初中数学人教版（2024）九年级下册解直角三角形及其应用图片课件ppt

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解直角三角形解直角三角形的类型与解法
1. 解直角三角形的定义一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角. 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.
特别提醒：(1)在直角三角形中，除直角外的五个元 素，已知其中的两个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的三个未知元素(知二求三).(2)一个直角三角形可解，则其面积可求. 但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积.
深度理解1. 已知两个角不能解直角三角形.若只有角的条件，则三角形边的大小不唯一，即有无数个三角形符合条件.2. 已知一角一边时，角必须为锐角，若已知的角是直角，则不能求解.
2. 解直角三角形的常用关系式
根据下列所给条件解直角三角形，不能求解的是( )①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和 斜边.A. ②③ B. ②④ C. 只有② D. ②④⑤
解题秘方：紧扣解直角三角形中“知二求三”的特征进行解答.
解：①③④⑤能够求解，②不能求解.
1－1. 解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种：(1)已知两条边：一_______边和一________；两_______.(2)已知一条边和一个锐角：一_______和一_______；________和一_______.
解直角三角形的类型与解法
注意解直角三角形时，求某些未知量的方法往往不唯一，选择关系式通常遵循以下原则：(1)尽量选择可以直接应用原始数据的关系式；(2)尽量选择便于计算的关系式；(3)能用乘法计算的要避免使用除法计算.
活学巧记口诀记忆法：有斜求对乘正弦，有斜求邻乘余弦，无斜求对乘正切.“有斜求对乘正弦”的意思是：在一个直角三角形中，对一个锐角而言，如果已知斜边长，要求该锐角的对边长，那么就用斜边长乘该锐角的正弦值，其他的意思可类推.
根据下列条件，解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90 °，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠A＝30°，b＝12；
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90 °，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠A＝60°，c＝6.
思路点拨：紧扣以下两种思路去求解(1)求边时，一般用未知边比已知边(或用已知边比未知边)，去找已知角的某一个锐角三角函数.(2)求角时，一般用已知边比已知边，去找未知角的某一个锐角三角函数(或用9 0°减去已知锐角的度数).
3－1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解直角三角形：(1)c＝20，∠A＝45°；
(2)a＝8，∠A＝60°．
解题秘方：紧扣“化斜为直法”，通过作高把斜三角形转化为两个直角三角形求解.
教你一招: 构造直角三角形解非直角三角形的方法通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形求边或角. 在作垂线时，要充分利用已知条件， 一般在等腰三角形中作底边上的高，或过特殊角的一边上的点作这个角的另一边的垂线，从而构造含特殊角的直角三角形，再利用解直角三角形的相关知识求解.
4－1. 如图，在8×4的网格中，每个小正方形的边长都是 1，若△ABC的三个顶点都在图中相应的格点上，则 sin ∠ACB＝_______，BD＝_______．
4－2. 如图，在△ABC中，∠A＝30 °，∠B＝45°，AC＝6，则△ABC的周长为_____________.
利用解直角三角形求线段的长
解题通法解非直角三角形的方法：运用“遇斜化直”的思想求解，先作三角形的高，构造直角三角形，然后利用已知条件分别解这两个直角三角形，即可得出要求的值.
利用解直角三角形求角的度数
解题秘方：将求正方形旋转的度数问题转化为求直角三角形中角的度数问题.
知识储备图形旋转的性质：旋转过程中，对应点到旋转中心的距离都相等；图形上每一点都绕旋转中心沿相同的方向旋转相同的角度，任意两组对应点与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；旋转中心在图形上时，它是唯一不动的点.
特别解读本题把求旋转角的度数问题转化为求Rt△CBE中角的度数问题，进而根据解直角三角形的相关知识求解，体现了转化思想的应用.
利用解直角三角形求面积
[中考·日照]如图28.2－4，□ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，DE，且BE＝DE．
解题秘方：连接平行四边形的对角线，将四边形问题转化为三角形问题进行求解．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB＝10，tan∠BAC＝2，求四边形ABCD的面积．
技巧点拨作辅助线的技巧：解四边形问题时，通常通过作辅助线将问题转化成解直角三角形问题，作辅助线时注意：1. 尽量不破坏题目中原有的已知角，特别是一些特殊角；2. 尽量使已知的边作为构造的直角三角形的边，否则会给解题造成麻烦或不能求解.
利用解直角三角形解决与圆有关的问题
解题秘方：利用圆的切线的判定和解直角三角形解题．
(1)试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∴∠BOD＋ ∠B＝90°，∴∠BDO＝90°，即OD⊥ AB．又∵ OD是⊙ O的半径，∴直线AB与⊙ O相切．
技巧点拨证明切线的方法通常是“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”，本题利用了“连半径，证垂直”，比较常规．本题第(2)问中求线段的长充分发挥了解直角三角形的优势，对于求AC的长，也可以利用相似三角形的性质，但稍微繁琐一点．
如图28.2－6，在Rt△ABO中，∠AOB＝90 °，斜边AB＝1. 若OC∥ BA，∠AOC＝36°，则( )A. 点B到AO的距离为sin 54°B. 点B到AO的距离为tan 36°C. 点A到OC的距离为sin 36°· sin 54°D. 点A到OC的距离为cs 36°· sin 54°
弄错直角三角形中各元素的对应关系而致错
正解：在Rt△ABO中，∠BOA＝90°，即BO⊥AO，∴点B到AO的距离就是BO的长.∵ OC∥BA，∠AOC＝36°，∴∠BAO＝∠AOC＝36°.∴根据锐角三角函数的定义得BO＝AB·sin 36°＝sin 36°，故A，B选项错误.
如图28.2－6 ，过A作AD⊥OC于点D，则AD的长就是点A到OC的距离.∵∠BOA＝90°，∠BAO＝36°，∴∠ABO＝54°.根据锐角三角函数的定义得AD＝AO·sin 36 °，AO＝AB·sin 54°＝sin 54°，∴ AD＝sin 36°· sin 54°.
诊误区：在直角三角形中，所用的锐角不同，则同一条边的表示方法也不同. 错解没有找准合适的三角函数，弄错了各元素的对应关系. 在解决此类问题时，一定要找准对应关系，再列式求解.
当三角形的形状不确定时，没有进行分类讨论而致错
诊误区：在解非直角三角形问题时，若已知两边及一边的对角(锐角)，但题目中没有给出图形，我们要进行分类讨论，有时受思维定式的影响，往往只考虑锐角三角形，而忽略了钝角三角形的情况.本题中三角形的形状不确定，所以求BC的长时，应该有两种情况. 错解只考虑了△ABC为锐角三角形的情况，而忽略了△ ABC为钝角三角形的情况.
[中考· 浙江]如图28.2－9，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1．
试题评析：本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是解题的关键.
(2)求sin∠DAE的值．
利用解直角三角形解反比例函数问题
试题评析：本题考查反比例函数和解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识，属于中考常考题型.
[中考· 宜宾] 如图28.2－11，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，过点A作AE∥ BC，交⊙O的直径BD的延长线于点E，连接CD．
利用解直角三角形求圆中的线段长
试题评析：本题主要考查了切线的判定、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握这些知识点是解题的关键.
(1)求证：AE是⊙O的切线；
证明：如图28.2－11 ，连接AO并延长交BC于点F，连接OC，则OB＝OC.∵ AB＝AC，∴∠AOB＝∠AOC.∴∠FOB＝∠FOC，∴ OF⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵ AE∥BC，∴∠OAE＝∠OFB＝90°，即AE⊥ OA.又∵ OA是⊙O的半径，∴ AE是⊙O的切线．
(2)a＋c＝12，∠B＝60°．
10. [中考· 雅安]如图， 已知E，F是□ABCD对角线AC上两点，AE＝CF．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
11. [中考· 成都]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 °，D为斜边AB上一点，以BD为直径作⊙O，交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF．
(1)求证：BC·DF＝BF·CE；