2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用2.4函数的周期性和对称性(3大考点+12大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用2.4函数的周期性和对称性(3大考点+12大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共13页。
\l "_Tc200480161" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc200480161 \h 3
\l "_Tc200480162" 一、函数的周期性 PAGEREF _Tc200480162 \h 3
\l "_Tc200480163" 二、函数的对称性 PAGEREF _Tc200480163 \h 3
\l "_Tc200480164" 三、函数的周期对称综合 PAGEREF _Tc200480164 \h 3
\l "_Tc200480165" 常用二级结论 PAGEREF _Tc200480165 \h 4
\l "_Tc200480166" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc200480166 \h 5
\l "_Tc200480167" 题型一：函数周期的推算 PAGEREF _Tc200480167 \h 5
\l "_Tc200480168" 题型二：利用周期性求解析式 PAGEREF _Tc200480168 \h 5
\l "_Tc200480169" 题型三：奇偶性与周期性 PAGEREF _Tc200480169 \h 6
\l "_Tc200480170" 题型四：周期内循环 PAGEREF _Tc200480170 \h 6
\l "_Tc200480171" 题型五：周期与零点 PAGEREF _Tc200480171 \h 7
\l "_Tc200480172" 题型六：类周期函数 PAGEREF _Tc200480172 \h 8
\l "_Tc200480173" 题型七：奇函数周期零点 PAGEREF _Tc200480173 \h 9
\l "_Tc200480174" 题型八：自对称中的轴对称 PAGEREF _Tc200480174 \h 9
\l "_Tc200480175" 题型九：自对称中的中心对称 PAGEREF _Tc200480175 \h 11
\l "_Tc200480176" 题型十：双函数对称问题 PAGEREF _Tc200480176 \h 12
\l "_Tc200480177" 题型十一：三次函数对称性 PAGEREF _Tc200480177 \h 13
\l "_Tc200480178" 题型十二：双对称与周期 PAGEREF _Tc200480178 \h 14
\l "_Tc200480179" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc200480179 \h 15
\l "_Tc200480180" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc200480180 \h 16
\l "_Tc200480181" ①数形结合 PAGEREF _Tc200480181 \h 16
\l "_Tc200480182" ②转化与化归 PAGEREF _Tc200480182 \h 16
\l "_Tc200480183" ③分类讨论 PAGEREF _Tc200480183 \h 17
\l "_Tc200480184" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc200480184 \h 18
\l "_Tc200480185" 基础过关篇 PAGEREF _Tc200480185 \h 18
\l "_Tc200480186" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc200480186 \h 20
1、了解函数的周期性及其几何意义.
2、能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.
3、会依据函数的性质进行简单的应用.
一、函数的周期性
1、周期：若函数对定义域内的任意满足：，则为函数的周期．
最小正周期：周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小正数就叫做的最小正周期．
二、函数的对称性
1、轴对称
将关于轴对称的偶函数图象向左或向右平移个单位后，其图象关于直线对称．
①图象关于直线对称；
②图象关于直线对称．
2、中心对称
将关于原点对称的奇函数图象向左或向右平移个单位后，其图象关于点对称．
①函数图象关于点成中心对称；
②函数图象关于点成中心对称；
③函数图象关于点成中心对称．
三、函数的周期对称综合
1、若关于点，对称，则是周期函数，且
2、若图象有两条对称轴，则是周期函数，且
3、若关于点对称，且关于对称，则是周期函数，且
常用二级结论
1、常用周期结论
①，则的周期
②，则的周期
③，则的周期
④，则的周期
⑤，则的周期
⑥，则的周期
⑦，则的周期
⑧，则的周期
⑨，则的周期
⑩，则的周期
2、若为奇函数则关于点对称；若为偶函数则关于对称
3、若图象关于直线或点对称，且有个零点，，，，则．若，的图象都关于直线对称，且有个交点，则交点的横坐标之和为．若，的图象都关于点对称，且有个交点，则交点的横坐标之和为，纵坐标之和为．
题型一：函数周期的推算
【例1】（2025·湖北十堰·三模）已知定义在上的奇函数满足，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【解题总结】
求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.
【变式1-1】（2025·高三·浙江·开学考试）已知函数满足：，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-2】已知函数满足对于任意的实数，都有，且，则（ ）
A．B．C．D．1
【变式1-3】已知函数对于任意实数满足条件，若，则（ ）
A．B．C．D．4
题型二：利用周期性求解析式
【例2】写出一个同时满足下列两个条件的函数 .
①；
②恒成立.
【解题总结】
利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
【变式2-1】设是周期为2的奇函数，当时，，则时，＝ ．
【变式2-2】函数的周期为，且当时，，则，的解析式为 ．
【变式2-3】已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时， .
题型三：奇偶性与周期性
【例3】已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则 ．
【变式3-1】已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的周期为 ： ．
【变式3-2】（2025·高三·福建福州·期中）已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，且，则 .
【变式3-3】已知是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则 ， .
题型四：周期内循环
【例4】（多选题）（2025·安徽合肥·三模）已知，，且当时，则下列正确的是（ ）
A．B．当时，
C．D．
【变式4-1】（多选题）（2025·广西北海·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ）
A．B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称D．函数有5个零点
【变式4-2】（多选题）（2025·湖南邵阳·三模）已知函数的定义域为，且，，当时，单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称B．函数为奇函数
C．D．
【变式4-3】（多选题）（2025·河北石家庄·三模）已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（ ）
A．的图象关于点中心对称
B．是周期为2的函数
C．
D．
题型五：周期与零点
【例5】已知是定义域为旳奇函数，满足，且当时．给出下列三个结论：
①；
②函数在区间内有且仅有3个零点；
③不等式的解集为，．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式5-1】（2025·湖南邵阳·三模）设，是定义在上的两个周期函数，的周期为8，的周期为4，且是奇函数．当时，，，若在区间上，函数恰有8个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】已知定义在R上的偶函数满足，且当时，则的零点个数为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【变式5-3】已知定义在上的奇函数，当时，，若恒成立，则函数的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
题型六：类周期函数
【例6】（2025·高三·浙江·开学考试）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【解题总结】
⑴若（，为非零常数），则称为“周期性”阶梯函数．
⑵若（，为非零常数），则称为“周期性”倍增函数．
⑶若（，，为非零常数），则称为“周期性”倍增阶梯函数．
【变式6-1】设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（多选题）设函数的定义域为，满足，且当时，.则（ ）
A．当时，
B．关于的方程有且仅有3个实数根
C．若对任意都有，则的最大值为
D．
【变式6-3】设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意都有，则的取值范围是 ．
题型七：奇函数周期零点
【例7】（2025·吉林·模拟预测）已知定义域为R的奇函数满足，则（ ）
A．B．
C．的最小正周期为2D．是曲线的一条对称轴
【变式7-1】已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【变式7-2】（2025·山西·一模）已知是定义在R上的奇函数，且的一个周期为4，若，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式7-3】（2025·山东烟台·一模）已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，若，则正整数的最小值为（ ）
A．17B．19C．21D．23
题型八：自对称中的轴对称
【例8】已知函数满足，若与图象的交点为，则（ ）
A．B．0C．8D．12
【解题总结】
函数的图象关于直线对称；
【变式8-1】（2025·高三·山东菏泽·期中）已知函数满足，若函数与图象的交点为，，则（ ）.
A．0B．nC．D．
【变式8-2】（多选题）已知函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是（ ）
A．的一条对称轴是直线B．的一条对称轴是直线
C．方程有3个解D．
【变式8-3】（多选题）定义在R上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2025个交点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为的对称轴
C．D．
【变式8-4】（多选题）若函数的定义域为，且偶函数，关于点成中心对称.则下列说法正确的是（ ）
A．的一个周期为2B．
C．的一条对称轴为D．
【变式8-5】（多选题）已知函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是（ ）
A．的图象的一条对称轴是直线B．当时，
C．函数有3个零点D．
题型九：自对称中的中心对称
【例9】已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为则（ ）
A．2B．1C．D．0
【解题总结】函数图象关于点成中心对称．
【变式9-1】（2025·高三·黑龙江鸡西·期中）已知函数共有个交点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式9-2】我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数是奇函数，，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数是奇函数
C．函数的导函数关于直线对称
D．若函数的图象与函数的图象有2024个交点，记为，则
【变式9-3】（2025·广东珠海·模拟预测）已知函数定义域为，且满足，，若的图象与的图象的交点分别为，，……，，则（ ）
A．0B．C．D．
【变式9-4】（2025·河南·一模）已知曲线关于点中心对称，则（ ）
A．2B．1C．D．
【变式9-5】（2025·陕西咸阳·二模）已知是定义在上的函数，且为奇函数，若函数的图象与函数的图象有个交点，…，，且，则的值为（ ）
A．1010B．1012C．1014D．1016
题型十：双函数对称问题
【例10】函数与的图象关于（ ）
A．轴对称B．轴对称
C．直线对称D．原点中心对称
【解题总结】
1、函数和函数关于轴对称．
2、函数和函数关于轴对称．
3、函数和函数关于对称．
4、函数和函数关于对称．
【变式10-1】已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象（ ）
A．关于x＝1对称B．关于x＝3对称C．关于y＝3对称D．关于(3，0)对称
【变式10-2】设函数的定义域为，则函数与函数的图象关于（ ）
A．直线对称B．直线对称
C．直线对称D．直线对称
【变式10-3】设函数的定义域为，则函数与函数的图象关于（ ）
A．直线对称B．直线对称
C．直线对称D．直线对称
【变式10-4】已知函数与的图象上存在关于对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型十一：三次函数对称性
【例11】对于三次函数给出定义: 设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算（ ）
A．1010B．2020C．2023D．2024
【解题总结】
三次函数的图象关于点对称．
【变式11-1】已知所有的三次函数都有对称中心，若函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式11-2】（2025·江西上饶·模拟预测）已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若，则（ ）
A．0B．4C．D．
【变式11-3】（2025·陕西咸阳·三模）设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设，数列的通项公式为，则（ ）
A．2017B．2018C．8068D．4034
题型十二：双对称与周期
【例12】（多选题）已知函数是奇函数，是的导函数，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．函数为偶函数
C．D．函数的周期为4
【解题总结】
1、若关于点，对称，则是周期函数，且
2、若图象有两条对称轴，则是周期函数，且
3、若关于点对称，且关于对称，则是周期函数，且
【变式12-1】（多选题）（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数满足关系式，，且在上的解析式为，为的导函数，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．为奇函数
【变式12-2】（多选题）（2025·宁夏银川·三模）已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．是周期为3的周期函数D．
【变式12-3】（多选题）（2025·福建莆田·三模）已知定义域为的函数是偶函数，且，，若，其中，则（ ）
A．B．
C．D．的最小值为
1．已知曲线的对称中心为点M，曲线上两个不重合的动点、关于点M对称，则的取值范围是
A．B．C．D．
2．（多选题）定义在R上的奇函数与函数的图象关于直线对称，则
A．函数图象关于点对称
B．函数图象关于点对称
C．函数与图象关于直线对称
D．函数与图象关于直线对称
3．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
①数形结合
1．已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）
A．的周期为2
B．…
C．的所有零点之和为16
D．
2．已知函数分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且当时，，则下列说法正确的是
A．是周期为2的函数B．
C．函数为奇函数D．函数有5个零点
3．（多选题）已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，则下列结论正确的是
A．B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称D．函数有5个零点
②转化与化归
4．已知函数为定义在R上的函数的导函数，若，，且，则 ．
5．已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则当时， ．
6．已知函数的定义域为R，若函数为奇函数，为偶函数，则 ．
③分类讨论
7．已知函数，，若的图象与的图象的交点分别为，则 ．
8．已知函数，给出下列命题：
必为偶函数；
若，则的图象关于直线对称；
若，则在区间上是增函数；
有最大值
其中正确命题的序号是 ．
填出所有你认为正确的命题的序号
9．已知函数，若关于x的方程有4个不同的实数根，且所有实数根之和为2，则实数t的取值范围为 ．
基础过关篇
1．（2025年高考全国一卷数学真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
4．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·河北·模拟预测）已知定义在上的函数满足：，且，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2025·辽宁·三模）已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．0C．1D．2
7．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·河北·模拟预测）若函数是定义域为R且周期为3的奇函数，且，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
9．（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数满足：，且，若，则（ ）
A．1B．C．D．
10．（2025·云南·模拟预测）设是定义在上的奇函数，，，则（ ）
A．0B．-1012C．-2D．1010
11．（2025·江西·二模）已知函数是定义在上的函数，，且对任意的都有，，若，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2025·江西赣州·二模）已知函数是定义在上且周期为的奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
13．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法错误的是（ ）
A．为偶函数B．为周期函数且周期为12
C．D．
14．（多选题）（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数对任意实数a，b都有，且，则（ ）
A．B．
C．D．若x为正整数，则
能力拓展篇
15．（多选题）（2025·四川成都·三模）已知函数，对任意，均有，且为的导函数，则（ ）
A．B．为奇函数
C．D．
16．（多选题）（2025·海南·模拟预测）已知函数的定义域为，且，曲线的图象关于直线对称．若时，，则（ ）
A．B．
C．D．
17．（多选题）（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知对任意，且，则（ ）
A．B．
C．的图象关于直线对称D．
18．已知定义在上的函数的图象经过坐标原点，，，且为偶函数，则 ．
19．（2025·四川攀枝花·三模）函数的最小值为 ．
20．（2025·河北·二模）已知定义在上的函数的导函数为，为偶函数，且，则 ．
21．（2025·山西忻州·模拟预测）已知函数，的定义域均为R，且为偶函数，为奇函数，函数的最小值为，若函数有两个零点s，t，则 ．
2.4 函数的周期性和对称性
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc200480160" 01 课标要求 PAGEREF _Tc200480160 \h 2
\l "_Tc200480161" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc200480161 \h 3
\l "_Tc200480162" 一、函数的周期性 PAGEREF _Tc200480162 \h 3
\l "_Tc200480163" 二、函数的对称性 PAGEREF _Tc200480163 \h 3
\l "_Tc200480164" 三、函数的周期对称综合 PAGEREF _Tc200480164 \h 3
\l "_Tc200480165" 常用二级结论 PAGEREF _Tc200480165 \h 3
\l "_Tc200480166" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc200480166 \h 5
\l "_Tc200480167" 题型一：函数周期的推算 PAGEREF _Tc200480167 \h 5
\l "_Tc200480168" 题型二：利用周期性求解析式 PAGEREF _Tc200480168 \h 6
\l "_Tc200480169" 题型三：奇偶性与周期性 PAGEREF _Tc200480169 \h 8
\l "_Tc200480170" 题型四：周期内循环 PAGEREF _Tc200480170 \h 9
\l "_Tc200480171" 题型五：周期与零点 PAGEREF _Tc200480171 \h 13
\l "_Tc200480172" 题型六：类周期函数 PAGEREF _Tc200480172 \h 16
\l "_Tc200480173" 题型七：奇函数周期零点 PAGEREF _Tc200480173 \h 19
\l "_Tc200480174" 题型八：自对称中的轴对称 PAGEREF _Tc200480174 \h 21
\l "_Tc200480175" 题型九：自对称中的中心对称 PAGEREF _Tc200480175 \h 25
\l "_Tc200480176" 题型十：双函数对称问题 PAGEREF _Tc200480176 \h 29
\l "_Tc200480177" 题型十一：三次函数对称性 PAGEREF _Tc200480177 \h 31
\l "_Tc200480178" 题型十二：双对称与周期 PAGEREF _Tc200480178 \h 33
\l "_Tc200480179" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc200480179 \h 38
\l "_Tc200480180" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc200480180 \h 41
\l "_Tc200480181" ①数形结合 PAGEREF _Tc200480181 \h 41
\l "_Tc200480182" ②转化与化归 PAGEREF _Tc200480182 \h 44
\l "_Tc200480183" ③分类讨论 PAGEREF _Tc200480183 \h 45
\l "_Tc200480184" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc200480184 \h 48
\l "_Tc200480185" 基础过关篇 PAGEREF _Tc200480185 \h 48
\l "_Tc200480186" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc200480186 \h 56
1、了解函数的周期性及其几何意义.
2、能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.
3、会依据函数的性质进行简单的应用.
一、函数的周期性
1、周期：若函数对定义域内的任意满足：，则为函数的周期．
最小正周期：周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小正数就叫做的最小正周期．
二、函数的对称性
1、轴对称
将关于轴对称的偶函数图象向左或向右平移个单位后，其图象关于直线对称．
①图象关于直线对称；
②图象关于直线对称．
2、中心对称
将关于原点对称的奇函数图象向左或向右平移个单位后，其图象关于点对称．
①函数图象关于点成中心对称；
②函数图象关于点成中心对称；
③函数图象关于点成中心对称．
三、函数的周期对称综合
1、若关于点，对称，则是周期函数，且
2、若图象有两条对称轴，则是周期函数，且
3、若关于点对称，且关于对称，则是周期函数，且
常用二级结论
1、常用周期结论
①，则的周期
②，则的周期
③，则的周期
④，则的周期
⑤，则的周期
⑥，则的周期
⑦，则的周期
⑧，则的周期
⑨，则的周期
⑩，则的周期
2、若为奇函数则关于点对称；若为偶函数则关于对称
3、若图象关于直线或点对称，且有个零点，，，，则．若，的图象都关于直线对称，且有个交点，则交点的横坐标之和为．若，的图象都关于点对称，且有个交点，则交点的横坐标之和为，纵坐标之和为．
题型一：函数周期的推算
【例1】（2025·湖北十堰·三模）已知定义在上的奇函数满足，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】因为为定义在上的奇函数，则，
又因为，则，
可得，可知2为的一个周期，
所以.
故选：B.
【解题总结】
求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.
【变式1-1】（2025·高三·浙江·开学考试）已知函数满足：，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】根据题意，，显然，所以，
所以，函数的一个周期为8，
所以.
故选：A
【变式1-2】已知函数满足对于任意的实数，都有，且，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】由得，
所以函数的周期，
所以．
故选：B.
【变式1-3】已知函数对于任意实数满足条件，若，则（ ）
A．B．C．D．4
【答案】D
【解析】因为，
所以，则周期为4，
又因为，所以，
所以.
故选：D.
题型二：利用周期性求解析式
【例2】写出一个同时满足下列两个条件的函数 .
①；
②恒成立.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由条件①可得，，即函数为周期是的周期函数；
由条件②恒成立，可知只需使，即 为最小值点.
故可取.
故答案为：.(答案不唯一)
【解题总结】
利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
【变式2-1】设是周期为2的奇函数，当时，，则时，＝ ．
【答案】
【解析】当时，，则，
因为当时，，所以．
因为是周期为2的奇函数，
所以，
故答案为：
【变式2-2】函数的周期为，且当时，，则，的解析式为 ．
【答案】/
【解析】因为函数的周期为，当时，，
且，当时，则，
故当时，.
故答案为：.
【变式2-3】已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时， .
【答案】
【解析】因为当时，,是定义在上周期为的函数
所以，，
故答案为：
题型三：奇偶性与周期性
【例3】已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则 ．
【答案】
【解析】由为偶函数，，即，
由为奇函数，，即，
所以，即，即，
所以，即是周期为4的函数，
所以，又，
所以.
故答案为：
【变式3-1】已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的周期为 ： ．
【答案】 4
【解析】因为，所以，
所以函数的周期为4；
又因为函数为奇函数，且当时，，
所以.
故答案为：4；.
【变式3-2】（2025·高三·福建福州·期中）已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，且，则 .
【答案】
【解析】因为为奇函数，所以，
即，所以，
因为为偶函数，所以，
所以，即，
所以，
则是周期为的周期函数，
因为，即，
则，，
所以，
因为，所以，则，
则
.
故答案为：.
【变式3-3】已知是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则 ， .
【答案】 / /
【解析】因为是定义在上的奇函数，则，
又函数为偶函数，则，可得，
则，可得，可知的一个周期为4，
所以；.
故答案为：；.
题型四：周期内循环
【例4】（多选题）（2025·安徽合肥·三模）已知，，且当时，则下列正确的是（ ）
A．B．当时，
C．D．
【答案】BCD
【解析】∵，
∴，即，
两式相乘，
∵，∴，即，
∴，所以函数周期为6，故A错误；
当时，，
又，故B正确；
∵，
∴除以6余数为5，故，故C正确，
由题知，，
代入可求，
∴，
故D正确，
故选：BCD.
【变式4-1】（多选题）（2025·广西北海·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ）
A．B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称D．函数有5个零点
【答案】ACD
【解析】为奇函数，故，即①，
又为偶函数，故②，
则由①②可得，，
则，则的一个周期为4，
在①中令有，
又当时，，则，则，
所以，
故A正确；
由②可得，，则，
即函数是定义在上的偶函数，
因时，，则是上的增函数，
则是上的减函数，
因是的一个周期，则是上的减函数，故B错误；
因为函数是定义在上的偶函数，所以，
所以的图象关于直线对称，故C正确；
函数的零点个数可以转化为与图象的交点个数，
由题意得与的图象如下：
当时，，
当时，，
当时，，
结合图象可知，函数在上存在1个零点，
当时，，
当时，，
由此可得与的图象有5个交点，
所以有5个零点，故D正确．
故选：ACD．
【变式4-2】（多选题）（2025·湖南邵阳·三模）已知函数的定义域为，且，，当时，单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称B．函数为奇函数
C．D．
【答案】BC
【解析】因为，所以，所以关于点中心对称，故A错误；
令，所以，又，
所以，故为奇函数，故B正确；
又因为，所以是偶函数，所以，
所以，所以，
所以是周期为4的函数，
令，得，令，得，令，得，
所以，故C正确；
，
又，
故，又因为当，单调递减，且，
所以，所以关于点中心对称，
所以在区间上单调递减，所以，
所以，故D错误.
故选：BC.
【变式4-3】（多选题）（2025·河北石家庄·三模）已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（ ）
A．的图象关于点中心对称
B．是周期为2的函数
C．
D．
【答案】AC
【解析】对于A，因为是R上的奇函数，其图象关于原点对称，
又可看成是函数向左平移1个单位得到，所以的图象关于点中心对称，故A正确；
对于B，由是R上的奇函数，可得，即 ，
又，则，所以，故是周期为4的函数，故B错误；
对于 C，由，令，得，则，
，故C正确；
对于D，由，则，又，是周期为4的函数，
则，
而的值无法确定，故D错误.
故选：AC.
题型五：周期与零点
【例5】已知是定义域为旳奇函数，满足，且当时．给出下列三个结论：
①；
②函数在区间内有且仅有3个零点；
③不等式的解集为，．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】由题意，
所以，所以，①正确；
再结合，可得：，
所以的周期为2，
由时，，
结合奇函数性质可知：当，
所以在一个周期内，的解集为，
在结合函数周期为2，可得：的解集为：，；③正确；
通过，令，可得，则，
结合函数的周期为2，在内，结合函数值的正负情况有，
所以函数在区间内有且仅有5个零点；②错误；
故选：C
【变式5-1】（2025·湖南邵阳·三模）设，是定义在上的两个周期函数，的周期为8，的周期为4，且是奇函数．当时，，，若在区间上，函数恰有8个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，令，即且，
故图象是以为圆心，2为半径的半圆，
又的周期为8，若直线过时，即，
在同一坐标系，在区间上的图象如下，恰有8个交点，
当直线与半圆且相切时，，
所以，可得，结合图知，
当与半圆且相交时，只有一个交点，
此时，上，恰有5个交点，
综上，实数的取值范围是.
故选：C
【变式5-2】已知定义在R上的偶函数满足，且当时，则的零点个数为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【解析】依题意，因为偶函数满足，所以函数的周期为2，
且当时，如图所示,
的零点等价于函数与函数的交点个数，
所以零点个数为8个.
故选：C.
【变式5-3】已知定义在上的奇函数，当时，，若恒成立，则函数的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】等价于，故的零点个数等于曲线和直线的交点个数，
，故的一个周期为4，
又，故曲线关于直线对称，
当时，递增，可画出在上的图象，
再根据曲线关于直线对称可画出在上的图象，
最后利用周期性可画出的图象，再在同一坐标系内画出的图象，
由图可知两图象共有5个交点，则函数的零点个数为5，故选D选项．
故选：D.
题型六：类周期函数
【例6】（2025·高三·浙江·开学考试）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时，的最小值是
由知
当时，的最小值是
当时，的最小值是
要使，则，
解得：或
故选：D.
【解题总结】
⑴若（，为非零常数），则称为“周期性”阶梯函数．
⑵若（，为非零常数），则称为“周期性”倍增函数．
⑶若（，，为非零常数），则称为“周期性”倍增阶梯函数．
【变式6-1】设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵，时，，
∴时，，，
∴时，，，
由，解得或，
若对任意，都有，则，
故选A．
【变式6-2】（多选题）设函数的定义域为，满足，且当时，.则（ ）
A．当时，
B．关于的方程有且仅有3个实数根
C．若对任意都有，则的最大值为
D．
【答案】ACD
【解析】定义在上的函数，由，得，
对于A，当时，，则，A正确；
对于B，当时，，，由，得；
当时，，解得；当时，，
解得或，因此方程的根不只3个，B错误；
对于C，当时，，则，
当时，，当时，，
因此由的图象每向右移一个单位，所得函数在该区间上的最小值变为相邻上一个区间上最小值的2倍，
由图知，要使对任意，都有，则，
由，得，因此m的最大值是，C正确；
对于D，由选项C知，，，
数列是以为首项，2为公比的等比数列，，
，则，
于是，
两式相减得，
因此，D正确.
故选：ACD
【变式6-3】设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意都有，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
且，
作出的大致图象如下图所示：
由图象可知：若，对于任意都有显然不成立，所以，
由图象可知，当时，令，则有，解得或，
结合图象可知，若对于任意都有成立，则有，
故答案为：.
题型七：奇函数周期零点
【例7】（2025·吉林·模拟预测）已知定义域为R的奇函数满足，则（ ）
A．B．
C．的最小正周期为2D．是曲线的一条对称轴
【答案】B
【解析】对于A选项，已知是定义域为的奇函数，则.
令，代入可得：，将代入得，即，所以A选项错误.
对于B选项，因为是奇函数，则.
由可得.
用代替可得，又因为，所以，即.
那么.
同理.
.
.
令，则，所以B选项正确.
对于C选项，由可知，所以的最小正周期不是，C选项错误.
对于D选项，由，得不是曲线的对称轴，D选项错误.
故选：B.
【变式7-1】已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，，
所以，所以，
又，所以函数是周期为的周期函数，
则.
故选：A.
【变式7-2】（2025·山西·一模）已知是定义在R上的奇函数，且的一个周期为4，若，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】由题故．又，，故．
结合周期性可知，
故．
故选：C
【变式7-3】（2025·山东烟台·一模）已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，若，则正整数的最小值为（ ）
A．17B．19C．21D．23
【答案】B
【解析】由，则，
所以，即是周期为8的函数，
由为奇函数，则，则，
所以，即是偶函数，
由，则，结合周期性，
对于，依次为，
所以是周期为4的函数，则
，
，
，
，
，
，
综上，易知时，，时，.
所以正整数的最小值为19.
故选：B
题型八：自对称中的轴对称
【例8】已知函数满足，若与图象的交点为，则（ ）
A．B．0C．8D．12
【答案】D
【解析】因为，所以的图象关于对称，
又因为的图象关于对称，
所以函数图象的交点也关于对称，
故，
故选：D．
【解题总结】
函数的图象关于直线对称；
【变式8-1】（2025·高三·山东菏泽·期中）已知函数满足，若函数与图象的交点为，，则（ ）.
A．0B．nC．D．
【答案】C
【解析】函数的图象如图所示：
其图象关于直线对称，
又函数满足，所以函数图象关于直线对称，
所以它们交点的横坐标关于直线对称，不妨设与关于直线对称，
则与关于直线对称，，则有，，，
所以，又，
所以.
故选：C.
【变式8-2】（多选题）已知函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是（ ）
A．的一条对称轴是直线B．的一条对称轴是直线
C．方程有3个解D．
【答案】AC
【解析】函数是偶函数，所以的图象关于直线对称，A选项正确.
由于函数是奇函数，所以的图象关于对称，B选项错误.
则，所以，
即有，
所以是周期为的周期函数.
当时，，
画出、的大致图象如下图所示，
由图象以及的周期性可知，两个函数图象有个交点，
则有3个解，C选项正确.
，
，所以，
所以，所以D选项错误.
故选：AC
【变式8-3】（多选题）定义在R上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2025个交点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为的对称轴
C．D．
【答案】BCD
【解析】因为，所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
又为奇函数，所以，
即，则函数的图象关于点对称，
则，所以，故C正确；
所以，，
即，所以函数是周期函数，周期为，
，故A错误；
又，所以函数的图象关于点对称，
因此函数与的交点也关于点对称，
则，故D正确，
故选：BCD.
【变式8-4】（多选题）若函数的定义域为，且偶函数，关于点成中心对称.则下列说法正确的是（ ）
A．的一个周期为2B．
C．的一条对称轴为D．
【答案】BCD
【解析】因为偶函数，故，故，
所以的图像有一条对称轴为直线，且，
又关于点成中心对称，故，
故，故且，
所以，所以，
所以，故为周期函数且周期为，
故有对称轴为，故C正确.
而，故B正确.
由可得，
故，由可得，
故，故，故D成立，
取， 则，
，
故为偶函数，关于点成中心对称，满足题设要求，
但的周期为4，故A错误.
故选：BCD.
【变式8-5】（多选题）已知函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是（ ）
A．的图象的一条对称轴是直线B．当时，
C．函数有3个零点D．
【答案】ACD
【解析】对于A：由于是偶函数，因此可以得到，
用替换可以得到，则的对称轴为，
选项A正确；
对于B：当时，显然是一个增函数，此时，因此，
选项B错误；
对于C：由于是奇函数，因此可以得到，
则，因此，故，
因此，则，则4是函数的周期.
当时，是一个向下凹的曲线，在的下方，
容易知道是两者一个交点的横坐标，由于是的对称轴，
因此当时，，
由于，因此当时，，
而4是函数的周期，因此当时，和无交点.
由于，且4是函数的周期，因此，
进一步得到，因此，
故是奇函数，而也是奇函数，因此当时两者也只有一个交点，
显然是它们一个交点的横坐标，故总共有三个交点，即有三个零点，
选项C正确.
对于D：由于，因此，有.
则，D选项正确.
故选：ACD.
题型九：自对称中的中心对称
【例9】已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为则（ ）
A．2B．1C．D．0
【答案】C
【解析】由得关于对称，
由得，
即，
所以也关于对称，
因此两函数图象交点也是对称的，
假设点与点对称，
则，所以推理可得.
【解题总结】函数图象关于点成中心对称．
【变式9-1】（2025·高三·黑龙江鸡西·期中）已知函数共有个交点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数满足，
的图象关于点对称，
而，
所以函数的图象也关于对称，
设


令，则，
，
令，则，
，
，
故选：C
【变式9-2】我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数是奇函数，，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数是奇函数
C．函数的导函数关于直线对称
D．若函数的图象与函数的图象有2024个交点，记为，则
【答案】D
【解析】对于选项A：因为是奇函数，所以函数的图象关于点对称，所以选项A正确；
对于选项B：令， ，即函数是奇函数，所以选项B正确；
对于选项C：由选项B可知是奇函数，所以，
两边同时求导可得，即，所以关于直线对称，所以选项C正确；
对于选项D：函数的图象与函数的图象有2024个交点关于点对称，
因此，所以选项D错误.
故选：D．
【变式9-3】（2025·广东珠海·模拟预测）已知函数定义域为，且满足，，若的图象与的图象的交点分别为，，……，，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【解析】对于，，，
所以的图象关于点对称．因为
所以是奇函数，是奇函数，图象关于原点对称，
所以的图象关于点对称，
所以，的图象的交点关于对称，
所以．
故选：D
【变式9-4】（2025·河南·一模）已知曲线关于点中心对称，则（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】C
【解析】因为关于点中心对称，
所以，
所以，可得，
故选：C．
【变式9-5】（2025·陕西咸阳·二模）已知是定义在上的函数，且为奇函数，若函数的图象与函数的图象有个交点，…，，且，则的值为（ ）
A．1010B．1012C．1014D．1016
【答案】B
【解析】因为为奇函数，所以，
所以的图象关于点对称，
函数，
对于函数，
可得，
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，
所以的图象关于对称，
所以为偶数，这些根成对出现，每对和为，
所以设，则，所以，解得.
故选：B.
题型十：双函数对称问题
【例10】函数与的图象关于（ ）
A．轴对称B．轴对称
C．直线对称D．原点中心对称
【答案】D
【解析】令函数，，
对于A，，，，A错误；
对于B，，，，B错误；
对于C，点在的图象上，而，即点不在的图象上，C错误；
对于D，，，两个函数图象关于原点中心对称，D正确.
故选：D
【解题总结】
1、函数和函数关于轴对称．
2、函数和函数关于轴对称．
3、函数和函数关于对称．
4、函数和函数关于对称．
【变式10-1】已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象（ ）
A．关于x＝1对称B．关于x＝3对称C．关于y＝3对称D．关于(3，0)对称
【答案】A
【解析】设为图象上任意一点，说明点在函数的图象上，根据点关于直线对称得解.设为图象上任意一点，
则，
所以点在函数的图象上，
而与关于直线对称，
所以函数与的图象关于直线对称.
故选：A
【变式10-2】设函数的定义域为，则函数与函数的图象关于（ ）
A．直线对称B．直线对称
C．直线对称D．直线对称
【答案】B
【解析】函数是由向右平移一个单位得到，
函数是由向右平移一个单位得到，
又函数与关于轴对称，
所以函数与关于直线对称，
又是由向右平移个单位，
所以函数与函数关于直线对称，
故选：B.
【变式10-3】设函数的定义域为，则函数与函数的图象关于（ ）
A．直线对称B．直线对称
C．直线对称D．直线对称
【答案】D
【解析】设函数的图象上任意一点，则，
关于直线的对称点为．
又函数中，当时，，
所以在的图象上．
故函数与函数的图象关于直线对称，
故选：D
【变式10-4】已知函数与的图象上存在关于对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵函数与（）的图象上存在关于对称的点，∴有解，∴，∴在上有解，令，，在上单调递减，单调递增，， ，
故选：C.
题型十一：三次函数对称性
【例11】对于三次函数给出定义: 设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算（ ）
A．1010B．2020C．2023D．2024
【答案】B
【解析】因为，
所以，，
令，即，解得，
又，
由题中给出的结论，可知函数的对称中心为，
所以，
即，
故，
所以.
故选：B
【解题总结】
三次函数的图象关于点对称．
【变式11-1】已知所有的三次函数都有对称中心，若函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，则，
即函数的图象的对称中心为，则，
故
故选：A.
【变式11-2】（2025·江西上饶·模拟预测）已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若，则（ ）
A．0B．4C．D．
【答案】B
【解析】由题，，故二阶导函数的零点为，即对称中心的横坐标为1，
设对称中心为，则，可解得，
由，故，
故选：B
【变式11-3】（2025·陕西咸阳·三模）设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设，数列的通项公式为，则（ ）
A．2017B．2018C．8068D．4034
【答案】D
【解析】根据题意，三次函数，
则，则，
若，则有，
又由，则，
即是三次函数的对称中心，
则有，
数列的通项公式为为等差数列，
则有，
则
，所以D正确.
故选：D.
题型十二：双对称与周期
【例12】（多选题）已知函数是奇函数，是的导函数，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．函数为偶函数
C．D．函数的周期为4
【答案】ABD
【解析】由条件可知，，即，
所以函数是周期为4的函数，，故A正确；
由，两边取导数，得，即，所以是偶函数，故B正确；
由，两边取导数，得，即，
令，得，即，故C错误；
因为，两边取导数，得，即，所以函数的周期为4，故D正确.
故选：ABD
【解题总结】
1、若关于点，对称，则是周期函数，且
2、若图象有两条对称轴，则是周期函数，且
3、若关于点对称，且关于对称，则是周期函数，且
【变式12-1】（多选题）（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数满足关系式，，且在上的解析式为，为的导函数，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．为奇函数
【答案】ACD
【解析】由，可得到函数图像的对称轴为，
由，可得到函数图像的对称中心横坐标为，
所以函数的周期.
因为时，，根据对称性和周期性，可画出的图像，如图所示.
由周期性可知，，故A正确；
根据周期性可知，，故B错误；
，由图可知，，，所以，故C正确；
由图可知，函数在轴两侧的图像是对称的，因此导函数应应当关于原点对称，即为奇函数，故D正确；
故选：ACD.
【变式12-2】（多选题）（2025·宁夏银川·三模）已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．是周期为3的周期函数D．
【答案】BCD
【解析】对于A，，所以不是奇函数，错误；
对于B：因为为奇函数，
所以，
由，可得：，
所以，即，
所以，偶函数，正确；
对于C：由，
可得，所以是周期为3的周期函数，正确；
对于D，，
所以，
由周期性可得：
故选：BCD
【变式12-3】（多选题）（2025·福建莆田·三模）已知定义域为的函数是偶函数，且，，若，其中，则（ ）
A．B．
C．D．的最小值为
【答案】ACD
【解析】在中，令，得，即，又是偶函数，所以，故A正确；
因为是偶函数，所以，又，
所以，将替换为可得①，
将替换为可得②，
可得，即，
所以是的一个周期，
又，，，，，
所以，故B错误；
因为，所以关于中心对称，
又是偶函数，所以关于中心对称，
所以，
即，，，，，
令，得，
，即，
所以，解得，故C正确；
由，得，且，
当时，则，，
，
当且仅当，即，时等号成立；
当时，，，
，
当且仅当，即，时等号成立，又，
所以的最小值为，故D正确．
故选：ACD．
1．已知曲线的对称中心为点M，曲线上两个不重合的动点、关于点M对称，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：方法一：因为，
得曲线的对称中心为，
所以，即，
，
又因为A、B两点不重合，故，得，
所以；
方法二：不妨设点，由题意可得，
等式两边求导得，即，
点、关于点M对称，则，
则，
又，所以，
即，
又，化简得，则，可得，
所以，
因此的取值范围是
故选：
2．（多选题）定义在R上的奇函数与函数的图象关于直线对称，则
A．函数图象关于点对称
B．函数图象关于点对称
C．函数与图象关于直线对称
D．函数与图象关于直线对称
【答案】ACD
【解析】解：法一：因为是奇函数，则，
则图象关于点对称，A正确；
奇函数关于原点对称，又函数与关于直线对称，
则关于点对称，得，
得关于点对称，故B错误；
由与函数关于直线对称得，
所以函数与图象关于对称，故C正确；
，
得函数与图象关于对称，故D正确；
法二：因为是奇函数，设，则，，
又与函数关于直线对称，则，
，由，故A正确；
不关于点对称，故B错误；
由，关于直线对称，故C正确；
由，关于直线对称，故D正确；
法三：画图象由图可知，ACD正确．

故选：
3．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【解析】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
①数形结合
1．已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）
A．的周期为2
B．…
C．的所有零点之和为16
D．
【答案】D
【解析】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，是定义在R上的奇函数，则，
又由为偶函数，则的图象关于直线对称，则有，
故有，故的周期不为2，变形可得，
的周期为4，故A错误；
对于B，由A的结论，，则有，
可得：，，，
则有，
又由的周期为4，
故…
，故B错误；
对于C，的零点可看作与的图象交点的横坐标，
作出与的图象，如图：
观察图形知，直线与的图象共有7个交点，且它们关于点成中心对称，
故函数的所有零点之和为，故C错误；
对于D，设，
函数的最小正周期，易得的周期为4，
在区间上，，，此时有，
在区间上，，，此时有，
而的周期为4，故有恒成立，故D正确．
故选：
2．已知函数分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且当时，，则下列说法正确的是
A．是周期为2的函数B．
C．函数为奇函数D．函数有5个零点
【答案】D
【解析】解：A，为R上的奇函数，为偶函数，
所以的图象关于直线对称，，
即，则是以4为周期的函数，错误；
B，是R上的奇函数，则是以4为周期的函数，则，
当时，，则，则，
所以，错误；
C，为偶函数，所以，即，故是偶函数，错误；
D，函数的零点个数等价于和的图象的交点个数，
而，结合和的图象，共有5个交点，正确．

故选：D
3．（多选题）已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，则下列结论正确的是
A．B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称D．函数有5个零点
【答案】ACD
【解析】解：因为为奇函数，则，
函数的图象关于点对称，则有，
又因为为偶函数，则，
函数的图象关于直线对称，则有，
由和可得，
令，则，，即，
那么，所以，函数的周期是4，
又当时，，如图：
则，故A正确；
在区间上单调递减，故B错误；
的图象关于直线对称，故C正确；
因为的图像和的图像有5个不同的交点，
故函数有5个零点，故D正确．
故选：
②转化与化归
4．已知函数为定义在R上的函数的导函数，若，，且，则 ．
【答案】
【解析】
解：函数的定义域为R，因为，
所以函数关于点对称，
因为，两边求导：，
所以关于直线对称，
又，
所以函数关于对称，
，又，
所以，即，
所以，所以8为函数的一个周期，
所以，，，，
5．已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则当时， ．
【答案】
【解析】解：因为函数是定义在R上的偶函数，所以，
当时，，
又当时，，
则
故答案为：
6．已知函数的定义域为R，若函数为奇函数，为偶函数，则 ．
【答案】2
【解析】解：因为函数为奇函数，定义域为R，所以有，
又因为为偶函数，所以，
于是有，
所以函数的周期为4，
则，
所以
故答案为
③分类讨论
7．已知函数，，若的图象与的图象的交点分别为，则 ．
【答案】10
【解析】解：函数在R上单调递减，当时，，
，则的图象关于点对称，
的最小正周期为2，，的图象关于点对称，
因此函数与的图象有相同的对称中心，它们的交点关于点对称，
当时，，即当时，函数与的图象没有交点，
根据对称性，时两者没有交点，
当时，在上单调递增，在上单调递减，，
，，
当时，，因此当时，函数与的图象有2个交点，
根据对称性，时，两图象也有2交点，
所以函数与图象共有5个交点，不妨设，
则关于对称，关于对称，，
则
故答案为：
8．已知函数，给出下列命题：
必为偶函数；
若，则的图象关于直线对称；
若，则在区间上是增函数；
有最大值
其中正确命题的序号是 ．
填出所有你认为正确的命题的序号
【答案】
【解析】
解：当时，不具有奇偶性，错误；
令，，则，
此时，
但的对称轴为y轴，而不关于直线对称，错误；
因为，图象的对称轴为直线
根据题意，，
所以，
显然在上是增函数，
故正确；
无最大值，故不正确．
故答案为
9．已知函数，若关于x的方程有4个不同的实数根，且所有实数根之和为2，则实数t的取值范围为 ．
【答案】
【解析】
解：令，则；
故的图象关于对称，
又方程有4个不同的实数根，且所有实数根之和为2，
故，故；
故，
作函数的图象如下，
关于x的方程有4个不同的实数根，
可转化为函数与有四个不同的交点，
故结合图象可知，实数t的取值范围为：
故答案为
基础过关篇
1．（2025年高考全国一卷数学真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题知对一切成立，
于是.
故选：A
2．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
3．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
【答案】AD
【解析】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
4．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
5．（2025·河北·模拟预测）已知定义在上的函数满足：，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由得，，三式相加得，
，
即，又，所以，则，
所以
故A，B错误；
，故C正确，D错误.
故选：C．
6．（2025·辽宁·三模）已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】由为奇函数，得，
所以图象的对称中心为，令
由的图象关于直线对称，得，
由得，所以，
则的一个周期为4，则
则．
故选：B.
7．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为是定义域为的奇函数，且，
则，故，
所以，函数是周期为的周期函数，由奇函数的性质可得，
所以，，，
因此，.
故选：D.
8．（2025·河北·模拟预测）若函数是定义域为R且周期为3的奇函数，且，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】因为函数是定义域为R且周期为3的奇函数，
则，，，
所以.
故选：B.
9．（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数满足：，且，若，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】由，用代换，可得，
联立方程组，可得，即，
又由函数为偶函数，且，可得与同号，
所以，可得函数是周期为的函数，
因为，与同号，则，
令，可得，所以，
则.
故选：C.
10．（2025·云南·模拟预测）设是定义在上的奇函数，，，则（ ）
A．0B．-1012C．-2D．1010
【答案】C
【解析】已知为奇函数，所以且，
因为，所以，则，函数的周期为4，
因为，，，，
所以，
因为，前2024项和为，，
所以.
故选：C
11．（2025·江西·二模）已知函数是定义在上的函数，，且对任意的都有，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，
由，，
得，，
即，，
所以，
所以，
又因为，故.
故选：B.
12．（2025·江西赣州·二模）已知函数是定义在上且周期为的奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数是定义在上且周期为的奇函数，则，
又因为，所以，，故，
即.
故选：B.
13．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法错误的是（ ）
A．为偶函数B．为周期函数且周期为12
C．D．
【答案】D
【解析】因为，用代替，可得，
令，得，即，
令，得，所以，C正确；
用替换，可得，所以，
所以函数为偶函数，A正确；
用替换，可得，
所以，所以，
所以，即．
所以，
故是以12为周期的周期函数，B正确；
，
所以；
，，，
所以，D错误.
故选：D.
14．（多选题）（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数对任意实数a，b都有，且，则（ ）
A．B．
C．D．若x为正整数，则
【答案】ABD
【解析】令，得，
因为，所以，故A对；
令得，
令得，故B对；
由得，
所以函数是周期为8的函数，
又，
所以，
所以，
所以，
又，函数是周期为8的函数，
如，则，故C错；
若x为正整数，则，
所以，故D对；
故选：ABD
能力拓展篇
15．（多选题）（2025·四川成都·三模）已知函数，对任意，均有，且为的导函数，则（ ）
A．B．为奇函数
C．D．
【答案】ABD
【解析】令，得，解得，故A正确；
令，得，所以，即为奇函数，故B正确；
令，得.
因为，所以，
所以，
所以的周期是4，所以，
所以，故C错误；
对两边求导，得，所以的周期为4.
对两边求导，，所以.对于中关于求导，
可得，
令，可得，
令，可得.又因为，
所以，所以，
所以，故D正确.
故选：ABD.
16．（多选题）（2025·海南·模拟预测）已知函数的定义域为，且，曲线的图象关于直线对称．若时，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】，即关于点对称，，又曲线的图象关于直线对称，所以也关于点对称，即结合可得，即，所以函数呈周期性变化，
又曲线的图象关于直线对称，时，，则时，，又，
时，则，，
又关于直线对称，时，，
根据题意可作出函数图像如下：
根据图像可知函数在两条斜率为1的直线之间，设下面一条直线方程为：与相切，，切点为，
此时切线方程为：，又因为，所以
，故A正确；
通过对称可得，故B正确；
由，所以，故C错误；
，，故D正确；
故选：ABD.
17．（多选题）（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知对任意，且，则（ ）
A．B．
C．的图象关于直线对称D．
【答案】AC
【解析】由题意得任意，，且，
令，则，则．
令，则，故A正确．
令，则，所以的图象关于直线对称，故C正确．
令，则，结合C选项，得，所以有，则为奇函数．
又因为的图象关于直线对称，所以是以2为周期的函数，所以，故B错误．
令，则，，故D错误．
故选：AC．
18．已知定义在上的函数的图象经过坐标原点，，，且为偶函数，则 ．
【答案】2499
【解析】由，得（*）．
在中，用替换，可得，
则，即①，
在①式中，用替换，则得②．
又因为偶函数，所以③，
故由②③，可得，用替换，可得 ，
比较两式，可得，即是以4为一个周期的函数．
因为的图象经过原点，所以，由（*）可得．
在中，令，得，所以，
在中，令，可得，
在中，令，可得，
则，
则
．
故答案为：2499.
19．（2025·四川攀枝花·三模）函数的最小值为 ．
【答案】
【解析】由于，且定义域为，所以是偶函数，
所以只需要研究部分，即
由于
，
所以当时，是一个周期为的函数，
则只需要研究一个周期的最小值，以下分类讨论：
则当时，，
此时最小值为，
当时，，
此时最小值为，
则当时，，
此时最小值为，
当时，，
此时最小值为，
当时，，
此时最小值为，
综上最小值为，
故答案为：.
20．（2025·河北·二模）已知定义在上的函数的导函数为，为偶函数，且，则 ．
【答案】
【解析】由为偶函数得，
则．
两边同时求导，得①．
所以的图象关于点对称，即，
由的图象关于点对称，得②．
①-②，得，所以，
又，所以，
即的周期为4，，，
．
故答案为．
21．（2025·山西忻州·模拟预测）已知函数，的定义域均为R，且为偶函数，为奇函数，函数的最小值为，若函数有两个零点s，t，则 ．
【答案】10
【解析】由函数的最小值为，
得，解得，
又，故，所以，对称轴为．
因为函数为偶函数，所以，可得；
因为函数为奇函数，所以，可得，
又，所以，即，
所以，故函数是以4为周期的周期函数，
由，得函数关于对称，
所以函数关于对称，故关于对称，
所以．
故答案为：10.