2026年江苏省常州市田家炳初级中学九年级中考模拟数学试卷含答案

这是一份2026年江苏省常州市田家炳初级中学九年级中考模拟数学试卷含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（共16分）
1．（本题2分）年是农历丙午马年，的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．（本题2分）分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．且B．且C．D．
3．（本题2分）已知，，则的值为（ ）
A．0B．1C．3D．8
4．（本题2分）方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
5．（本题2分）为丰富学生课余活动，某校用5000元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x的函数关系式为（ ）
A．B．C．D．
6．（本题2分）抛物线顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
7．（本题2分）如图，在中，，且分别交、于点D、E．若，则和的面积之比等于（ ）
A．B．C．D．
8．（本题2分）某游泳馆有A、B两种收费，所付总费用y与游泳次数x之间的关系如图所示．去年小明共游泳25次，他预计今年也是25次左右，你认为小明预计今年最划算应付费用（ ）
A．300元B．400元C．500元D．600元
二、填空题（共20分）
9．（本题2分）计算_________．
10．（本题2分）因式分解__________．
11．（本题2分）目前，人形机器人领域的竞争尚处于早期阶段，但预计未来数十年该市场将迎来爆发式增长，花旗集团研究显示，到2050年时，全球人形机器人数量预计将激增至48000000台，用科学记数法可表示为___________台．
12．（本题2分）计算：______．
13．（本题2分）双曲线在每一象限内y随x的增大而增大，则m的取值范围是____．
14．（本题2分）若向如图的正方形游戏板投掷一次飞镖，掷向每一点的机会都均等，飞镖落在阴影部分的概率是______．
15．（本题2分）如图，的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为______．
16．（本题2分）中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小敏家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积是__________．
17．（本题2分）如图，矩形的顶点C在双曲线上，与y轴交于点D，且，与x轴负半轴的夹角的正切值为，连接，，则k的值为________．
18．（本题2分）如图，在平行四边形中，为边上点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的度数为_________．
三、解答题（共84分）
19．（本题8分）计算：
(1)；
(2)．
20．（本题6分）解不等式组：．
21．（本题8分）一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演
员的身高（单位：）如下表所示：
数据分析：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： __________， __________；
(2)求乙芭蕾舞团女演员身高的方差，并判断哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐．
22．（本题8分）我国航天事业不断刷新纪录，重大工程成就举世瞩目，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．明明和亮亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“碧空天链”、“太空家园”等模块．他们决定每人都从这四个模块中随机选择一个进行学习，设这四个模块依次为、、、．（两名同学的选择相互不受影响，且选每个模块的可能性均相同）
(1)明明恰好选择“飞天英雄”进行学习的概率是___________；
(2)用画树状图或列表的方法求出他们恰好选择不同模块的概率．
23．（本题8分）如图，一次函数与反比例函数（）的图象交于点，与x轴交于点B．
．
(1)填空：_____，____；
(2)过点B作轴交反比例函数的图象于点C，试求直线解析式的表达式；
(3)观察图象，直接写出当时，不等式组的解集．
24．（本题8分）如图，直线与反比例函数（k为常数，）的图像相交于A、B两点，其中点A的坐标为．
(1)求m的值和反比例函数关系式；
(2)请直接写出点B的坐标是 ；
(3)根据图像写出时，x的取值范围．
25．（本题8分）如图，正方形中，，
(1)求证：①；②；
(2)若，，求的长．
26．（本题10分）如图，扇形为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为，、、、在同一直线上．直线与所在相切于点，此时测得；从点处沿方向前进8米到达处．直线与所在相切于点，此时测得．
(1)求圆心角的度数；
(2)求的弧长．（结果保留π和根号）
27．（本题10分）直线分别交轴，轴于，两点，
(1)求线段的长；
(2)如图，将沿轴正方向平移，分别交轴，轴于，两点，分别过点、点向作垂线，垂足分别为点、点，若线段是和的比例中项，求此时点坐标．
28．（本题10分）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点是抛物线对称轴上第三象限的一点，将沿翻折，若点恰好落在对称轴上点处，求点的坐标．
(3)如图2，将直线向下平移6个单位长度得直线，点为直线上一点，射线，（均与轴不平行）与抛物线都只有唯一交点，分别为，．判断直线是否经过某个定点，若经过定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．
甲
163
164
164
165
165
166
166
167
乙
163
165
165
165
166
167
168
169
芭蕾舞团
平均数
中位数
方差
甲
a
165
1.5
乙
166
b
m
《2026年江苏省常州市田家炳初级中学九年级中考模拟数学试卷》参考答案
1．A
【详解】解：，
的相反数是．
2．C
【分析】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，掌握分式有意义需分母不为零、二次根式有意义需被开方数非负的综合应用是解题的关键．
结合分式有意义和二次根式有意义的条件，确定分母中二次根式的被开方数的取值范围，进而得到的取值范围，再判断选项．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴分母 ，且被开方数 ，
但当时，，
∴，
即 ．
故选：C．
3．C
【分析】根据同底数幂相乘法则计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴．
4．D
【分析】本题考查了判断一元二次方程，通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况．
【详解】解：∵方程中，，，，
∴，
∴方程没有实数根．
故选：D．
5．B
【分析】本题考查列函数表达式，根据总价等于单价乘以数量，列出函数关系式即可．
【详解】解：依题意得，
即：．
故选：B．
6．B
【分析】本题主要考查抛物线顶点坐标的求解，利用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，进而求出顶点坐标．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 抛物线的顶点坐标为．
故选：B．
7．A
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据，可得根据，可以得到，从而可以求得△和△的面积之比．
【详解】解：，
，
，
，
，
即和的面积之比等于．
故选：A．
8．B
【分析】分别计算不同的方案所需的费用，再进行比较即可．
【详解】解：由题可知，①选择A种收费方式，游泳25次应付费用元；
②选择B种收费方式，游泳25次应付费用元；
③20次选择B种收费方式，5次选择A种收费方式，游泳25次应付费用元；
∵，
∴小明预计今年最划算应付费用元．
故选：B．
9．
4
【分析】本题考查立方根的运算，先依据立方根的定义求出的值，再进行有理数的符号运算即可求解．
【详解】解：根据立方根的定义，由于，
因此，
则．
故答案为：4．
10．
【分析】本题主要考查了因式分解．直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
故答案为：
11．
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：
故答案为：
12．1
【分析】本题主要考查分式的减法，根据同分母分式的减法运算法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：1．
13．
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握这些知识是关键；根据反比例函数在每一象限内y随x的增大而增大，则有，从而可求解．
【详解】解：∵双曲线在每一象限内y随x的增大而增大，
∴，
解得：；
故答案为：．
14．/
【分析】此题考查几何概率，根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，求解即可．
【详解】解：根据题意，阴影部分面积占整个游戏板面积的，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为：．
15．4
【分析】本题考查了平行四边形的性质、中心对称的性质，根据平行四边形是中心对称图形，可得点D与点B关于原点成中心对称，根据中心对称的性质（两个点的横坐标与纵坐标互为相反数）可得结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，且对角线交于原点O，
∴点与点关于原点成中心对称，
，
．
故答案为：4．
16．24
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积，解题的关键是掌握以上性质．
根据菱形的性质得出直角三角形以及对角线的数量关系，利用勾股定理求出对角线长度，然后利用菱形面积公式求解即可．
【详解】解：如图所示，交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，
由勾股定理得，
∴，
∴该菱形的面积是
故答案为：24．
17．16
【分析】过点C作轴于点E，根据三角形面积得到，根据题意，可以求得，根据勾股定理，确定点，求解即可．
【详解】解：过点C作轴于点E，
，，
，
，
，
矩形，
，
，
，
，
轴，
，
，
，
与x轴负半轴的夹角的正切值为，
，
，
，
，
，
，
解得（负的舍去），
，
，
．
18．66°
【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=42°，又由折叠的性质得：∠D'=∠D=42°，∠EAD'=∠DAE=15°，再由三角形的外角性质得∠AEF=∠D+∠DAE =57°，然后由三角形内角和定理可得∠AED'=108°，最后由角的和差即可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=42°，
又∵∠D'=∠D=42°，∠EAD'=∠DAE=15°(折叠的性质)
∴∠AEF=∠D+∠DAE=42°+15°=57°，
∴∠AED'=180°-∠EAD'-∠D'=123°，
∴∠FED'=123°-57°=66°．
故答案为66°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键．
19．(1)
(2)
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
20．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为．
21．(1)165；；
(2)，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐
【分析】本题考查了求方差，中位数，平均数，根据方差判断数据的波动大小，理解方差的意义是解题的关键．
（1）根据平均数、中位数的定义求解即可；
（2）先求得甲、乙两个芭蕾舞团的女演员的身高的平均数，进而求得的甲、乙两组数据的方差，根据方差的大小来判断哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：165，；
（2）解：．
而由（1）得，
∴方差分别是
，
．
由可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐．
22．(1)；
(2)他们恰好选择不同模块的概率为．
【分析】本题考查的知识点是概率公式、列表法或树状图法求概率，解题关键是熟练掌握画树状图或列表求概率的方法．
（1）根据概率公式直接求解；
（2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解．
【详解】（1）解：明明在“梦圆天路”“飞天英雄”“碧空天链”“太空家园”四个模块中恰好选择“飞天英雄”进行学习的概率是，
故答案为：；
（2）解：树状图如下：
由图可得，一共有种等可能的结果，其中他们恰好选择不同模块的有种结果，
他们恰好选择不同模块的概率为．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把点分别代入一次函数，反比例函数求解即可；
（2）先确定点，点，设的表达式为，
确定，继而得到；
（3）根据，，利用交点的横坐标，结合函数的图象，写出不等式组的解集即可．
【详解】（1）解：一次函数与反比例函数（）的图象交于点，
故，
解得；
（2）解：，，
，，
当时，得，
解得，
故，
当时，，
故，
设的表达式为，
根据题意，得，
解得，
所以
（3）解：因为点，点，
故不等式组的解集为．
24．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）根据直线过点，可求出m的值，进而确定点A的坐标，再根据反比例函数（k为常数，）的图象过，求出k即可确定反比例函数的关系式；
（2）与组成方程组求解即可；
（3）根据图象的交点坐标，再根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：∵直线过点，
∴，
∴，
又∵反比例函数（k为常数，）的图象过，
∴，
∴反比例函数的关系式为；
（2）解：由题意得，，
解得，，，
∴直线与反比例函数的交点坐标为，，
∵，
∴；
（3）解：由两个函数的图象及交点坐标可知，时，x的取值范围为或．
25．(1)①证明过程见解析；②证明过程见解析
(2)
【分析】（1）①由、、可证得；
②利用全等的性质证，利用直角三角形两个锐角互余证明，即可解决问题；
（2）利用全等的性质证，然后证，得，据此可得答案．
【详解】（1）证明：①四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
；
②，
，
，
，
，
；
（2），，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
26．(1)
(2)的弧长为．
【分析】（1）由圆的切线的性质得到，再由直角三角形锐角互余即可求解；
（2）先解，设，，再解得到，求出，求出半径，再由弧长公式即可求解．
【详解】（1）解：∵直线与所在相切于点，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵直线与所在相切于点，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴的弧长为：，
答：的弧长为．
27．(1)
(2)
【分析】（1）根据解析式求出，两点的坐标，然后利用勾股定理进行求解；
（2）先证得四边形是正方形，过点作于，证得，可得，，则，过点作于，求出直线的解析式，则可求出点的坐标．
【详解】（1）解：令，则，，
令，则，
，
；
（2）解：如图所示，过点作于，过点作于，
，，
，
，，
四边形是矩形，，
，，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，，
，
同理可得，，
设，
将，代入中，得，
解得，
直线的解析式为．
令，则，
解得：，
．
28．(1)
(2)
(3)直线经过定点
【分析】（1）根据对称轴与函数图象过点B，列出方程组即可求解；
（2）由抛物线的对称性可求得点A的坐标，求得，由折叠性质得，设点的坐标，再设点K的坐标即可求解；
（3）求出点C的坐标，即可求得的解析式，从而求得直线的解析式；设，设直线的解析式为，与二次函数联立，则可得；求出直线的解析式，求得点P的坐标，代入直线的解析式中，得用的代数式表示，即可判断直线过定点．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，其对称轴为直线，
∴，解得：，
即抛物线解析式为；
（2）解：∵关于抛物线对称轴对称，
∴点A的坐标为，
∴，
由折叠性质得，
设点，其中，
由勾股定理得：，
解得：（舍去），
即；
设点K的坐标为，
∵，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：在中，令，得，
即，
设直线的解析式为，把点A的坐标代入得：，
∴，
即直线的解析式为，
∴直线l的解析式为；
设，直线的解析式为，
则，整理得：，
则是上述方程的两个不相等的实数根，
∴；
设的解析式为，把点M坐标代入得：，
∴，
则，
即，
由题意得：，
∴，
即；
同理得：直线的解析式为，
联立得：，解得：，
即，
即点P的坐标为，
∵点P在直线l上，
∴，
即，
∴直线的解析式为，
当时，，
即直线过定点．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
A
C
C
D
B
B
A
B