四川乐山·三模）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
18．（2025·甘肃白银·三模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
19．（多选题）（2025·安徽合肥·三模）已知且，则函数的图象一定经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
20．（多选题）（2025·安徽六安·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
21．（多选题）（2025·湖北孝感·三模）已知函数在区间上单调递增，则（ ）
A．B．
C．D．
22．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知正实数满足，则 ．
能力拓展篇
23．（2025·河南·三模）已知函数，若存在实数b，使函数恰有三个零点，则a的取值范围为 ．
24．（2025·河北·模拟预测）已知且，若关于x的不等式恰有1个整数解，则a的取值范围是 ．
25．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数，若，则的最大值为 .
26．（2025·海南·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
27．（2025·浙江宁波·模拟预测）若不等式对任意的正整数恒成立，则的取值范围是 .
28．（2025·广东·模拟预测）已知满足 ，则 ．
29．（2025·四川绵阳·一模）已知函数，m为正的常数，则的零点之和为 ．
30．（2025·上海嘉定·模拟预测）已知函数，若，且，则的取值范围是 .
31．（多选题）（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知正数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
图象
定义域
值域
R
过定点
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
变化对图像的影响
在第一象限内，越大图象越靠低；
在第四象限内，越大图象越靠高．
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
2.7 对数运算与对数函数的图像与性质
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc200635837" 01 课标要求 PAGEREF _Tc200635837 \h 2
\l "_Tc200635838" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc200635838 \h 3
\l "_Tc200635839" 一、对数运算 PAGEREF _Tc200635839 \h 3
\l "_Tc200635840" 二、对数函数的图像与性质 PAGEREF _Tc200635840 \h 3
\l "_Tc200635841" 常用二级结论 PAGEREF _Tc200635841 \h 4
\l "_Tc200635842" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc200635842 \h 5
\l "_Tc200635843" 题型一：对数运算 PAGEREF _Tc200635843 \h 5
\l "_Tc200635844" 题型二：对数运算的实际应用 PAGEREF _Tc200635844 \h 6
\l "_Tc200635845" 题型三：对数函数的概念与图象 PAGEREF _Tc200635845 \h 9
\l "_Tc200635846" 题型四：对数式大小比拼 PAGEREF _Tc200635846 \h 13
\l "_Tc200635847" 题型五：解简单的对数方程或不等式 PAGEREF _Tc200635847 \h 15
\l "_Tc200635848" 题型六：对数函数性质的综合应用 PAGEREF _Tc200635848 \h 17
\l "_Tc200635849" 题型七：对数型糖水不等式 PAGEREF _Tc200635849 \h 22
\l "_Tc200635850" 题型八：恒成立与有解问题 PAGEREF _Tc200635850 \h 24
\l "_Tc200635851" 题型九：利用反函数的性质求解 PAGEREF _Tc200635851 \h 28
\l "_Tc200635852" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc200635852 \h 33
\l "_Tc200635853" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc200635853 \h 36
\l "_Tc200635854" ①数形结合 PAGEREF _Tc200635854 \h 36
\l "_Tc200635855" ②转化与化归 PAGEREF _Tc200635855 \h 38
\l "_Tc200635856" ③分类讨论 PAGEREF _Tc200635856 \h 39
\l "_Tc200635857" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc200635857 \h 42
\l "_Tc200635858" 基础过关篇 PAGEREF _Tc200635858 \h 42
\l "_Tc200635859" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc200635859 \h 51
1、理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2、掌握对数运算在实际问题中的应用.
3、通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
4、了解指数函数与对数函数互为反函数.
一、对数运算
1、如果（，且），那么数叫做以为底的对数，记作．
2、（，且）．
①；②；③；④．
3、对数的运算性质(，且，，)：若，则.（两边取对数）
（1）；
（2）；
（3）．
4、换底公式：；(其中，，且，，且)
推论：①；②；③．
二、对数函数的图像与性质
1、对数函数的概念：函数（，且）叫做对数函数，其中是自变量.
2、图像与性质
常用二级结论
1、底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．
2、与对数函数有关的奇函数
奇函数：①，更一般地，
②，更一般地，
3、设函数，记．
①若的定义域为，即恒成立，则或
②若的值域为，即取遍一切正实数，则或
题型一：对数运算
【例1】（2025·江西萍乡·三模）已知，则 .
【答案】
【解析】依题意，，故.
故答案为：.
【解题总结】
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.
(2)将同底对数的和、差、倍合并.
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
【变式1-1】若等比数列中的，是方程的两个根，则 ．
【答案】/
【解析】由题意得．
因为，，…，，，
所以．
因为，所以，
则．
故答案为：.
【变式1-2】已知且，若，则 .
【答案】10
【解析】由得且，，
所以，即.
故答案为：
【变式1-3】（2025·高三·上海静安·期中）已知，则 ．（请用含的代数式表达）
【答案】
【解析】由题意得，.
故答案为：.
【变式1-4】（2025·广东深圳·三模）已知实数，且满足，则 ．
【答案】2
【解析】设，则，因为，所以.
由或（舍去）.
所以.
故答案为：2
题型二：对数运算的实际应用
【例2】（2025·福建泉州·一模）如图，假定两点以相同的初速度运动．点沿射线做匀速运动，；点沿线段（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离．令与同时分别从出发，则数学家纳皮尔定义为的对数中，与的对应关系就是，其中e为自然对数的底．若点从线段的中点运动到靠近的四等分点，点同时从运动到，则 ．
【答案】/0.5
【解析】令，则，整理得，即，
令，则，整理得，即，
所以.
故答案为：.
【解题总结】
利用对数运算解决实际问题时认清所给函数模型、变量、参数，利用待定系数法确定参数的值，然后解决问题.
【变式2-1】人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为，则有，给出下列四个结论：
①等级为0dB的声音的强度为；
②函数在定义域上是增函数；
③等级为80dB的声音与70dB的声音强度之比是10；
④等级为60dB的声音与90dB的声音强度之比是1000.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①②③
【解析】对于①，由即，可得，
因此等级为0dB的声音强度为，故①正确；
对于②，令，则，易知和在上单调递增，
由复合函数的单调性可知在定义域上是增函数，故②正确；
对于③，设，则，解得．
设，同理可得．
因此所求两种等级声音的强度之比为，故③正确；
对于④，设，则，解得．
设，同理可得．
因此所求两种等级声音的强度之比为，故④错误.
故答案为：①②③.
【变式2-2】（2025·云南昆明·模拟预测）根据统计数据可将某池塘里浮萍的面积单位：与时间单位：月的关系近似表示为如图所示函数关系，已知第1个月时，浮萍面积为，第5个月时，浮萍面积就会超过，下列函数模型：①，②，③，④中，最符合浮萍面积y与时间t关系的模型是 填写序号，若浮萍蔓延到，所经过的时间 .
【答案】 ③
【解析】为线性增长，的增长速度会逐渐变慢，
由图象可知，模型①④不符合，
将，代入模型②③，得，，即模型②，模型③，
当时，模型②，不符合，
当时，模型③，，选模型③；
由，解得
故答案为：③；
【变式2-3】研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足，其中为非零常数；已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m，则释放信息素4秒后，距释放处的 米的位置，信息素浓度为.
【答案】4
【解析】因为释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m，
所以，所以，即
当时，，
整理得即，
所以，因为，所以.
故答案为:4.
【变式2-4】2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空.约582秒后，载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为mkg，当燃料质量为mkg时，该火箭的最大速度为2ln2km/s，当燃料质量为时，该火箭最大速度为2km/s.若该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s，则燃料质量是箭体质量的 倍.（参考数据：）
【答案】51
【解析】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为k，
则，
解得，
设当该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s时，燃料质量是箭体质量的a倍，
则
，得
，
则燃料质量是箭体质量的51倍
故答案为：51.
题型三：对数函数的概念与图象
【例3】（2025·海南·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．（0，1）D．
【答案】B
【解析】当时，的值域为，
所以要使的值域为，当时，
的值域需取到的所有值.
若，则的值域为，
所以只须，解得，
所以当时，的值域为；
若，则的值域为，
此时的值域不可能取到的所有值，
综上，实数的取值范围是.
故选：B
【解题总结】
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
【变式3-1】已知函数，且的图象恒过点，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【解析】令，解得，又，
所以函数，且）的图象恒过点，
即，所以．
故选：B．
【变式3-2】已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设，由题意知，可得，
由在上单调递增，可得在上单调递减，
又在上单调递减，所以，解得或，
故则的取值范围是.
故选：C.
【变式3-3】（2025·高三·重庆荣昌·开学考试）已知函数，若在存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，单调递增，所以当时，有最小值，
当时，单调递减，所以，无最小值，
因为在存在最小值，所以，
令，因为和在上均单调递增，
所以在上均单调递增，又因为，
所以当时，，即成立，
所以的解集为.
故选：D.
【变式3-4】（2025·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】要使函数在区间上有最大值或最小值，
由于开口向上，
故需函数在区间上有最小值，且．
该函数图像的对称轴为直线，所以，
解得，
所以，且，即实数的取值范围为．
故选：B．
【变式3-5】若函数在上的最大值是2，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，则，
故当时，在上取得最小值为，
又因为函数在上的最大值是2，
所以且，即，解得．
故选：C.
【变式3-6】若不等式（，且）在内恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】若，此时，，而，故无解；
若，此时，，而，
令，，画出两函数图象，如下：
故要想在内恒成立，则要，
解得：．
故选：B．
题型四：对数式大小比拼
【例4】（多选题）（2025·安徽六安·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A，，因，则，故A正确；
对于B，由，，可得，则，故，故B正确；
对于C，由B项可得，则，故C错误；
对于D，因，故D正确.
故选：ABD.
【解题总结】
【变式4-1】（多选题）（2025·河南鹤壁·二模）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】因为，所以，所以，
因为，，所以，所以选项B、D错误，A、C正确.
故选：AC.
【变式4-2】（多选题）若，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】先证明结论：对任意，，有；
证明如下：因为，所以为减函数，
所以，即，
设，即，则为减函数，
所以，即，
从而，也就是，
当时，可得，A正确，B错误；
应用上面的结论可得：
，故D正确，C错误.
故选：AD
【变式4-3】（多选题）已知正数 满足 ，则下列不等关系正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】令，则，，，.
A选项：，故A正确；
B选项：，故B错误；
C选项：，故；，故；从而，故C正确；
D选项：由A知，则，故D正确.
故选：ACD.
【变式4-4】（多选题）若，，则下列选项正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】对于选项A，，又易知在上单调递增，所以，故选项A错误，
对于选项B，因为，，则，，
又，，
所以，故选项B正确，
对于选项C，易知，，所以，故选项C正确，
对于选项D，由选项C知，，所以，故选项D错误，
故选：BC.
题型五：解简单的对数方程或不等式
【例5】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】由函数，
当时，可得且，则
此时不等式，即为，
即，
令，可得函数在上为单调递增函数，
且，所以，所以的解集为；
当时，不等式，即为，此时不等式不成立，舍去；
当时，可得且，则
此时不等式，可得，
令，可得函数在上为单调递减函数，
且，所以，所以的解集为，
综上可得，不等式的解集为.
故答案为：.
【解题总结】
【变式5-1】（2025·福建宁德·三模）设函数，则满足的的取值范围是 .
【答案】
【解析】由可得，
则，解得，所以定义域为，
当时，，
由可得，即，无解；
当时，，
由可得，即，
即，解得，
又，所以，
即不等式的解集为.
故答案为：
【变式5-2】不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】由，得，
所以，即，
所以不等式的解集为．
故答案为：.
【变式5-3】（2025·湖南邵阳·三模）已知减函数（，且）的图象过点，且，分别是方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】4
【解析】由方程，解得：或，
解得或，
当，时，，得，此时函数为增函数，故舍去；
当，时，，又，得，此时,
故答案为： 4
【变式5-4】已知分别是方程与的实数解，则的值为 ．
【答案】10
【解析】由可得，由可得，
不妨记，
依题意，为与的交点的横坐标，
为与的交点的横坐标，作出这些函数的图象如下：
因函数与是一对反函数，图象关于直线对称，
而直线与直线垂直，故也关于直线对称，
则点与点也关于直线对称，
故得，化简得：，即.
故答案为：10.
题型六：对数函数性质的综合应用
【例6】（2025·上海·三模）设且，已知函数．
(1)判断是否为偶函数，并说明理由；
(2)令函数，解关于的不等式．
【解析】（1）是偶函数.
理由如下：
因为，
且，即定义域为，定义域关于原点对称.
，
是偶函数.
（2）为偶函数，
令.
当时，在上单调递增，在区间上单调递减，
由，得且，解得.
当时，在上单调递减，在区间上单调递增，
由，得且，解得.
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【解题总结】
求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成.
【变式6-1】（2025·江苏苏州·三模）已知函数．
(1)若，解关于的不等式；
(2)证明：关于的方程有且仅有一个实根；
(3)证明：的充要条件是．
【解析】（1），令．
因为和均单调递增，所以易得单调递增．
因为，所以，等价于，所以．
（2）令．
由，可得，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增．
（ⅰ）当时，，
因为，所以．
令，显然单调递增，且，，
所以在上有唯一解，即有唯一实根．
（ⅱ）当时，．
令，因为，所以在上单调递增，
所以，即，所以，
所以，所以无解．
综上所述，有唯一实根．
（3）先证必要性：因为，所以，即，
因为单调递增，所以．
再证充分性：因为，所以，即．
综上所述，命题得证．
【变式6-2】（2025·上海宝山·三模）已知，函数.
(1)若，求函数的表达式及定义域；
(2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围.
【解析】（1），令，
则
因为，所以，又得，解得或，
则函数的定义域为；
（2）由（1）得
方程，
即
可转化为，且
①当即时，，符合题意；
②当即时，
（i）当时，符合题意
（ii）当时，且时，要满足题意，则有
或无解
综上可得，的取值范围.
【变式6-3】已知.
(1)当时，方程恰有一个解，求的取值范围；
(2)当时，解不等式；
(3)当时，已知函数在上至少有3个零点，请求出的取值范围.
【解析】（1）时，，
画出函数图象，如下：
数形结合可得：或；
（2），
由于，故，
，即，
变形为，
即，
故
解得，故，
又，故，
所以原不等式的解集为；
（3）令，即，故，
当时，在上至少有3个零点，
故在上至少有3个根，
因为，所以在上单调递增，
故当时，，
又开口向上，对称轴为，
且时，，时，，
所以在上单调递增，
则，
因为，
当时，，故无解，
令，由，得，
解得或，而，
由于在R上至少有3个零点，
只需，又，
解得，此时，故至少对应一个根，满足要求，
当时，解得，负值舍去，
此时对应一个根，，对应两个根，
从而有3个根，符合题意，
因此.
所以的取值范围是.
题型七：对数型糖水不等式
【例7】已知则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
因为，
所以，则，
所以；
因为，
所以，则，
所以；
综上，.
故选：A.
【解题总结】
设，，则有.
上式的倒数形式：设，，则有.
【变式7-1】设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】依题意，，，
，
所以.
故选：D
【变式7-2】关于下列两个命题的正确的判断是（ ）
甲：；
乙：.
A．甲乙都成立B．仅甲成立C．仅乙成立D．甲乙都不成立
【答案】D
【解析】构造函数，则在上单调递减，
所以所以所以
构造函数则令可得，当时，
在上单调递减，所以即所以所以
又因为为增函数，所以
故选：D.
【变式7-3】设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】①因为，而，所以．
② 因为，则，即，即，
因为，则，即，即，
故．
③ 因为，则，即，即，
因为，则，即，即，
所以，
故．
故选：A.
【变式7-4】已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，所以，
又，
所以.
故选：A
题型八：恒成立与有解问题
【例8】已知函数，，，；
(1)当时，求函数的值域；
(2)当时，恒成立，求的取值范围；
(3)若存在，使得不等式对任意，恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）当时，，且在上单调递增，
又在上单调递减，在上单调递增，
故在上单调递减，在上单调递增，
因为，，，
所以
（2）令，因为，所以，
依题意可得在上恒成立，
即在上恒成立，
又函数在上单调递增，
所以当时，
所以.
（3）由（1）知，在上的最大值为，
所以对任意，恒成立，即，
令，，
①，即时，在上单调递增，
所以，
所以，所以；
②，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，所以；
③，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，所以；
④，即时，在上单调递减，
所以，
所以，所以
综上可得，的取值范围为.
【解题总结】
分离参数
【变式8-1】已知函数的图象与函数的图象关于直线对称．
(1)求函数的解析式；
(2)若．
（i）求的值域；
（ii）若对于，使得恒成立，求所有满足条件的的取值范围．
【解析】（1）由题意知，与互为反函数．
将替换为，替换为得：，即，
所以．
（2）（i）对于，
由，，则，，
所以的值域为．
（ii）∵，使得恒成立，
∴．
即在上恒成立，得：在上恒成立，
参变分离得：．
∵在上单调递增，∴．∴，
∴的取值范围为．
【变式8-2】已知是偶函数，，且在上单调递增．
(1)比较与2的大小；
(2)求不等式的解集；
(3)若函数，且，且不等式在上恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）因为是偶函数，所以．
又在上单调递增，所以在上单调递减，
则，即．
（2）由，得，
得，解得或，
即不等式的解集为．
（3）当时，在上单调递减，在值域为，所以不等式不恒成立．
当时，在上单调递减，在上单调递增，
要使不等式在上恒成立，则，得，得，即．
综上，的取值范围为．
【变式8-3】已知，函数的最大值为4，最小值为0.
(1)求的值
(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围.
【解析】（1），
由得，，
又a＞0，因此的最大值为，
最小值为，解得．
（2），
又，，
而在上单调递减，在上单调递增．
因为，，所以．
由不等式在上有解，
得：．
因此，的取值范围是．
题型九：利用反函数的性质求解
【例9】（2025·吉林·三模）已知正实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则，
当时，，当时，，
故在上递增，在上递减，故，
所以，故，故，
故的图像在的下方.
∵
∴，
如图，为函数与函数图象交点的横坐标，
为函数与函数图象交点的横坐标，
为函数与函数图象交点的横坐标，
由图知，，而，
由为增函数得，故，故A，B选项错误.
由得，．
∵与的图象关于直线对称，
∴点和关于对称，且，，
∴且，
∴，故C选项错误.
∵，∴，故D选项正确．
故选：D.
【解题总结】
利用反函数的性质求解
【变式9-1】（2025·高三·广东广州·开学考试）已知函数，，若，则下列各式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题可得，即，
在同一坐标系中分别绘出函数，，的图象，
由，可知，由，可得，
联立，解得，
因为函数与互为反函数，所以由反函数性质知、关于对称，
则，，且，，
对于A，，故A错误；
对于B，由，，
则，故B正确；
对于C，因为，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：B.
【变式9-2】已知函数，若存在使得，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设的反函数为，由可得，
所以题干等价为与的图象在区间有交点，
因为与的图象关于直线对称，
所以两函数图象交点必在上，
故图象与直线在区间有交点，
则在区间有解，则，
令，则，
则在区间单调递增，又，
则的取值范围为．
故选：D
【变式9-3】已知函数，若有且只有两个不等根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】方程可化为：，
也即有且只有两个不同交点，
又与互为反函数，图象关于对称，
也即要使有且只有两个不同交点，
只需与有两个不同交点，有两函数的图象结构可知才有可能，
下面先求取何值，与的图象相切，
设切点坐标为，可得，解得：
也即当即与的图象相切.（如下图）
结合图象可知当有两个交点.
所以的取值范围是，
故选：C
【变式9-4】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （ ）
A．B．3C．6D．9
【答案】B
【解析】由题意得：为R上的增函数，且
当时，，，
当时，，，
方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，
作出函数与的图象如下图所示：
由图可知与图象关于对称，
则两点关于对称，中点在图象上，
由，解得：.
所以.
故选：B
【变式9-5】（2025·广东佛山·模拟预测）已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（ ）
A．B．C．D．E．均不是
【答案】C
【解析】由已知条件可知，，，
令，，，
如图所示，
曲线与曲线关于直线对称，曲线关于直线对称，
设曲线分别与曲线，交于点， ，
则点，关于直线对称，
而点关于直线对称的点为，即为点，
则，即.
故选：C.
1．已知，.设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】（方法一）因为，所以，所以，即.
因为，所以，所以，即，所以.
（方法二）因为，所以，所以，即.
因为，所以，所以，即，所以.
（方法三）因为，，即，，又因为，，
所以，即，，的大小比较可参考方法一、二.
所以.
故选：B.
2．（2025·广东·一模）已知曲线与曲线只有一个公共点，则（ ）
A．B．1C．eD．
【答案】B
【解析】方法一：由已知曲线与曲线只有一个公共点，
方程只有一个实数解，而，则只考虑，
即，令，则，
而在单调递增，且，
所以时，单调递减，
时，单调递增，
而时，；时，，
所以．
方法二：由已知曲线与曲线只有一个公共点，
则曲线与曲线只有一个公切点，设其坐标为，
根据函数的图像与函数的图像之间的关系，
所以有，
即，所以，
设，则在单调递减，而，
所以，所以．
方法三：由于函数的反函数为，两函数关于对称，
由于，令，则，即函数与函数相切于点，
同理，，令，即函数． 与函数也相切于点，
于是函数与函数相切于点，由选项可知，．
故选：B.
3．若，则
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解法一：令，因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增．又，
所以，所以
故选B．
解法二：由，取，得令，
则在上单调递增，且，，所以，在上存在唯一的零点，所以，故，都不成立，排除A，
取，得令，则在上单调递增，且，，所以，在上存在唯一的零点，所以，故不成立，排除
故选
①数形结合
1．设函数则满足的x的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】作出函数的图像如图所示，
要使，
则或
即或
因此
故选：
2．已知，则下列不正确的是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，，
所以a，b分别是，与图象交点的横坐标，
因为，的图象关于直线对称，也关于直线对称，
所以两交点，关于直线对称，
所以，，所以，故A正确；
因为，，所以，故B正确，D不正确；
因为，所以，故C正确．
故选：
3．若，则a，b，c的大小关系为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，而当时，，当时，，
所以，
因为，而当时，，所以，
因为，而当时，，所以，
由，得，，
所以b为和图象交点的横坐标，c为和图象交点的横坐标，
在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，如图所示，
由图可得
综上，
故选：
②转化与化归
4．已知，，则（ ）
A．10B．8C．6D．4
【答案】B
【解析】由题可知：，，
因为与互为反函数，它们的图象关于直线对称，
点为的图象与直线的交点，
点为的图象与直线的交点，
这两点也关于直线对称，所以，
所以
故选：
5．已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在区间上单调递减，
令，而函数在定义域内单调递增，
在区间上单调递减，且，都有恒成立，
，
故选：
6．已知函数则满足的实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当x时，，，所以x在上单调递增；
当x时，x，x，
所以x在上单调递减，
若，则，
故，
所以的图象关于对称，
对于，则，可得，
所以
故选：
③分类讨论
7．若不等式在上有解，则a的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为有解，
令，，
则在时，存在的图像在的图像的上方，
当时，由基本函数图像可知，
在时恒成立；
当时，是减函数，是增函数，
由图象特征可知，
解得
故选
8．已知，且，则函数的图象一定经过
A．一、二象限B．一、三象限C．二、四象限D．三、四象限
【答案】D
【解析】当 时，，可得函数的图象单调递增，且过第一、三、四象限，
由时，， 可得函数的图象单调递减，且过第二、三、四象限，
故选
9．若函数的定义域为R，则实数m取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意，函数的定义域为一切实数，
等价于在R上恒成立，
若，则在R上恒成立，满足条件；
若，则满足，即，解得
综上，实数m的取值范围是
故选
基础过关篇
1．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误，
故选：B.
2．（2024年北京高考数学真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A．B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，则，即，所以.
故选：D.
3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】解法一：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
若，当时，可知，此时；
当时，可知，此时；
可知若，符合题意；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
综上所述：，即，
则，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为；
解法二：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
则当时，，故，所以；
时，，故，所以；
故， 则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
4．（2022年新高考天津数学高考真题）化简（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【解析】原式
，
故选：C
5．（2022年新高考天津数学高考真题）设，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，故.
故选：D.
6．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知，则（ ）
A．25B．5C．D．
【答案】C
【解析】因为，，即，所以．
故选：C.
7．（2022年新高考北京数学高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【解析】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.
当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
8．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
9．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知且，则 ．
【答案】64
【解析】由题，整理得，
或，又，
所以，故
故答案为：64.
10．（2023年北京高考数学真题）已知函数，则 ．
【答案】1
【解析】函数，所以.
故答案为：1
11．（2025·安徽合肥·模拟预测）放射性物质是指那些能自然地向外界辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称为半衰期.考古学中常利用生物标本中的碳元素稳定持续衰减的现象测定遗址的年代.已知碳的半衰期为年.现在实验室测定某遗址内动物标本中碳含量为正常大气中碳含量的.则该遗址大约距今（ ）（）
A．年B．年C．年D．年
【答案】C
【解析】不妨设动物标本中碳含量初始值是个单位，
则经过年动物标本中碳含量为，
令，则年.
故选：C.
12．（2025·陕西汉中·三模）声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强，用声强与比值的常用对数来表示声强的“声强级数”，即，则“声强级数8”的声强是“声强级数6”的声强的（ ）
A．2倍B．20倍C．100倍D．1000倍
【答案】C
【解析】当时，代入声强级数公式可得.
可将上式变形为.
那么，解得.
当时，代入声强级数公式可得.
则，可得，解得.
.
故“声强级数”的声强是“声强级数”的声强的100倍.
故选：C.
13．（2025·广东·模拟预测）实数满足：，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
令，则，，.
令得；令得，
∴函数在上单调递减，在上单调递增.
又，∴，即，解得.
故选：D.
14．（2025·江苏苏州·模拟预测）对数的第一位小数的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】设对数的第一位小数位，第二位小数及以后的值为，则，
∴，又，
∴，即，
所以，
故选：B.
15．（2025·江西南昌·模拟预测）已知a，b均为正数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，可得，所以，即，
所以，所以，所以“”是“”的充分条件；
取，可得，故“”是“”的不必要条件；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
16．（2025·浙江绍兴·三模）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【解析】因为关于直线对称的点为，则的对称点为，
又在函数的图象上，故，解得，
故选：.
17．（2025·四川乐山·三模）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由可得，又因为，
所以，
故选：B.
18．（2025·甘肃白银·三模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，
，
所以．
故选：D.
19．（多选题）（2025·安徽合肥·三模）已知且，则函数的图象一定经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】AB
【解析】由，且，
则，
即函数过点,
当时，函数单调递增，过第一、二、三象限；
当时，函数单调递减，过第一、二、四象限．
故选：AB．
20．（多选题）（2025·安徽六安·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A，，因，则，故A正确；
对于B，由，，可得，则，故，故B正确；
对于C，由B项可得，则，故C错误；
对于D，因，故D正确.
故选：ABD.
21．（多选题）（2025·湖北孝感·三模）已知函数在区间上单调递增，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】的定义域为．
设，可得函数在上单调递减，
在上单调递增，
根据复合函数的单调性可得，故A正确，B错误；
由，可得，
又在上单调递减，
则，故C正确，D错误．
故选：AC．
22．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知正实数满足，则 ．
【答案】15
【解析】因为，则．
故答案为：15.
能力拓展篇
23．（2025·河南·三模）已知函数，若存在实数b，使函数恰有三个零点，则a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由在上单调递增，且值域为，
对于，
当，则，而，此时最多有两个零点；
当时，则，此时的大致图象如下，
由在上单调递增，且，结合上图，
当，即时，，恰有三个零点，
当，即时，，恰有三个零点；
当时，在上单调递增，此时函数最多有两个零点，不符题意；
综上，.
故答案为：
24．（2025·河北·模拟预测）已知且，若关于x的不等式恰有1个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】不等式恰有1个解时，，
当时，，不等式无整数解；
当时，，随着的增大，函数比增长更快，
因此2是不等式的唯一整数解，则，解得，
所以a的取值范围是.
故答案为：
25．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数，若，则的最大值为 .
【答案】2
【解析】函数的定义域为，，
函数在上单调递增，在上单调递增，因此在上单调递增，
不妨设，则，即，
因此，整理得，则，
当且仅当时取等号，则，即，
而，解得，从而最大值为2，此时，
所以的最大值为2.
故答案为：2
26．（2025·海南·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】令，因为外层函数为减函数，且原函数在上单调递增，
所以内层函数在上为减函数，
且对任意的，恒成立，
所以，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
27．（2025·浙江宁波·模拟预测）若不等式对任意的正整数恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】原不等式或，
而是正整数，于是或，
当时，由成立，得；
当，时，由成立，得，
令，函数在上都为增函数，则是上的增函数，
因此要使对，成立，当且仅当时成立即可，
当时，，于是，
所以使不等式对任意的正整数恒成立，的取值范围是.
故答案为：
28．（2025·广东·模拟预测）已知满足 ，则 ．
【答案】3
【解析】因为，故，
因为，故，所以，设
则，故在上为增函数，
故，故，且，故，
故答案为：3.
29．（2025·四川绵阳·一模）已知函数，m为正的常数，则的零点之和为 ．
【答案】
【解析】函数的定义域为，
由，得，令函数，
，则函数的图象关于直线对称，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，
直线与函数的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为，
观察图象得，所以的零点之和为.
故答案为：
30．（2025·上海嘉定·模拟预测）已知函数，若，且，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】的图象如下：
因为且，所以且，
所以，所以，故，
由对勾函数在上单调递减，所以，
所以的取值范围是.
故答案为：
31．（多选题）（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知正数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】对于AB，由得，，
所以，
设，因为和在上单调递增，
所以在上单调递增，又，
所以，所以A正确，B错误；
对于C，因为幂函数在上单调递减，所以，即，C正确；
对于D，因为，所以，因为，
所以，
由选项AB可知在上单调递增，所以，D正确.
故选：ACD.
图象
定义域
值域
R
过定点
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
变化对图像的影响
在第一象限内，越大图象越靠低；
在第四象限内，越大图象越靠高．
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40