初中数学人教版（2024）九年级下册投影课堂教学课件ppt

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投影平行投影中心投影正投影
1. 定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影. 照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.
2. 性质：(1)光线是沿直线照射的，因此可以由物体与它的投影确定光线的方向.(2)不同时刻，物体的影子的方向和大小会发生变化；在投影线和投影面相同的情况下，不同形状的物体的投影一般不同.
特别提醒形成投影应具备的条件：1. 要有物体存在，且物体处于光源与投影面之间；2. 要有光线；3. 要有一个呈现投影的面, 即投影面(投影面应是平的).
如图29.1－1，能近似反映冬季上午10时你所在学校的旗杆与其影子的位置关系的是( )
解题秘方：紧扣“投影的特征”，结合生活体验进行判断.
解：冬季上午10时，北半球太阳光下物体的影子应大致在物体的西北方向.
1－1.[期末·沂源县]每当晴天，小亮在早晨上学的路上和下午放学的路上，面朝前走时，都看不到自己的影子，那么小亮的家在学校的(　　)A. 东面 B. 西面C. 南面 D. 北面
1. 定义：太阳光线可以看成平行光线，由平行光线形成的投影叫做平行投影. 例如，物体在太阳光的照射下形成的影子属于平行投影.
平行投影的投影线都是平行的.
深度理解平行投影中对应点的连线是互相平行的；若物体与其投影的对应点的连线互相平行，就说明是平行投影.
2. 特征：(1)同一时刻，在太阳光下，等高的物体垂直于地面放置时，它们的影子长度相等；等长的物体平行于地面放置时，它们的影子长度也相等，并且影子的长度等于物体本身的长度.(2)在太阳光下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体本身的高度与它们的影子长度成正比.
小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的影子不可能是图29.1－2 中的( )
解题秘方：紧扣“同一时刻，平行的边的平行投影是平行或重合的”这一特征解答.
解：矩形木框在地面上形成的影子应是平行四边形或一条线段，不会是梯形.
2－1. 在同一时刻，两根长度不等的木杆置于阳光之下，但它们的影长相等，那么这两根木杆可能的相对位置是(　　)A. 两根木杆都垂直于地面B. 两根木杆平行斜插在地上C. 两根木杆不平行斜插在地上D.两根木杆都倒在地上
如图29.1－3，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5 m，某一时刻AB 在阳光下的投影BC＝3 m.
(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影(用线段EF表 示)；
解：如图29.1－4，连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BE于点F，则EF就是DE的投影.
(2)在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6 m，请你计算DE 的长.
3－1. 小明和小丽要利用树影来测量树高，小明在某一时刻测得长为1 m的标杆的影长为0.9 m，同时小丽测量树影，但因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面 上，有一部分影子在墙上(如图所示)，她先测得留在墙上的影高为1.2 m，又测得地面上的影长为2.7 m，那么树高是多少米？
1. 定义：由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影. 如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影.2. 特征：在中心投影的情况下，点光源、物体边缘的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上. 这些直线相交于光源这一点.
3. 知识拓展：平行投影和中心投影的联系与区别
特别提醒中心投影的光源是点光源，它的光线相交于一点，常见的点光源有手电筒、路灯、台灯等.
图29.1－5中的投影不是中心投影的是( )
解题秘方：紧扣“影子的位置情况”和“投影线的方向”进行辨识.
解：A 选项，影子在异侧，属于中心投影；B，C 选项，影子在同侧，作投影线时相交于一点，属于中心投影；D 选项，影子在同侧，作投影线时平行，属于平行投影.
教你一招：判断是中心投影还是平行投影的方法看图中的影子：若在同侧，则是平行投影或中心投影；若在异侧，则一定是中心投影.作图：过不同物体的顶端及其影子的顶端作直线，若平行，则为平行投影；若相交，则为中心投影.
4－1.[期末·烟台海阳市]如图，小明夜晚从路灯下的甲处走到乙处的过程中，他在地面上的影子(　　)A. 逐渐变长B. 逐渐变短C. 先变长后变短D. 先变短后变长
如图29.1－6，学习中心投影后，小光同学在灯光下观察自己的影子. 线段AB表示小光，线段CD表示此时的灯杆，点C为路灯所在位置.
(1)画出小光在路灯C照明下的影子，并记为BE；
解题秘方：连接CA并延长，交直线BD于点E，线段BE即为所作；
解：如图29.1－7，线段BE即为所作.
(2)如果小光身高1.8 m，他站在距离灯杆CD 5 m的B处时，测得自己的影长BE＝3 m，求灯杆CD的高度.
5－1. 如图，小明(记为AB)和小亮(记为FG)在同一路灯下，小明的影子是AC，路灯灯泡在线段DE上．
(1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下的影子；
解：如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下的影子．
(2)如果小明的身高为1.6 m，他的影长为1.4 m，且他到路灯的距离为2.1 m，求灯泡的高度．
定义：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.(1)线段的正投影：如图29.1－8. 线段正投影的特征：平 行，长不变；倾斜，长缩短；垂直，成一点.
(2)平面图形的正投影：如图29.1－9. 平面图形正投影的特征：平行，形不变；倾斜，形改变；垂直，成线段.
(3)几何体的正投影：如图29.1－10. 几何体的正投影与它相对于投影面的位置有关，其正投影的形状、大小的特征服从线段和平面图形的正投影的特征.
知识链接正投影与平行投影、中心投影的关系：1. 正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影；2. 正投影是光线与投影面之间的关系，与物体距投影面的距离无关；3. 物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，一般分为物体与投影面平行、倾斜、垂直三种情况.
把一个正六棱柱如图29.1－11 ①摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是图29.1－11 ②中的 ( )
解题秘方：紧扣“立体图形的正投影”的特征进行识别.
解：由题可知正六棱柱的底面平行于投影面，所以它的正投影是与它的底面全等的正六边形.
方法点拨：判断物体正投影的形状关键要把握两点一是投影线的方向(一般在图中用箭头表示)；二是物体的形状(关键是正对投影线的面的形状).
6－1. 如图，水杯的杯口与投影面平行，平行光线的方向如箭头所示，它的正投影是( )
(1)作出正方体在平面H上的正投影；
解：正方体在平面H上的正投影如图29.1－13所示，为矩形MNPQ.
(2)计算正投影的面积.
7－1. 已知一纸板的形状为正方形ABCD，如图所示， 其边长为10厘米，AD，BC与投影面β 平行，AB，CD与投影面β 不平行，正方形ABCD在投影面β上的正投影为四边形A1B1C1D1，若∠ABB1＝45°，求投影A1B1C1D1的面积.
在生活中需测量一些球(如足球、篮球)的直径，某校研究性学习小组通过实验发现下面的测量方法：如图29.1－14，将球放在水平的桌面上，在太阳光的照射下，得到球的影子AB，设光线DA，CB 分别与球相切于点E，F，则EF 为球的直径. 若测得AB＝40 cm，∠ABC＝30°，请你计算球的直径.
解题秘方：紧扣“过两切点的光线间的距离即为球的直径”进行计算.
知识储备1. 平行线间的距离处处相等.2. 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半.
[期中·济南历下区] 如图29.1－15，小树AB在路灯灯泡O的照射下形成投影BC．
解题秘方：紧扣“灯泡、树顶、影子外端在一条直线上”建立相似三角形模型，利用相似三角形的性质解题．
(1)此光源下形成的投影属于_________(填“平行投影”或“中心投影”)；(2)若树高AB为2 m ，树影BC为3 m ，小树与灯泡的水平距离BP为4.5 m，求灯泡的高度OP．
特别提醒与中心投影有关的题，主要涉及两个方面，一是根据影子确定点光源，解题的关键是找到投影线的交点；二是建立几何模型，根据解直角三角形和相似的知识求影长、影距或物高.
如图29.1－16，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2 m的影子CE；当光线与地面的夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙脚C有25 m的距离(B，F，C 在一条直线上).
解题秘方：用建模思想建立解直角三角形的模型，利用三角函数的边角关系建立分式方程求解.
解：如图29.1－16， 过点E作EM⊥AB，垂足是点M.设AB的高度为x m，在Rt△ABF中，∠AFB＝45°，∴BF＝AB＝x m. 易得ME＝BC＝(x＋25)m，AM＝AB－BM＝AB－CE＝(x－2)m.
(1)求办公楼AB 的高度；
技巧点拨此处通过锐角三角函数的边角关系建立关于x的分式方程，通过解分式方程使问题得到解决，体现了方程思想.
解法提醒本题是在投影知识的背景下，利用解直角三角形的知识来解决实际问题的综合题. 解题的关键是从题中获取所需要的数据，然后构造直角三角形，利用解直角三角形的知识求解.
夜晚，小明在路灯下散步. 已知小明身高1.5 m，路灯的灯柱高4.5 m.(1)如图29.1－17 ①，若小明(EF)在相距10 m的两路灯AB，CD之间行走(不含两端)，他前后的两个影子长分别为FM＝x m，FN＝y m. 试求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
易错警示实际问题中自变量的取值范围通常隐含在已知条件中，小明在两路灯之间行走(不含两端)，说明小明(EF)可以无限接近但不能到达灯柱AB 与灯柱CD，即自变量x 可以接近0 和5，但不能等于0和5，审题时切记结合图形理解题意.
(2)常言道：“形影不离.”其原意为人的影子与自己紧密相 伴，无法分离. 但在灯光下，人的速度与影子的速度却不是一样的. 如图29.1－17 ②，若小明(EF)在灯柱PQ前朝着影子FR的方向以0.8 m/s的速度匀速行走，试求他的影子的顶端R在地面上移动的速度.
技巧点拨解决投影与相似三角形的综合问题的方法：解决投影与相似三角形的综合问题要根据题意画出图形，结合投影的性质运用三角形相似的有关知识找出有关线段之间的长度关系，进而列式求解.
混淆中心投影与正投影的特征而致错
在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长 (两人都是站立的)，那么在同一路灯下( )A. 小明的影子比小强的影子长B. 小明的影子比小强的影子短C. 小明的影子与小强的影子一样长D. 无法判断谁的影子长
正解：太阳光下的影子属于平行投影，遵循在同时同地的情况下，物高与影长成比例的规律；路灯下的影子属于中心投影，无法判断在同一路灯下谁的影子长.
诊误区：平行投影中，同时同地，物高与影长成正比，但中心投影中影长不仅与物高有关， 还与物体与点光源的位置有关.
[中考·凉山州]如图29.1－20，一块面积为60 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB∶BB1＝2∶ 3，则△A1B1C1的面积是( )A. 90 cm2 B. 135 cm2C. 150 cm2 D. 375 cm2
利用中心投影的特征计算
试题评析：本题考查中心投影的特征，结合位似的性质进行计算是解题的关键.
[中考·陕西] 一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度，如图29.1－21，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE 正好相等；
接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高为BN，其影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高(结果精确到0.1 m).
试题评析：本题考查相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而得到相似三角形.
利用解直角三角形解决斜坡投影问题
试题评析：本题主要考查利用解直角三角形解决斜坡投影问题，解题的关键是将坡面上的投影转化到水平面上，利用解直角三角形解决.
1. 下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的是( )
2. 若只增大物体与投影面之间的距离，则其正投影( )A. 变大 B. 变小C. 不变 D. 无法确定
3. [中考·南京]如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地 面，纸板上方的灯(看成一个点)与这条对角线所确定的平面垂直于纸板. 在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是( )
4. [中考•绍兴]如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2∶5，且三角板的一边长为8cm，则投影三角板的对应边长为( )A. 20 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 3.2 cm
5. 如图，小亮居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小亮由A处径直走到B处，他在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系用图象刻画出来大致是(　　)
6. 《孙子算经》中有道歌谣算题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸. 问竿长几何？”歌谣的意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺. 同时立一根一尺五寸的标杆，它的影长是五寸. 竹竿的长度是_______尺.(1 丈等于10 尺，1 尺等于10 寸)
7. [中考·眉山]如图，斜坡CD的坡度i＝1∶2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60° 时，大树在斜坡上的影子BE长为10 米，则大树AB的高为____________米.
8. 如图①，② 分别是两根木杆及其影子的图形．(1)哪个图形反映了阳光下的情形？哪个图形反映了路灯下的情形？
解：题图①为路灯下的情形，题图②为阳光下的情形．
(2)请你画出图中表示小树影长的线段.
解：如图①所示，AB即为所求；如图②所示，CD即为所求．
9. 如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC＝30°，已知窗户的高度AF＝2 m，窗台的高度CF＝1 m，窗外水平遮阳篷的宽AD＝0.8 m，求CP的长度(结果精确到0.1 m)．
10.[月考·临沂兰山区]如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1 米，继续往前走3 米到达E处时，测得影子EF的长为2 米，已知王华的身高是 1.5 米，那么路灯A的高度AB是多少米？
11.中国古代运用“土圭之法”判别四季． 夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探 索，如图，在示意图中，产生日影的杆子AB垂直于地面，AB长8 尺.
在夏至时，杆子AB在太阳光线AC照射下产生的日影为 BC；在冬至时，杆子AB在太阳光线AD照射下产生的日影为BD. 已知∠ACB＝73.4 °，∠ADB＝26.6 °，求春分和秋分时日影长度.(结果精确到0.1 尺；参考数据：sin 26.6°≈ 0.45，cs 26.6°≈ 0.89，tan 26.6°≈ 0.50，sin 73.4°≈ 0.96，cs 73.4°≈ 0.29，tan 73.4°≈ 3.35)