2026年江苏省南京市两校联盟南京市弘光中学等校中考数学模拟试题有答案解析

这是一份2026年江苏省南京市两校联盟南京市弘光中学等校中考数学模拟试题有答案解析，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题2分，共12分）
1．9的算术平方根是（ ）
A．3B．C．81D．
2．去年，江苏省城市足球联赛热度空前，赛事全程吸引现场总观众人数超2430000．将2430000用科学记数法表示，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．变量与之间的关系式是，当自变量时，因变量的值是（ ）
A．B．C．2D．1
4．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是的弦，半径于点D．若，则的长是（ ）
A．4B．3C．2D．
二、填空题（每小题2分，共20分）
7．计算： ．
8．若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
9．若，化简 ．
10．图中表示被撕掉一块的正边形纸片．若，则的值是 ．
11．如图，在平行四边形中，点M为边上任意一点，点E，点F分别是的中点，若，则的长为 ．
12．如图，是等边三角形，点在的延长线上，点在边上，连接，，，且，以的中点为圆心，长为半径画圆，交边于点，交于点．
（1）连接， 度;
（2）若，则的长为 ．
13．如图，周日下午八年级某班小明想到A站乘公交车返校上学，发现他与公交车的距离为．假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为 m．
14．抛物线的顶点坐标为，则的最大值为 ．
15．玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为 ．
16．如图，四边形为正方形，点P为平面内一点，已知，，则的最大值为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17．已知，，均为实数，求的值．
18．先化简，再求值：，其中
19．某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了25%，结果提前8天完成任务，那么原计划每天铺设管道多少米？
20．如图，在中，，，，D是的中点．
(1)求作：使圆心O在上，且经过B、D两点，与交于点E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
(2)连接，在（1）的条件下，求的长度．
21．在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液．
A．酚酞 B．氢氧化钠溶液（碱性） C．盐酸溶液（酸性） D．蒸馏水（中性）
(1)小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________．
(2)张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率．
22．某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目你及时纠错解疑吗？”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图．
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)本次抽样调查人数是_____，请补全条形统计图；
(2)扇形统计图中选项“较少”占的百分比中_____，选项“较多”对应的圆心角是_____度；
(3)若该校共2400名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？
23．如图，点在的直径的延长线上，点在上，连接．已知，；
(1)求证：与相切；
(2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积．
24．如图，在中，，，D是的中点，分别过点A、D作直线，直线、之间的距离为7，过点B作于点M，延长交于点N．
(1)求的值；
(2)若，求的长．
25．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)若，求证：抛物线与轴一定有两个交点．
(2)若，点在抛物线上，其中，
①若的最小值是，求函数的表达式；
②若对于，都有，求的取值范围．
26．如图，四边形中，，，，，于点．线段沿以每秒1个单位的速度向点运动，点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动．连接交于点，连接，设运动时间为秒．
(1)如图1，连接、，当为何值时，四边形为平行四边形？
(2)设四边形面积为，求与之间的函数关系式；
(3)是否存在某一个时刻，使平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
27．在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度，宽，解决下列问题：
(1)图中的度数为______°；
(2)求的长（精确到）；
(3)请直接写出格挡的宽度的大小（精确到）（参考数据：，，，，）
初三第一次模拟考试
参考答案
1．A
【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，进行求解即可．
【详解】解：9的算术平方根是3；
故选A．
2．C
【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：2430000用科学记数法表示为．
故选：C．
3．C
【分析】本题主要考查了求函数值，直接把代入中进行求解即可．
【详解】解：在中，当时，，
故选：C．
4．C
【分析】本题重点考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可．
【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意；
B.不是轴对称图形，不符合题意；
C.是轴对称图形，符合题意；
D.不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方．
根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，对每个选项逐一计算判断即可．
【详解】解：，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项正确；
，故D选项错误；
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
连接，设，利用垂径定理得到，再利用勾股定理计算出x即可．
【详解】解：连接，
设，
∵是的弦，半径于点D．，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
解得（舍去），
∴．
故选：C．
7．/
【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂．利用零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算．
【详解】解：．
故答案为：．
8．/
【分析】分式有意义的条件是分母不为零．
本题考查了分式的性质，熟知分式的分母不为零是解题关键．
【详解】解：要使分式 有意义，
则分母 ，
即 ，
解得 ．
故答案为： ．
9．
【分析】本题考查化简二次根式．先判断，再根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查三角形的内角和，多边形的外角和，正多边形的性质，熟练掌握相关公式和性质是解题的关键．延长、交于点，根据得到，于是可以得到正多边形的一个外角为，进而可得正多边形的边数．
【详解】解：如图，延长，交于点，
，
，
∵是正边形纸片，
∴，
即正多边形的一个外角为，
，
故答案为：．
11．3
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质．
根据平行四边形的性质得出相等的边，然后判定是的中位线，根据三角形中位线的性质进行求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E，点F分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：3．
12． 75
【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求出，再利用直径所对圆周角为直角得到，从而求出，最后结合等边三角形的外角，计算出的度数．
（2）连接，利用直径所对圆周角为直角得到，在中求出的表达式，再根据求出，最后在中计算的长度．
【详解】解：（1）如图，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵是圆的直径，
∴，
在中，，，
∴，
∴；
（2）连接，设是等边三角形，边长为，
∵是圆的直径，
∴，
∵是等边三角形，边长为，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在中，∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，∵，
∴，
故答案为：①；②．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、圆的性质（直径所对的圆周角是直角）、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握通过线段和差建立方程求解边长的方法是解题的关键．
13．120
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
设小明到站之间的距离为，小明的速度为，则公交车到站之间的距离为，公交车的速度为，利用时间路程速度，结合小明不会错过这辆公交车，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【详解】解：设小明到站之间的距离为，小明的速度为，则公交车到站之间的距离为，公交车的速度为，
根据题意得：，
即，
解得：，
小明到站之间的距离最大为．
故答案为：．
14．3
【分析】本题考查了二次函数的顶点式和最值，由顶点坐标可得抛物线的顶点式，从而表示出和关于的表达式，代入得到关于的二次函数，求其最大值即可．
【详解】解：的顶点坐标为，
抛物线的解析式为，
展开得，
，．
则．
此为关于的二次函数，开口向下，当时取得最大值，
最大值为；
故答案为：3．
15．
【分析】本题考查组合体的体积，将图中组合体分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱，再根据圆柱的体积公式即可求解．
【详解】解：如图，将水的体积分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱，
上半部分的体积为：，
下半部分的体积为：，
故杯中水的体积为：，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质；
过点B作，且，连接、、，求出，证明和全等，可得，把求的最大值转换为求的最大值即可．
【详解】解：如图，过点B作，且，连接、、，
∵，，，
∴，
∵正方形，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴当点A、 P、E三点共线时，最大，此时，
∵，
∴，
即的最大值为．
17．
【分析】先根据二次根式被开方数的非负性求出、的值,代入代数式即可求解．
本题考查了二次根式的基本性质，掌握二次根式的非负性是解题关键．
【详解】解：∵，
∴,
∴
∴
原式．
18．；
【分析】本题考查了分式的化简求值．根据分式的混合运算法则化简，然后把x的值代入计算即可求出值，熟练掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：
，
当时，
原式．
19．30米
【分析】本题主要考查分式方程的应用，设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设米，根据“提前8天完成任务”列分式方程，解方程即可．
【详解】解：设原计划每天铺设管道x米，
，
化为整式方程，得：，
解得，
检验，当时，，
即是原分式方程的解．
答：原计划每天铺设管道30米．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了圆的性质，线段垂直平分线的尺规作图，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟知圆的相关知识是解题的关键．
（1）点O一定在线段的垂直平分线上，而圆心O在上，则点O为的中点，据此作线段的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画弧交于点E即可；
（2）由（1）可知，为的直径，则；由勾股定理可得的长，证明，得到，据此求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，连接，
由（1）可知，为的直径，
∴；
∵在中，，，，
∴；
∵D是的中点，
∴；
∵，
∴，
∴，即，
∴．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查列表法、概率公式求概率，解决本题的关键是理解题目意义．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及混合后的溶液变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种，
∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是，
故答案为：；
（2）解：列表如下．
共有12种等可能的结果，其中混合后的溶液变红色的结果有，，共2种，
混合后的溶液变红色的概率为．
22．(1)200，图见解析
(2)；108
(3)“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有840名
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的应用，计算扇形统计图中的占比和圆心角，用样本估算总体，掌握好相关知识是关键．
（1）用“偶尔”的人数除以占比求得抽样调查的人数，作差求出“较多”的人数，然后补全条形统计图即可；
（2）用“较少”的人数除以抽样调查的人数求出占比，同样方法算出“较多”的占比，再乘以得出“较多”对应的圆心角；
（3）计算出“一直”在样本中的占比，再乘以全校学生数即可．
【详解】（1）解：对比两个统计图可知，“偶尔”的人数为人，占比，
∴本次抽查的人数为（人），
∴“较多”的人数为（人），
补全条形统计图，如图所示：
（2）解：“较少”的百分比为，
∴，
“较多”对应的圆心角的度数为；
（3）解：（人）．
答：“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有840名．
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，特殊角的三角函数，求扇形的面积，解题的关键是：熟练掌握相关定理．
（1）连接，由，，得到，，由，得到，进而得到，即可求证；
（2）作，根据特殊角三角函数求出，，根据即可求解．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵ ，，
∴ ，，
∵ 点，点在上，
∴ ，，
∴ ，
∴ 与相切．
（2）解：如图2，过点作于，
∵ ，，
∴ ，
∵ ，，
∴，即，
∴ ，
∴ ，，
∴ ．
24．(1)
(2)5
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，完全平方公式，证明是解题的关键．
（1）根据题意可得，，则可利用证明，得到，再由线段的和差关系可得答案；
（2）利用完全平方公式得到，则可求出，结合勾股定理可得答案．
【详解】（1）解：∵，，直线、之间的距离为7，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴或（舍去）．
25．(1)见详解
(2)①，②或
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系，理解二次函数与不等式的关系是解题的关键．
（1）把代入抛物线方程，根据抛物线与一元二次方程的关系求解即可；
（2）把代入抛物线方程，得，①根据抛物线的开口向上，且顶点为最低点列方程求出m的值即可；②先求出当和时的函数值，比较后，根据最大函数值小于列不等式求解即可．
【详解】（1）证明：当时，抛物线方程化为，
∵
抛物线与轴一定有两个交点；
（2）解：当时，抛物线方程化为，
抛物线的顶点为，开口向上，
①抛物线开口向上，对称轴为且，
当时，抛物线的最小值为，即顶点纵坐标，
，
，
故函数表达式为；
②当时，，
∵抛物线开口向上，在内的最大值出现在区间端点离对称轴更远的点，
若对于，都有成立，需保证在取值范围内，两端点的函数值均小于，
当时，，
当时，，
，
化简，得，
解得：或，
的取值范围为或．
26．(1)当时，四边形为平行四边形
(2)
(3)存在，
【分析】本题考查了平行四边形的判定、相似三角形的性质与判定、三角形面积公式以及角平分线的性质，解题的关键是根据运动时间表示出相关线段的长度，再结合几何性质建立方程或函数关系；
（1）根据四边形为平行四边形，得出，建立方程求解即可；
（2）先证明出，再利用性质建立等式表示出的面积，再根据即可求解；
（3）过点作于点，证明出，表示出，，，根据平分，进一步证明出，利用性质建立关于的方程进行求解即可．
【详解】（1）解：四边形为平行四边形
，
，
解得：，
当时，四边形为平行四边形．
（2）解：由题意得：，
由（1）知：，
，
，
，
因此，与之间的函数关系式为．
（3）解：过点作于点
，
，
．
平分，
解得：
当，平分．
27．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）延长交于点，易得，则减去的度数即为的度数；
（2）延长交于点，根据的余弦值可得的长度，根据的正切值可得的值，则，加上的长度即为的长度；
（3）延长，交于点，作于点，分别求出，，，，的长度，再加上和的长度，即为的大小．
【详解】（1）解：延长交于点X，
由题意得：、，
、是的外角
故答案为：；
（2）解：延长交于点Y，
，
、、
由（1）知，
的长约为；
（3）解：延长，交于点Z，与于点，
由（1）知
、
作于点，则
根据题意可得
在中，由勾股定理得：
由题意得：，
的长约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，利用所给长度的线段和角度构造合适的直角三角形是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
A
C
C
C
C
C