2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点06　函数中的构造问题(10大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点06　函数中的构造问题(10大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共17页。试卷主要包含了对于，构造，，对于，构造等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc201650408" 01 重点解读 PAGEREF _Tc201650408 \h 2
\l "_Tc201650409" 02 思维升华 PAGEREF _Tc201650409 \h 3
\l "_Tc201650410" 03 典型例题 PAGEREF _Tc201650410 \h 4
\l "_Tc201650411" 题型一：利用与构造函数 PAGEREF _Tc201650411 \h 4
\l "_Tc201650412" 题型二：利用与构造函数 PAGEREF _Tc201650412 \h 6
\l "_Tc201650413" 题型三：利用与构造函数 PAGEREF _Tc201650413 \h 8
\l "_Tc201650414" 题型四：利用与，构造函数 PAGEREF _Tc201650414 \h 11
\l "_Tc201650415" 题型五：利用与构造函数 PAGEREF _Tc201650415 \h 15
\l "_Tc201650416" 题型六：利用与构造函数 PAGEREF _Tc201650416 \h 19
\l "_Tc201650417" 题型七：求不出原函数 PAGEREF _Tc201650417 \h 22
\l "_Tc201650418" 题型八：求出原函数 PAGEREF _Tc201650418 \h 24
\l "_Tc201650419" 题型九：其它复杂类型 PAGEREF _Tc201650419 \h 27
\l "_Tc201650420" 题型十：抽象函数模型 PAGEREF _Tc201650420 \h 30
\l "_Tc201650421" 04 课时精练 PAGEREF _Tc201650421 \h 33
函数构造问题是高考数学中的高频考点，常以客观题形式呈现。这类题目往往围绕已知的等式或不等式展开，关键在于精准捕捉其结构特征，并以此为依据构造新函数。
在解决相关问题时，构造新函数发挥着重要作用。例如在比较大小的问题中，通过构造合适函数，利用函数的单调性等性质，能更直观地比较不同数值的大小关系；对于解不等式问题，构造新函数后，借助函数的零点、单调区间等知识，可将复杂的不等式问题转化为对函数性质的分析；在恒成立问题里，构造新函数后，通过求函数的最值等操作，确定参数的取值范围，从而判断不等式是否恒成立。因此，掌握函数构造的方法和技巧，对于应对高考中的这类热点问题至关重要，能有效提升解题效率和准确性。
1、对于，构造，
2、对于，构造
3、对于，构造，
4、对于，构造
5、对于，构造，
6、对于，构造
7、对于，构造，
8、对于，构造
9、对于，构造，
10、对于，构造
11、对于，构造，
12、对于，构造
13、对于，构造
14、对于，构造
15、；；；
16、；．
题型一：利用与构造函数
【例1】设函数、是闭区间上的可导函数．若当，有．则一定有（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2025·湖北·模拟预测）已知定义域为实数集的函数，导数均存在，且记为，满足，对恒成立，则下列结论一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，．且．则不等式的解集是
A．B．
C．D．
【变式1-3】设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
题型二：利用与构造函数
【例2】是定义在上的偶函数，为其导函数且，且时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-1】已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-2】已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-3】（2025·贵州毕节·二模）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
题型三：利用与构造函数
【例3】已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】已知函数，，是其导函数，若恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-4】定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
题型四：利用与，构造函数
【例4】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数的定义域为R，其导函数为，若，且当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-1】已知函数，又当时，，则关于x的不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．D．
【变式4-2】（2025·江西·模拟预测）定义在区间上的可导函数关于轴对称，当时，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-4】已知函数是奇函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
题型五：利用与构造函数
【例5】定义在上的函数的导函数为，都有，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-1】定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-2】（2025·高三·天津·周测）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】定义在上的函数，是的导函数，且恒成立，则（ ）
A．B．
C． D．
【变式5-4】（2025·高三·福建南平·期中）定义在上的函数，是的导函数，且成立， ，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
题型六：利用与构造函数
【例6】已知在上是奇函数，且为的导函数，对任意，均有成立，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-1】（2025·山东潍坊·三模）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（2025·四川德阳·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-3】已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是 ．
题型七：求不出原函数
【例7】函数满足：，，则当时，（ ）
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值
【变式7-1】定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值
【变式7-2】函数满足：， ．则时，
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值
【变式7-3】设函数的导数为，且，，，则当时，（ ）
A．有极大值，无极小值B．无极大值，有极小值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值又无极小值
题型八：求出原函数
【例8】设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值B．有极大值，无极小值
C．既无极大值也无极小值D．有极小值，无极大值
【变式8-1】设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值B．有极大值 ，无极小值
C．有极小值，无极大值D．既无极大值也无极小值
【变式8-2】设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是
A．B．
C．D．
【变式8-3】已知是函数的导函数，对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
题型九：其它复杂类型
【例9】已知函数及其导函数的定义域均为，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【变式9-1】（2025·四川德阳·三模）已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式9-2】（2025·高三·重庆·期中）设是定义在上的连续函数的导函数，(为自然对数的底数)，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式9-3】已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式9-4】定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
题型十：抽象函数模型
【例10】定义在 上的奇函数，且对任意实数x都有，．若，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【变式10-1】（2025·高三·山东烟台·期末）已知为定义在上的奇函数，其导函数为，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式10-2】（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式10-3】（2025·山东聊城·二模）函数定义域为，且满足，若是偶函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
1．已知函数 是定义在的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·广东茂名·二模）已知函数为上的奇函数，，当时，，不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·四川德阳·模拟预测）设定义域为的函数的导函数为.已知，，若在上恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
5．已知定义在上的函数，其导函数为，满足，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·吉林长春·一模）已知定义在上的函数是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·高三·山东烟台·期中）已知定义在R上的函数满足，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·高三·福建南平·期中）定义在上的函数满足，且，则不等式解集为（ ）
A．B．C．D．
9．定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
11．设在上存在导数，满足，且有的解集为（ ）．
A．B．C．D．
12．（2025·吉林·二模）已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
13．（2025·高三·辽宁·期中）已知定义在上的函数及其导函数，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
14．已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
15．（2025·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
16．（2025·高三·山东菏泽·期中）已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，设，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
17．（2025·江西南昌·三模）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
18．已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意正实数满足，若，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
19．已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
20．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
21．（2025·山东聊城·三模）设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
22．已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
23．设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．B．
C．D．
24．已知函数及其导函数的定义域均为,，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
25．（2025·安徽蚌埠·一模）已知函数的定义域是，若对于任意的都有，则当时，不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
26．（2025·山东淄博·二模）已知函数是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
27．（2025·云南昆明·模拟预测）函数的定义域为，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为 ．
28．（2025·安徽合肥·模拟预测）函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若且，则不等式的解集为 .
29．（2025·福建莆田·一模）已知的导函数为，若且当时，则不等式的解集是 ．
30．（2025·全国·一模）定义在R上的函数的导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集是 ．
31．（2025·高三·辽宁·期末）已知定义在上的偶函数，当时，.且时，恒成立，且，则时，不等式的解集为 .
32．（2025·安徽黄山·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，是偶函数，函数的图象是一条连续不断的曲线且，则不等式的解集为 ．
33．已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为 ．
34．已知函数的定义域为，，对任意，，则 的解集为 .
培优点06 函数中的构造问题
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc201650408" 01 重点解读 PAGEREF _Tc201650408 \h 2
\l "_Tc201650409" 02 思维升华 PAGEREF _Tc201650409 \h 3
\l "_Tc201650410" 03 典型例题 PAGEREF _Tc201650410 \h 4
\l "_Tc201650411" 题型一：利用与构造函数 PAGEREF _Tc201650411 \h 4
\l "_Tc201650412" 题型二：利用与构造函数 PAGEREF _Tc201650412 \h 6
\l "_Tc201650413" 题型三：利用与构造函数 PAGEREF _Tc201650413 \h 8
\l "_Tc201650414" 题型四：利用与，构造函数 PAGEREF _Tc201650414 \h 11
\l "_Tc201650415" 题型五：利用与构造函数 PAGEREF _Tc201650415 \h 15
\l "_Tc201650416" 题型六：利用与构造函数 PAGEREF _Tc201650416 \h 19
\l "_Tc201650417" 题型七：求不出原函数 PAGEREF _Tc201650417 \h 22
\l "_Tc201650418" 题型八：求出原函数 PAGEREF _Tc201650418 \h 24
\l "_Tc201650419" 题型九：其它复杂类型 PAGEREF _Tc201650419 \h 27
\l "_Tc201650420" 题型十：抽象函数模型 PAGEREF _Tc201650420 \h 30
\l "_Tc201650421" 04 课时精练 PAGEREF _Tc201650421 \h 33
函数构造问题是高考数学中的高频考点，常以客观题形式呈现。这类题目往往围绕已知的等式或不等式展开，关键在于精准捕捉其结构特征，并以此为依据构造新函数。
在解决相关问题时，构造新函数发挥着重要作用。例如在比较大小的问题中，通过构造合适函数，利用函数的单调性等性质，能更直观地比较不同数值的大小关系；对于解不等式问题，构造新函数后，借助函数的零点、单调区间等知识，可将复杂的不等式问题转化为对函数性质的分析；在恒成立问题里，构造新函数后，通过求函数的最值等操作，确定参数的取值范围，从而判断不等式是否恒成立。因此，掌握函数构造的方法和技巧，对于应对高考中的这类热点问题至关重要，能有效提升解题效率和准确性。
1、对于，构造，
2、对于，构造
3、对于，构造，
4、对于，构造
5、对于，构造，
6、对于，构造
7、对于，构造，
8、对于，构造
9、对于，构造，
10、对于，构造
11、对于，构造，
12、对于，构造
13、对于，构造
14、对于，构造
15、；；；
16、；．
题型一：利用与构造函数
【例1】设函数、是闭区间上的可导函数．若当，有．则一定有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，，
则，
因为当，有，所以，
所以在上单调递增，
所以（），即，
所以，，故D正确，C错误；
由于不知道、的值，故无法确定A、B的正误.
故选：D
【变式1-1】（2025·湖北·模拟预测）已知定义域为实数集的函数，导数均存在，且记为，满足，对恒成立，则下列结论一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，
令，则，
故在单调递增，
又，所以，
即，
所以，A选项正确，
另外，，由于与0的大小关系不确定，
故C，D无法判断.
故选：A.
【变式1-2】设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，．且．则不等式的解集是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，
因为当时，，即
故在上单调递增，
又，分别是定义上的奇函数和偶函数，
所以，
为奇函数，关于原点对称，所以在上单调递增．
，，
所以当或时，即 不等式的解集为.
故选：D．
【变式1-3】设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，又分别是定义在上的奇函数和偶函数，
所以，即为奇函数，
当，有，所以在上单调递减，
由奇函数的性质，在上单调递减，且，
由，则，即，
综上，上，上，
所以不等式的解集是.
故选：A
题型二：利用与构造函数
【例2】是定义在上的偶函数，为其导函数且，且时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】是定义在上的偶函数，
当时，令，则，所以在上单调递减，
当时，，即，
当时，，即，
即当时，的解集为，
因为函数是定义在上的偶函数，由其对称性可知：
当时，的解集为，
所以不等式的解集为.
故选：C.
【变式2-1】已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据题意可令，
所以在上单调递增，则原不等式等价于，
由，解之得．
故选：B．
【变式2-2】已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设函数，定义域为，则，
因为当时，，所以当时，，
∴在上单调递增，
∵函数是定义在上的奇函数，，
∴，
∴函数是定义域为的偶函数，
∴的单调递减区间为，
∵，∴，，
当时，等价为，即，解得，
当时，等价为，即，解得，
当时，不符合题意，
综上不等式的解集是，
故选：D.
【变式2-3】（2025·贵州毕节·二模）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，则，
由题意知当时，，故在上单调递增，
因为函数是定义域为的奇函数，
所以，
所以，
所以是定义域为的偶函数，
所以在上单调递减，
又因为，所以，
所以，
所以当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
则不等式的解集为.
故选：D.
题型三：利用与构造函数
【例3】已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则，
因为，
所以，
所以，即在上单调递增，
又，所以，
故当时，，即，
整理得，两边同除以，即可得，
所以当且仅当时，，
所以的解集为.
故选：B.
【变式3-1】已知函数，，是其导函数，若恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则，所以在上单调递增．
又不等式，等价于，
即，所以，所以不等式的解集为．
故选：A
【变式3-2】已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，
所以在上单调递减，
因为，
所以不等式可变为，即，
所以，即，
所以不等式的解集为.
故选：D.
【变式3-3】已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则，所以在上单调递增．
又不等式，等价于，
即，
所以，所以，解得．
故选：B.
【变式3-4】定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，则，
因为对任意实数，都有，
所以，所以为定义在上的减函数，
因为为奇函数，所以，则，
所以，
则不等式转化为，即，
所以，故不等式的解集是．
故选：C.
题型四：利用与，构造函数
【例4】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数的定义域为R，其导函数为，若，且当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由已知可推得，.
令，则，
所以，
所以，为偶函数.
又，
因为当时，，
所以，，所以在上单调递增.
又为偶函数，所以在上单调递减.
由可得，
.
因为，
所以，.
因为在上单调递减，为偶函数，
所以有，
平方整理可得，，
解得.
故选：C.
【变式4-1】已知函数，又当时，，则关于x的不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，
，
设
所以，即为上的偶函数
当时，，
因为，所以
则在区间上单调递增
所以
即
即
等价于，
即
解得．
故选：A.
【变式4-2】（2025·江西·模拟预测）定义在区间上的可导函数关于轴对称，当时，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，化简得，
构造函数，
即当时，单调递增，
所以由，
则，
即.因为为偶函数且在上单调递增，
所以，解得.
故选：C.
【变式4-3】已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，
因为，则，且，
可知，且仅当时，则在上单调递增，
又因为为偶函数，，
可得
令，可得，
注意到，
不等式，等价于，
可得，解得，
所以不等式的解集为.
故选：D.
【变式4-4】已知函数是奇函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令函数，由函数是奇函数，
得，函数是偶函数，
求导得，由任意，，
得任意，，函数在上单调递增，在上单调递减，
对于A，由，得，化简得，A错误；
对于B，由，得，化简得，B错误；
对于C，由，得，化简得，C正确；
对于D，由，得，化简得，D错误.
故选：C
题型五：利用与构造函数
【例5】定义在上的函数的导函数为，都有，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，.
由，得，
则，即，
设，则，
可得，则在定义域上单调递减，
对于A，可得，则，
得到，即，故A错误，
对于B，可得，则，
得到，即，故B错误，
对于C，可得，则，
而由两角和的正弦公式得，
得到，故C正确，
对于D，可得，则，
而由两角和的正弦公式得，
得到，故D错误.
故选：C
【变式5-1】定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】当，
则不等式等价为，
即，
设，，
则，
即函数在上单调递增，
则，，，，
即，，
，，
则，故A正确；
，得不出，故B错误．
，故C错误．
，故D错误．
故选：A．
【变式5-2】（2025·高三·天津·周测）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，，则
则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数
则是上的偶函数，且在单调递减，
由，可得，则，
则时，不等式
可化为
又由函数在上单调递增，且，，
则有，解之得
故选：D
【变式5-3】定义在上的函数，是的导函数，且恒成立，则（ ）
A．B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为时，，
所以可化为，
设，，
则，
所以函数在上的单调递减，
因为，所以，
所以，即，
对于A：因为，A选项不一定成立；
对于B：因为，B选项不一定成立；
对于C：成立；
对于D：，D选项不成立；
故选：C.
【变式5-4】（2025·高三·福建南平·期中）定义在上的函数，是的导函数，且成立， ，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为时，，
所以可化为，
设，，
则，
所以函数在上的单调递减，
因为，所以，
所以，即，
所以.
故选：B.
题型六：利用与构造函数
【例6】已知在上是奇函数，且为的导函数，对任意，均有成立，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】．
令，则，
所以，则在上是减函数．
由，且在上是奇函数，得，则，
又，
所以，即不等式的解集为．
故选：D
【变式6-1】（2025·山东潍坊·三模）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】不等式等价于，即，
构造函数，所以，
因为时，，所以对恒成立，
所以在单调递减，
又因为，
所以不等式等价于，所以，
即的解集为.
故选：A.
【变式6-2】（2025·四川德阳·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】构造函数，则；
因为，
所以当时，，即，此时在上单调递增；
当时，，即，此时在上单调递减；
又，所以，即；
所以函数图象上的点关于的对称点也在函数图象上，
即函数图象关于直线对称，
不等式变形为，即；
可得，
又在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得.
故选：C
【变式6-3】已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是 ．
【答案】.
【解析】分析：构造函数，利用已知条件判断出的单调性，结合列出不等式后求解．
设，则，
∵且，∴，
即函数在上是增函数，
，
不等式等价于，
即，又，∴，
∴，解得，由定义域知，，
故原不等式的解集是．
故答案为(0,1)．
题型七：求不出原函数
【例7】函数满足：，，则当时，（ ）
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】因为，所以，
令，则，且，
所以，
令，则，
令，解得：，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值，
则，故在上恒成立，
所以在上单调递减，
则当时，既无极大值，也无极小值.
故选：D
【变式7-1】定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】因为，且，
所以，①
令，则，
又，记，
所以.
当时，，递减；当时，，递增.
结合①当时，，所以的最小值为0，即，
因为，则，（当且仅当时，取等号），所以既没有最大值，也没有最小值.
故选：D.
【变式7-2】函数满足：， ．则时，
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】因为，所以,
令，则 ，
所以，
令 ，则，
则当时， ，当时，
即函数在为增函数，在为减函数，
所以，
即，即函数在为减函数，
即时，既无极大值，也无极小值，
故选D.
【变式7-3】设函数的导数为，且，，，则当时，（ ）
A．有极大值，无极小值B．无极大值，有极小值
C．既有极大值又有极小值D．既无极大值又无极小值
【答案】B
【解析】由题设，所以，，所以存在使得，又 ，所以在上单调递增.
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.
因此，当时，取极小值，但无极大值，故选B.
题型八：求出原函数
【例8】设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值B．有极大值，无极小值
C．既无极大值也无极小值D．有极小值，无极大值
【答案】C
【解析】因为，，
所以，所以，
因为函数是连续函数，所以由，可得，
代入，可得，
所以，
当时，，
令，所以，
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以当时，取得极小值即最小值，
所以，所以函数在上单调递增，
所以既没有极大值，也没有极小值，
故选C.
【变式8-1】设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值B．有极大值 ，无极小值
C．有极小值，无极大值D．既无极大值也无极小值
【答案】C
【解析】由题意可知，，即，
所以，
令，则，
因为函数在处存在导数，所以为定值，，，
所以，
令，当时，，
构建函数，则有，
所以函数在上单调递增，
当，，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，，
所以当时函数必有一解，
令这一解为，，则当时，
当时，
综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，
所以有极小值，无极大值．
【变式8-2】设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】是函数定义在（0，+∞）上的导函数，满足，
可得，
令，则，
∴函数在（0，+∞）上单调递增．
∴，
∴．
故选B．
【变式8-3】已知是函数的导函数，对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令 ①,则 ，
∵，
∴ ，
即 ，
∴（c为常数）②，
由①②知， ，
∴ ，又，
∴ ，即 ，
，
不等式 即，
∴ 或，
即不等式的解集为，
故选：A.
题型九：其它复杂类型
【例9】已知函数及其导函数的定义域均为，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】记，则，
因为，
所以当时，，则，在上单调递增；
当时，，则，在上单调递减.
又，即，
所以，
因为，
所以，解得.
故选：B
【变式9-1】（2025·四川德阳·三模）已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，则，
又因为，即，
且，
当时，则，可得；
当时，则，可得；
可知在内单调递增，在内单调递减，且函数图象为不间断曲线，
若，即，
可得，则，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
【变式9-2】（2025·高三·重庆·期中）设是定义在上的连续函数的导函数，(为自然对数的底数)，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则，
∵，∴，，
函数在上单调递增，又，∴，
由，可得，即，
又函数在上单调递增，所以，即不等式的解集为.
故选：A．
【变式9-3】已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，得，
令，则，，
所以，则，
令，则，
所以在上是单调递增．
不等式等价于，即，
而，所求不等式即．
由于在上是单调递增函数，所以，故不等式的解集为.
故选：C．
【变式9-4】定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，，
所以当时，，
令，则当时，，
故在时，单调递减，
又因为在上为偶函数，所以在上为奇函数，
故在上单调递减，因为，所以，
当时，可变形为，即，
因为在上单调递减，所以且，得；
当时，可变形为，即，
因为在上单调递减，所以且，得；
综上：不等式的解集为.
故选：A.
题型十：抽象函数模型
【例10】定义在 上的奇函数，且对任意实数x都有，．若，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为是奇函数，可得是偶函数，
又因为，所以，
令，可得，所以在上单调递增，
因为且是奇函数，
可得，则，
所以的周期为的周期函数，
因为，所以，
则不等式，即为，即，
又因为在上单调递增，所以，解得，
所以不等式的解集为．
故选：C．
【变式10-1】（2025·高三·山东烟台·期末）已知为定义在上的奇函数，其导函数为，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数为定义在上的奇函数，即，
等式两边同时求导得，即，
即①，所以函数为偶函数，
因为为奇函数，则②，
联立①②可得，
当时，，仅当时取等号，所以函数在上为增函数，
由函数为偶函数，由可得，可得，
即，整理得，解得，
因此不等式的解集为.
故选：B.
【变式10-2】（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，①
因为函数为偶函数，则，②
联立①②可得，
令，则，且不恒为零，
所以，函数在上为减函数，即函数在上为减函数，
故当时，，所以，函数在上为减函数，
由可得，
所以，，整理可得，解得或.
故选：D.
【变式10-3】（2025·山东聊城·二模）函数定义域为，且满足，若是偶函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，且是偶函数，
所以，
所以，单调递减，
则不等式化简为，
所以，即，
所以或.
故选：B.
1．已知函数 是定义在的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意，令，则，
当时，，即，
所以在上单调递减；
又为上的奇函数，
则，
所以为定义在上的偶函数，
所以在上单调递增；
由，得，
当，即时，不等式可化为，即，
由在上单调递减，得，解得，故；
当，即时，不等式可化为，即，
由在上单调递增，得，解得，故；
综上所述，不等式的解集为：．
故选：D．
2．（2025·广东茂名·二模）已知函数为上的奇函数，，当时，，不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】构造，则，
因为当时，，则此时，单调递增，
则的正负符号由决定，
又因为，则，因为在上单调递增，
则当时，，所以此时，
当时，，所以此时，
又因为为上的奇函数，则当时，，则，
当时，，则，
且，
则若，则或
即或，解得或，
综上，的解集为.
故选：D.
3．（2025·四川德阳·模拟预测）设定义域为的函数的导函数为.已知，，若在上恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，由，令，则.
则，故，
由，令，则，故，
故，可知为偶函数；
令，则，
当时，由，则，即在上严格递增，
又，
则当时，，故；
则当时，，则；
则由偶函数对称性可知，当时，.
由，则.
不等式可化为，其中且.
当时，，则，
故不等式无解；
当时，，可得，即，
由在上严格递增，可知，解得，
所以；
综上所述，不等式的解集为.
故选：D.
4．已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，
则，
因为，所以，又，所以恒成立，
所以在定义域上单调递增．
故原不等式可转化为，又，所以，
所以，所以，故不等式的解集为．
故选：B
5．已知定义在上的函数，其导函数为，满足，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则，
当时，，
所以当时，，
即函数在上单调递减，
又，则，
，
由，
得，
即，
则，即是奇函数，所以是偶函数，
则当时，函数在上单调递增，
因为，所以，，
又，所以即，则，
所以不等式的解集为.
故选：B．
6．（2025·吉林长春·一模）已知定义在上的函数是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则 ，
因为，，所以，可得在上单调递减，
不等式，即，即，所以，
因为在上单调递减，所以，解得：，
所以不等式的解集为：，
故选：D
7．（2025·高三·山东烟台·期中）已知定义在R上的函数满足，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为定义在R上的函数满足，
所以关于对称，
当时，，所以，
所以在上单调递减，因为关于对称，
所以在上单调递增，
由，则，可得：，
即或，
所以不等式的解集为.
故选：D.
8．（2025·高三·福建南平·期中）定义在上的函数满足，且，则不等式解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】不等式等价于，可得，
即可得；
令函数，可得，
又可得恒成立，
因此在上单调递减，又，
所以等价于，即；
解得，
所以不等式解集为.
故选：C
9．定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】依题意，令，求导得，则在上单调递减，
由，得，不等式，
则或，即或，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：B
10．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】构造函数，，
，即函数在上单调递减，
等价于，解得.
即的解集为.
故选：D
11．设在上存在导数，满足，且有的解集为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，
则，
所以函数在上单调递增，又由题，
所以，即，即的解集为，
故选：D.
12．（2025·吉林·二模）已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意知，当时，，
令，则，
所以在上单调递减，
不等式等价于，
即为，所以，解得.
故选：A.
13．（2025·高三·辽宁·期中）已知定义在上的函数及其导函数，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则，
因为，所以，
所以在上单调递增，
，即，
又，则，
所以，即，
所以，解得.
故选：.
14．已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据题意可令，
所以在上单调递减，
则原不等式等价于，
由，
解之得.
故选：B
15．（2025·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，则，
因为当时，，所以在上单调递增，
又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数，
由，得，解得或
故选：D.
16．（2025·高三·山东菏泽·期中）已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，设，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，得，
因为，则，可知在上单调递减，且，
由不等式可得，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B
17．（2025·江西南昌·三模）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则 ，
对任意，，恒成立，即在上单调递减，
由可得，，解得，即解集为.
故选：A
18．已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意正实数满足，若，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为定义域为的偶函数，所以，
又定义域为，所以，
所以为偶函数，
对任意正实数满足，所以，
因为，所以，
所以函数在上单调递增，则在上单调递减，
不等式，等价于，
等价于，解得或，
所以不等式的解集是.
故选：D.
19．已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，则，
所以在上单调递增，
不等式，即，即，
所以，解得，所以不等式的解集是.
故选：C
20．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为对任意都有，即，
令，则，
即在上单调递增，
又因为为奇函数，
所以，则，
而不等式等价于，
即，又因为在上单调递增，所以.
故选：
21．（2025·山东聊城·三模）设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
设，
则，
即为上的偶函数，
又当时，，
则，所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以，
即，所以，即，
解得.
故选：B
22．已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，设，则，则有，，即有，故函数的图象关于对称，则有，
当时，，，又由当时，，即当时，，即函数在区间为增函数，由可得，即，，
函数的图象关于对称，函数在区间为增函数，且在上恒成立，由可得，即，此时不存在.
综上：不等式解集为.
故选：A
23．设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据条件构造函数，分析的单调性并计算的值，将转化为，由此求解出不等式的解集.设，所以，
因为，所以，
所以在上单调递减，且，
又因为等价于，
所以解集为，
故选：C.
24．已知函数及其导函数的定义域均为,，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】已知，
令，则
，
所以在上单调递减，
又因为，所以，
所以不等式等价于，则，
所以不等式的解集为
故选：A.
25．（2025·安徽蚌埠·一模）已知函数的定义域是，若对于任意的都有，则当时，不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，则在上是减函数.，
所以
得，又，所以.
故选：A.
26．（2025·山东淄博·二模）已知函数是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，，
当时，，，即函数单调递增．
又，时，，
是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数．
不等式，
即，即，
，①，
又，故②，
由①②得不等式的解集是．
故选：C
27．（2025·云南昆明·模拟预测）函数的定义域为，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】令，则，
又，所以得，
即，所以为上的偶函数，
又时，，所以在上单调递增，
又为上的偶函数，所以在上单调递减，
由，得，
所以，
即，所以得，解得：，
所以不等式的解集为．
故答案为：.
28．（2025·安徽合肥·模拟预测）函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若且，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】构造函数，
在上，等价于，
,
,得 ，
在上单增，在上单减，
在上，恒成立，
又，则
又在上，等价于，即，则
不等式的解集为
故答案为：
29．（2025·福建莆田·一模）已知的导函数为，若且当时，则不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】令，由得：，
即，故为偶函数，
又当时，，即，
所以在上为增函数，
不等式化为，
即，
所以有，
解得：．
故答案为：.
30．（2025·全国·一模）定义在R上的函数的导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】设
则
又因为对任意实数x，有
所以
所以为减函数
因为定义在R上的函数为奇函数，由奇函数定义可知
=0，即
不等式
所以，同时除以
得，即
因为为减函数
所以 ，即不等式的解集为
31．（2025·高三·辽宁·期末）已知定义在上的偶函数，当时，.且时，恒成立，且，则时，不等式的解集为 .
【答案】
【解析】已知当时，，
将其变形为，
进一步整理得.
令，对求导， .
当时，，，
可得，所以在上单调递减.
因为是定义在上的偶函数，即.
那么，所以是奇函数.
所以在上也是单调递减.
已知，则.
当时，，则，
∴不等式可化为，即.
因为在上单调递减，则.
当时，；，得，则，
∴不等式可化为，即，则.
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
32．（2025·安徽黄山·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，是偶函数，函数的图象是一条连续不断的曲线且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】因为，则，
又因为，即，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得；
可知在内单调递增，在内单调递减，且函数图象为不间断曲线，
若，即，
可得，
又为偶函数，则，即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
33．已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】令，所以，
因为，所以，
化简得，所以是上的奇函数；
易知，
因为当时，，
所以当时，，从而在上单调递增，
又是上的奇函数，所以在上单调递增；
考虑到，由，得，
即，
又在上单调递增，得，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
34．已知函数的定义域为，，对任意，，则 的解集为 .
【答案】
【解析】由，
可得：，
构造函数，则，
所以在上单调递减，又，
所以的解集为：，
故答案为：