人教版（2024）九年级下册解直角三角形及其应用图片ppt课件

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解直角三角形在实际中的应用解直角三角形在仰角和俯角问题中的应用解直角三角形在方向角问题中的应用解直角三角形在坡角、坡度问题中的应用
解直角三角形在实际中的应用
1. 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤(1)画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为解直角三角形的问题；(2)根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数等知识解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.
2. 解决实际问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下表所示
特别解读1. 当实际问题中涉及的图形可以直接转化为直角三角形时，可利用解直角三角形的知识直接求解.2. 在解直角三角形时，若相关的角不是直角三角形的内角，应利用平行线的性质或互余、互补的角的性质等将其转化为直角三角形的内角，再利用解直角三角形的知识 求解.
3. 问题中涉及的图形有两个或两个以上的直角三角形，当其中一个直角三角形不能求解时，可考虑分别由两个直角三角形找出含有相同未知元素的关系式，运用方程 求解.
[中考·河南] 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30 cm，顶点A处挂了一个铅锤M. 如图28.2－12是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H. 经测量，点A距地面1.8 m，到树EG的距离AF＝11 m，BH＝20 cm. 求树EG的高度(结果精确到0.1 m)．
解题秘方：将实际应用问题转化为解直角三角形问题．
解题秘方：在建立的非直角三角形模型中，用“化斜为直法”解含公共直角边的直角三角形问题.
2－1.[中考· 青海]为了方便观测动物的活动情况，某湿地公园要铺设一段道路. 计划从图中A，C两处分别向B处铺设，现测得AB＝1 000 m，∠BAC＝30°，∠ABC＝136°，求B，C两点间的距离(结果取整数，参考数据：sin 14 ° ≈ 0.24，cs 14°≈ 0.97，tan 14°≈ 0.25).
解：如图，过点B作BD⊥AC，垂足为D.∵∠BAC＝30°，∠ABC＝136°，∴∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝14°.
1. 仰角和俯角的定义在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.
解直角三角形在仰角和俯角问题中的应用
2. 示图(如图28.2－14)
特别提醒1. 仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”.2. 当实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形中或转化到直角三角形中，注意确定水平线.
[中考·天津] 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度(如图28.2－15 ①)．
某学习小组设计了一个方案：如图28.2－15 ②，点C， D，E依次在同一条水平直线上，DE＝36 m，EC⊥ AB，垂足为C. 在D处测得桥塔顶部B的仰角(∠CDB)为45 °，测得桥塔底部A的俯角(∠CDA)为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角(∠CEB)为31°．
(1)求线段CD的长(结果取整数)；
(2)求桥塔AB的高度(结果取整数).(参考数据：tan31°≈ 0.6，tan6°≈ 0.1)
解：由题意知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，AD⊥BC.∵AD⊥BC，∴∠BDA＝∠ADC＝90°.∴∠BAD＝∠ABD＝45°. ∴BD＝AD＝10 m.
解直角三角形在方向角问题中的应用
1. 方向角的定义指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90° 的角叫做方向角.特别警示：方向角和方位角不同，方位角是指从某点的指北方向线起，按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，变化范围为0°~360°，而方向角的变化范围是0°~ 90°.
2. 示图如图28.2－16 ，目标方向线OA，OB，OC的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西30°，其中南偏东45° 习惯上又叫做东南方向，北偏东45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向，南偏西45°习惯上又叫做西南方向.
特别解读1. 解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解.2. 观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，通常借助此性质进行角度转换.
解题秘方：建立数学模型后，作高AD，用“化斜为直法”，将斜三角形问题转化为直角三角形问题求解．
解：由题意，得∠NAC＝80°，∠BAS＝25°，∴∠CAB＝180°－ ∠NAC－∠BAS＝75°.又∵∠ABC＝45°，∴ ∠ACB＝180° －∠CAB－∠ABC＝60°，即行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°．
(1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；
(2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号)．
解：由题意得AB＝40×2＝80(km)，∠CAB＝30°，∠ABC＝45°.如图，过点C作CD⊥AB于点D，则CD的长为该船在航行过程中与小岛C的最近距离．
1. 坡角与坡度(坡比)的定义(1)坡角：坡面与水平面所成的夹角，如图28.2－18中的α .(2)坡度(坡比)：我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)(如图28.2－18所示)，坡度(坡比)也可写成i＝h∶l的形式，在实际应用中常表示成1∶x的形式.
解直角三角形在坡角、坡度问题中的应用
特别提醒1. 坡度是两条线段的比值，不是度数.2. 表示坡度时，通常把比的前项取作1，后项可以是小数.
解题秘方：将分散的条件集中到△ABP中求解.
(1)山坡坡角的度数等于_______ °；
5－1.[中考· 天门]为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度 i＝3∶4 是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比. 已知斜坡CD长度为20 m，∠C＝18°，求斜坡AB的长(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 18°≈ 0.31，cs 18°≈ 0.95，tan 18°≈ 0.32).
解直角三角形的应用类型
从同一点看不同位置测量高度
[中考·菏泽]无人机在实际生活中的应用越来越广泛.如图28.2－20，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80 m，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70 m(点A，B，C，P在同一平面内)，求大楼的高度BC(结果保留根号)．
解题秘方：在同一点两条不同视线构成的直角三角形中，利用解直角三角形求出高度．
关键点拨本题由平行线的性质将两个俯角转化为内错角放在两个直角三角形中，利用解直角三角形及矩形的性质解决问题．
从不同点看同一位置测量高度
为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈. 大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD(碑顶到水平地面的距离)，于是师生组成综合实践小组进行测量．
解题秘方：先利用三角形外角的性质和等角对等边求出DN，再在Rt△DNE中利用正弦的定义求出DE，最后不要忘记加上CE.
关键点拨本题中过测角仪的顶端向纪念碑所作的垂线，构造出矩形和直角三角形，利用解直角三角形和矩形的性质解决问题．
从不同点看不同位置测量高度
[中考·盐城]如图28.2－22，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升至距地面30m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37 °，
再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为_____m(精确到1 m，参考数据：sin37°≈ 0.60，cs37°≈ 0.80，tan37°≈ 0.75)．
关键点拨本题关键是构造直角三角形，根据正切的定义求出相关线段的长，最后利用线段的差求解.
在解直角三角形的应用题时，对方向角理解不清导致错误
如图28.2－23，在某一海域执行护航任务的某军舰正由东向西行驶，在航行到B处时，发现灯塔A在军舰的正北方向500 m处；当该军舰从B处向正西方向行驶到达C处时，发现灯塔A在军舰的北偏东60°的方向. 求该军舰从B处行驶到C处的路程(计算过程和结果均保留根号).
诊误区：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角，本题因对方向角的概念理解不清而导致错误.
[中考·烟台] 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义. 某电力部门在一处坡角为30 °的坡地新安装了一架风力发电机，如图28.2－24 ① .
利用解直角三角形求物体的高度
某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图28.2－24 ② 为测量示意图. 已知斜坡CD长16 米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45 °，利用无人机在点A的正上方53 米的点B处测得P点的俯角为18 °，求该风力发电机塔杆PD的高度(参考数据：sin18 ° ≈ 0.309，cs18 ° ≈ 0.951，tan18°≈ 0.325).
试题评析：本题考查了解直角三角形的应用及仰角和俯角问题，熟练掌握三角函数定义与解直角三角形的方法是解本题的关键．
在Rt△PAF中，∠PAF＝45°，∴ PF＝AF·tan45°＝x米.在Rt△BPG中，∠GBP＝18°，∴ GP＝BG·tan18°≈ 0.325x米，∴FG＝PF＋PG≈ x＋0.325x＝1.325x(米)，∴ 1.325x≈53 ，解得x≈40.∴ PF≈40米.∴ PD＝PF－DF≈ 40－8＝32(米).答：该风力发电机塔杆PD的高度约为32 米．
[中考·重庆]如图28.2－25，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资.
利用解直角三角形解决航海问题
甲货轮沿A港的东南方向航行40 海里后到达B港，再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港. 乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港．
试题评析：本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握航海问题中的方向角在解直角三角形中的应用.
(1)求A，C两港之间的距离(结果保留小数点后一位).
解：甲货轮先到达C港.如图28.2－25所示.由题意得∠CDF＝30°，DF∥AG，∴∠GAD＝∠ADF＝60°. ∴∠ADC＝∠ADF＋ ∠CDF＝90°.
[中考·苏州] 如图28.2－26 ① 是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知AB＝10 cm，BC＝20 cm，AD＝50 cm．
利用解直角三角形解决实物中的计算问题
试题评析：本题主要考查解直角三角形的实际应用，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
(1)如图28.2－26 ②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度(结果保留根号)；
利用解直角三角形解决跨学科问题
试题评析：本题考查了解直角三角形的应用，理解折射率的定义是解题关键.
(2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质，如图28.2－29 ①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出. 如图28.2－29 ②，已知α＝60 °，CD＝10 cm，求截面ABCD的面积．
[中考·湖南] 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
利用解直角三角形解决实践活动问题
请根据表格中提供的信息，解决下列问题(结果保留整数)：
试题评析：本题考查了解直角三角形在实际测量活动中的应用，解题关键是构造直角三角形，利用锐角三角函数的知识求解．
(1)求线段CE和BC的长度；
(2)求底座的底面ABCD的面积．
5. 如图，图①为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图，图②为其平面示意图.已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l.若BC＝4 分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为________分米(结果用含根号的式子表示)．
6. [中考·孝感]综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD的中点A处竖直上升30 米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部F的俯角为30°，已知博雅楼高度CE为15 米，则尚美楼高度DF为_________米(结果保留根号).
7. 一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12 海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是________海里．
8. 无动力帆船是借助风力前行的． 如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400 N.
根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2又可以分解为两个力f1与f2，f1与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力. 在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F＝AD＝400，则f2＝CD≈_______．(单位：N)(参考数据：sin40°≈ 0.64，cs40°≈ 0.77)
9. [中考·河北]中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星 星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4 m，仰角为α；淇淇向前走了3 m 后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．
已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6 m，点P到BQ的距离PQ＝2.6 m，AC的延长线交PQ于点E.(注：图中所有点均在同一平面)
(1)求β 的大小及tanα 的值；
(2)求CP的长及sin∠APC的值．
10.[中考•泸州]如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30° 方向 上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上. 已知A，C相距30 n mile．求C，D间的距离(计算过程中的数据不取近似值)．
11. 研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动． 同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离． 航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD＝18.4 °；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD＝37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE＝9 米；……
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上. 请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长(结果精确到1 米． 参考数据：sin37° ≈ 0.60，cs37° ≈ 0.80，tan37° ≈ 0.75，sin18.4°≈0.32，cs18.4°≈ 0.95，tan18.4°≈ 0.33).
12.[中考·威海]某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角． 测量报告如下表(尚不完整)．
(1)设AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．
(2)根据(1)中选择的数据，写出求∠α 的一种三角函数值的推导过程.