2026年江苏省南京市中考模拟数学自编卷含答案

这是一份2026年江苏省南京市中考模拟数学自编卷含答案，共27页。试卷主要包含了乘积等于的式子是等内容，欢迎下载使用。
（总分：120分，练习用时：120分钟。）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
单选题（每小题2分，共6题12分，每题只有一个正确选项。）
1．乘积等于的式子是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两直线相交只有一个交点B．垂线段最短
C．经过一点有无数条直线D．两点之间，线段最短
3．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．B．1C．0D．
4．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：



…… ……
请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在矩形中，，P，Q分别是边上的动点，，设，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为( ）．
A．B．C．D．
二、填空题（每小题2分，共10题20分。）
7．泰州2024年第一季度（国民生产总值）为175253000000元．横线上的数改写成以“万”为单位的数是 __万元，省略“亿”后面的尾数约是 __亿元．
8．若是方程的根，则代数式的值为______．
9．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的红色和白色球共6个，现从袋子中取出1个球，记下球的颜色后放回，通过大量的重复抽取发现，抽到红色球的次数约为总抽取次数的，则袋子中红色球有______个．
10．如图，的对角线相交于坐标原点，若点的坐标为，则点的坐标为_____．
11．如图，边长为5的菱形的对角线、交于点，是的中点，则的长为_____________．
12．已知点，，都在二次函数图像上，则，，的大小关系为_______．
13．如图，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在x轴上，交y轴于点C，若，则k的值为________．
14．如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为_________．
15．如图是由6个棱长为的小正方体所搭建的几何体，一只电子蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，最短的距离为______．
16．如图，在中，，，，动点从点A开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从A、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积的最大值为______．
三、解答题（本部分共11小题，共88分。）
17．（6分）解方程和计算：
(1)；
(2)．
18．（6分）化简求值：，其中，．
19．（6分）如图，平面直角坐标系的原点在格点上，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上．
(1)以原点为位似中心，作出的位似图形，使与的位似比为，且点的对应点在第一象限，请在网格内画出；
(2)点的坐标为 ；点的坐标为 ．
20．（6分）随着城市人口越来越多，很多学校门前车辆拥堵现象日趋明显，为缓解交通压力，某校提倡人们尽可能选择步行或骑车上下学，某调查小组对全校学生的上下学方式（A：小汽车、B：骑电瓶车、C：骑自行车、D：步行）进行了调查，并绘制了不完整的统计图如下：
请根据图中信息解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有 人，请补全条形统计图．
(2)全校4500名学生中，步行上学的人数为 人．
(3)现从A、B、C中各抽1名学生（男女生被抽取的概率相等）进行拥堵体验采访，请画树状图并求出刚好抽到两男一女的概率．
21．（6分）在一个不透明的纸箱里，有分别标有汉字“育”“才”“锦”“绣”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先摇匀再摸球．
(1)若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“锦”字的概率是_____；
(2)小红从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求小红取出的两个球上的汉字恰好能组成“锦绣”的概率．
22．（8分）如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)当时，求的度数．
23．（8分）为迎接六安市第九中学建校周年庆典暨第二十届校园文化艺术节，学校庐剧社团需要为节目《今日高唱凯歌归》采购道具包．现有两种道具包：（乐器+舞具）和（戏服+头饰）．已知每个道具包的单价比道具包的单价高元，且用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍．
(1)求、两种道具包的单价；
(2)在实际采购中，学校预算不超过元，计划购买、两种道具包共个，且道具包数量不高于道具包数量的倍；应如何安排采购方案，才能使总采购成本最低？最低成本是多少？（请用函数知识解答）
24．（10分）如图是的外接圆，，延长至点，连接，使得，交于．
(1)求证：与相切；
(2)若，．求的半径和的长度．
25．（10分）沱江河畔，屹立着一座古塔，历经数百年风雨，见证着这片土地的过往．有人想测量河对面古塔的高度，先在处测得塔顶的仰角是，再沿着坡比为的斜坡上升到处，此时测得塔顶的仰角是，过点作延长线的垂线，若米，，点、、、在同一水平线上．
(1)求坡面的长度；
(2)求古塔的高度（结果保留根号）．
26．（12分）（1）如图，已知平面上四个点，，，，请根据下列语句用尺规作图并回答问题．（只保留作图痕迹，不写作图依据）
分别作直线、线段；作出射线与射线，两射线相交于点；
在线段上找一点，使的值最小，这样作图的依据是______．
（2）如图是某学校操场最内侧的跑道，由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中半圆形弯道的直径为，直道的长为．如图是体育组设计了“铁饼投掷”项目的圆形比赛场地和“掷标枪”项目的四边形比赛场地．
用含，的代数式表示跑道的周长为______（结果保留）；
用含，，的代数式表示两项比赛场地的总面积（图中阴影部分面积的和）．
27．（12分）已知点和都在二次函数的图象上，且A、B两点位于该二次函数图象对称轴的异侧．
(1)如图，若该二次函数的图象经过点．
①求这个二次函数的表达式；
②当时，求的面积；
(2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，直接写出a的取值范围．
参考答案
1．C
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】利用多项式乘法与平方差公式计算，即可得到正确结果．
【详解】解：A、，所以选项A错误，不符合题意；
B、，所以选项B错误，不符合题意；
C、，所以选项C正确，符合题意；
D、，所以选项D错误，不符合题意．
故选：C．
2．D
【知识点】两点之间线段最短
【分析】将周长变化的问题转化为线段长度的比较，利用“两点之间，线段最短”的性质解释剩余木板周长变大的原因．
【详解】解：原三角形木板截去一部分后，其一条边被两段折线替代，根据线段的性质，两点之间，线段最短，可得这两段折线的长度之和大于被替换的原三角形的那条边的长度；原三角形的另外两条边长度未改变，
故剩余木板的周长比原三角形木板的周长大．
3．B
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】根据一元二次方程根的判别式性质，当方程有两个相等的实数根时，判别式，代入方程系数计算即可求出m的值．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
4．B
【知识点】数字类规律探索、归纳与类比、多项式乘法中的规律性问题
【分析】本题主要考查整式的规律探索，解题的关键是根据已知式子找出规律．首先确定前几个展开式中第二项的系数，总结出规律，再根据规律即可解决问题．根据杨辉三角的规律，展开式的第二项系数为，因此展开式中含的项是第二项，系数为．
【详解】解：∵由杨辉三角规律可得展开式的第二项系数为，
∴展开式中含的项是第二项，系数为，
故答案为：B．
5．C
【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形
【分析】过作的垂线，根据矩形的性质以及勾股定理，写出关于的表达式从而可以得到图象的形状．
【详解】解：过作于，
四边形为矩形，
， ，
∴，
四边形也是矩形，
，，
，
，
在上，在上，
，，
，
关于的函数图象是开口向上，对称轴为的抛物线．
6．D
【知识点】利用平行线间距离解决问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】过点，，，分别作，，，，交直线于点，，，，证明，，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可．
【详解】如图，过点，，，分别作，，，，交直线于点，，，，
∴，
∵．
∴，，
∵，．
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
设，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形的面积，
∴四边形的面积，
．
7． 17525300 1753
【知识点】求一个数的近似数、单位的认识和换算
【分析】改写成以“万”为单位的数，依据整万数的改写规则操作即可求解．省略“亿”后面的尾数，先改写为以“亿”为单位，再四舍五入即可求解．
【详解】解：万；亿亿．
8．
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数
【分析】根据一元二次方程解的定义得到的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值即可．
【详解】解：∵是方程的根，
∴，
∴．
9．2
【知识点】已知概率求数量
【分析】根据大量重复试验中频率稳定于概率，得到抽到红色球的概率为，再结合概率公式列方程求解即可．
【详解】解：设袋子中红色球有个．
∵大量重复抽取后，抽到红色球的频率约为，
∴抽到红色球的概率为，
∴，
解得：．
10．
【知识点】求关于原点对称的点的坐标、利用平行四边形的性质求解
【分析】根据题意利用平行四边形性质及关于原点对称的点坐标特点即可求解．
【详解】解：∵点A的坐标为，，
∴C点与A点关于原点对称，
∴．
11．
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长
【分析】根据菱形的性质可得，，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，且边长，
，，
，
∵是的中点，
．
12．/
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】先根据二次函数顶点式确定开口方向与对称轴，再利用点到对称轴的距离，结合二次函数增减性比较函数值大小．
【详解】∵二次函数中，二次项系数，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴离对称轴的距离越小的点的函数值越大，
∵，，，且，
∴．
13．6
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合、反比例函数与几何综合
【分析】过点作轴于点，根据，得出，证明，得出，求出，再求出，根据反比例函数中的几何意义，得，结合，即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
，
，，
，
，
，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
，
根据反比例函数中的几何意义，得，
．
又∵，
．
14．
【知识点】线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查轴对称最短问题，解题的关键是把最短问题转化为垂线段最短．
连接，过点作于，利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论．
【详解】解：连接，过点作于．
面积为，，
，
，
垂直平分线段，
，
，
当的值最小时，的值最小，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，
，
，
的最小值为．
15．
【知识点】几何体展开图的认识、求最短路径(勾股定理的应用)、利用二次根式的性质化简、最短路径问题
【分析】本题考查了勾股定理的应用，将立体图形转化为平面图形是解题的关键；根据两点之间线段最短，将组合体图形转化为平面图形，进而勾股定理求解即可．
【详解】解：∵6个棱长为的小正方体所搭建的几何体，
∴这个几何体的长是，宽是，高是，
①经过前面和右边
②经过上面和右边
③经过前面和下边
∵
故答案为：.
16．36
【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查二次函数应用—动点问题，二次函数图象与性质等知识，理解动点运动中时间与的面积关系是解题的关键．
根据题意得到，则，由三角形的面积公式可得，利用二次函数的性质即可求得的面积S的最大值．
【详解】解：根据题意有：，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故S关于t的函数解析式为；
∵，
∵，
∴当时，的面积S有最大值．
故答案为：36．
17．(1)
(2)
【知识点】实数的混合运算、因式分解法解一元二次方程、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】（1）先移项，再利用因式分解法解方程即可；
（2）先计算特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再计算绝对值，最后根据实数的运算法则求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，即，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：
．
18．；
【知识点】整式四则混合运算、运用平方差公式进行运算、已知字母的值 ，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算
【分析】先利用完全平方公式和平方差公式展开括号内的整式，再合并同类项，最后进行多项式除以单项式的运算，再代入给定的x与y的值计算即可．
【详解】解：
当，时，
19．(1)见详解
(2)，
【知识点】在坐标系中画位似图形、求位似图形的对应坐标
【分析】（1）确定各顶点的对应点即可作图；
（2）由图即可求解；
【详解】（1）解：如图所示．
（2）解：由图可知：点的坐标为，点的坐标为．
20．(1)100，见详解
(2)1800
(3)
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、列表法或树状图法求概率、画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联
【分析】该题考查了扇形统计图、用画树状图法求随机事件的概率、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答．
（1）依据其他的数据，即可得到调查的样本容量，再求出A的人数和B的人数即可画图；
（2）用样本估计总体的思想，即可解决问题；
（3）利用树状图法，然后利用概率的计算公式即可求解．
【详解】（1）解：本次抽样调查中的样本容量为：，
A的人数是人，
B的人数是人，
补全条形统计图如图：
（2）解：全校4500名学生中，步行上学的人数为人．
（3）解：画树状图得：
共有8种情况，刚好抽到两男一女的有3种情况，刚好抽到两男一女的概率是．
21．(1)
(2)树状图见解析；
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法、树状图法及概率公式是解题的关键．
（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案．
【详解】（1）解：若从中任取一个球，则摸出球上的汉字刚好是“锦”字的概率是；
（2）画树状图如下，
由树状图知，共有12种等可能结果，其中取出的两个球上的汉字恰好能组成“锦绣”有2种结果，
∴取出的两个球上的汉字恰好能组成“锦绣”的概率为．
22．(1)见解析
(2)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了全等三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、三角形的内角和定理，关键是全等三角形的论证；
（1）根据等边对等角可得，结合，可得，进而得出，结论可证；
（2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：由（1）知，
，
，，
，
，
，
．
23．(1)道具包的单价为元，道具包的单价为元；
(2)购买道具包个，道具包个，总采购成本最低，最低成本是元．
【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题
【分析】（1）设道具包的单价为元，则道具包的单价为元，用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍为相等关系列出方程求解即可
（2）设购买总成本为元，购买道具包个，道具包个，道具包的总采购价格道具包的总采购价格，进而根据学校预算不超过元，道具包数量不高于道具包数量的倍可得自变量的取值范围，那么根据函数的增减性和自变量的取值范围可得最低采购成本．
【详解】（1）解：设道具包的单价为元，则道具包的单价为元，
，
解得：，
经检验：是原方程的解．
∴．
答：道具包的单价为元，道具包的单价为元；
（2）解：设购买总成本为元，购买道具包个，道具包个，
得：，
∵，
∴随的增大而减小，
由题意得：，
解得：，
∴当时，最小，，
∴．
答：购买道具包个，道具包个，总采购成本最低，最低成本是元．
24．(1)见详解
(2)；
【知识点】用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、利用垂径定理求值、圆周角定理
【分析】本题考查了圆的切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质等知识点．
（1）连接，通过圆周角定理，平行线的性质，得到，继而得证结论．
（2）作于点，设的半径为，根据勾股定理可得，利用三角形不同边上的高计算面积相等，得到，继而根据勾股定理得到及的长．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
又，
，
，
是的切线；
（2）解: 如图，作于点，
设的半径为，则，
，
在中，，
, 解得，
，
，
，
，
，
在中，，
．
25．(1)米
(2)米
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形
【分析】（1）由“已知斜坡坡比为”可知：，在中，由边角关系求出的长，再由勾股定理求出坡面的长度；
（2）由题意可知：，设古塔的高度为米，则米，米，过点作于点，则，由“三个角是直角的四边形是矩形”得：四边形是矩形，从而得出米、米、米，在 中，由边角关系得出关于的方程，解方程即得．
【详解】（1）解：∵斜坡坡比为， ，
∴，
在中，米，
米，
米，
即坡面的长度为米；
（2）解：在中，，
，
，
设古塔的高度为米，
则米，米，
过点作于点，如图：
则，，
∴四边形是矩形，
米，米，
米，
在 中，，即，
解得：，
∴古塔的高度为米．
26．【答案】（）见解析，图形见解析，依据为两点之间线段最短；（），．
【知识点】列代数式、两点之间线段最短、画出直线、射线、线段
【分析】（）根据题意作出图形即可；
连接交于点，然后通过两点之间线段最短即可求解；
（）列代数式即可；
列代数式即可．
【详解】解：（）如图，
如图，连接交于点，则点即为所求，
作图的依据是：两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（）跑道的周长为，
故答案为：；
两项比赛场地的总面积
．
27．(1)①；②
(2)
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）①将点代入中即可求出二次函数表达式；
②当时，轴，根据二次函数的对称性求出和的值，然后根据列式计算即可；
（2）根据A，B两点位于对称轴的异侧，二次函数的最小值为，分两种情况：①当时，，②当时，，分别求出a关于m的等式，结合m的取值范围可得答案．
【详解】（1）解：①将点代入中，
得：，
解得：，
∴这个二次函数的表达式为：；
②∵点和在二次函数的图象上，，抛物线的对称轴为，
∴，轴，
∴，，
当时，，
∴，
∴；
（2）解：∵和两点位于该二次函数图象对称轴的异侧，
∴，，
∴，
∵二次函数的最大值与最小值的差为1，二次函数的最小值为，
∴①当时，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即；
②当时，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即；
综上，a的取值范围为．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
C
D
B
B
C
D