人教版（2024）九年级下册锐角三角函数课前预习ppt课件

这是一份人教版（2024）九年级下册锐角三角函数课前预习ppt课件，文件包含八年级下册第二章大气与气候变化测试卷A浙教版2026年教师版docx、八年级下册第二章大气与气候变化测试卷A浙教版2026年学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共63页， 欢迎下载使用。
2. 利用解直角三角形解决实际问题的步骤：(1)审清题意，将实际问题抽象为数学问题.(2)画出平面图形，转化为解直角三角形的问题.(3)根据条件，结合图形，选用适当的锐角三角函数解直角三角形，得到数学问题的答案.(4)得到实际问题的答案.
链接中考 >> 锐角三角函数的有关计算，主要是求锐角的三角函数值，解决这类问题的关键是看清锐角所在的图形以及该图形的性质. 这类问题一般属于中档题，多以填空题或选择题的形式考查.
解题秘方：根据切线的性质构造直角三角形，利用切线长定理、勾股定理、等角对等边等知识求出线段DE与CD的比值．
链接中考 >> 一般情况下，求含有三角函数的代数式的值，要先将各角的三角函数值代入，再根据运算法则和运算律进行计算，注意最后结果要化简，这类题目常与零指数幂、负整数指数幂、乘方、开方等综合考查.
解题秘方：先将特殊角的三角函数值代入，再按照运算法则和运算顺序进行运算即可．
链接中考 >> 解直角三角形主要是在直角三角形中根据已知的边角条件求未知的边和角. 解决这类问题，关键是要结合图形的性质，灵活运用锐角三角函数，一般都是以解答题的形式考查.
[中考·北京] 如图28－2，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC．
(1)求证：四边形AFCD为平行四边形；
解题秘方：解决本题的关键是说明EF为△ABD的中位线；
证明：∵ E是AB的中点，∴ AE＝BE.又∵ DF＝BF，∴ EF是△ABD的中位线.∴ EF∥AD，即CF∥AD.∵ AF∥CD，∴四边形AFCD为平行四边形.
(2)若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长．
解题秘方：紧扣条件中的边角关系，利用解直角三角形求线段长，关键是找出相应的直角三角形.
链接中考 >> 利用解直角三角形解决实际问题是中考的热点，解题的关键是正确理解题意，将实际问题转化为解直角三角形的问题，然后利用直角三角形的知识解决问题. 一般都是以解答题的形式考查.
[中考·陕西]如图28－3，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为1 600 m，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度. 他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角∠CAE＝42°，再在AE上选一点B，在点B处测得C点的仰角α＝45°，AB＝10 m. 求山顶C点处的海拔高度.(小明身高忽略不计，参考数据：sin 42 ° ≈ 0.67，cs 42°≈ 0.74，tan 42°≈ 0.90)
解题秘方：解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用参数构建方程解决问题．
解：如图28－3，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D. 设BD＝x m ，∵ AB＝10 m，∴ AD＝AB＋BD＝(x＋10)m.在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴ CD＝BD·tan 45°＝x m. 在Rt△ACD中，∠A＝42°，∴CD＝AD·tan42°≈(0.90x＋9)m. ∴ x≈ 0.90x＋9，解得x≈ 90. ∴ CD≈ 90 m. ∵ 小山顶的水平观景台的海拔高度为1 600 m，∴ 山顶C点处的海拔高度约为1 600＋90＝1 690(m).
中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献. 为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图28－4是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位.
(2)该充电站有20 个停车位，求PN的长．
专题解读>> 在解决与角度、线段长度有关的实际问题时，通常构造含有已知边、角的直角三角形，建立常见的解直角三角形的模型，利用锐角三角函数进行计算求值，进而解决问题.
【“子母” 型】[中考· 吉林] 图28－5 ① 中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”.
某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度AB＝ 873 m，如图28－5 ②，从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC＝37 °，看塔底D的俯角∠EAD＝45°，求吉塔的高度CD(结果精确到0.1 m)．(参考数据：sin 37°≈ 0.60，cs 37°≈ 0.80，tan 37°≈ 0.75)
解题秘方：通过作辅助线，将两个俯角放到两个直角三角形中，构造解直角三角形的基本模型——“子母”型，利用公共的直角边解直角三角形．
【“背靠背”型】[中考·抚顺]小亮利用所学的知识对大厦的高度CD进行测量，如图28－6，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是30°，测得大厦顶部的仰角是37°，已知他家楼顶B处距地面的高度BA为40 米(图中点A，B，C，D均在同一平面内)．
解题秘方：过点B作BE⊥CD于点E，构造解直角三角形的基本模型——“背靠背”型，然后利用“背靠背”型中公共的直角边解直角三角形．
(1)求两楼之间的距离AC(结果保留根号)；
专题解读>> 在解直角三角形及利用直角三角形的边角关系解决实际问题时，可依据题意设适当的未知数，再从题目的条件和要求的问题中寻求等量关系，构造出方程或方程组解决问题.
解题秘方：利用锐角三角函数揭示的边角关系，列出方程求线段长.
解：由题意，得BM＝EF＝1.8 m ，BN＝CD＝1.5 m ，DF＝5 m ，EM＝BF，BD＝CN，EM⊥AB，CN⊥AB，设BD＝CN＝x m ，∴ EM＝BF＝DF＋BD＝(x＋5)m.在Rt△AEM中，∠AEM＝45°，∴ AM＝EM·tan 45°＝(x＋5)m.
专题解读>> 在解直角三角形和利用直角三角形的边角关系解决实际问题时，常常根据已知量和未知量之间的关系建立方程，将几何问题转化为代数问题求解，体现了数学的转化思想.
我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1 尺，将它往前推进10 尺(5 尺为一步)，秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5 尺．(假设秋千的绳索拉的很直)
解题秘方：本题由《西江月》词牌引申出数学问题，关键是理解题意，构造直角三角形，将其转化为解直角三角形问题.
(1)如图28－8 ①，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；
解：如图28－8 ①， 过点A′作A′B⊥OA于点B.设秋千绳索的长度为x尺．由题可知，OA＝OA′＝x 尺，AB＝5－1＝4(尺)，A′B＝10 尺，∴ OB＝OA－AB＝(x－4)尺．在Rt△OA′B中，由勾股定理得A′B2＋OB2＝OA′2，∴ 102＋(x－4)2＝x2，解得x＝14.5．答：秋千绳索OA的长度为14.5 尺.
(2)如图28－8 ②，将秋千从与竖直方向夹角为α 的位置OA′释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β 的地方OA″，两次位置的高度差PQ＝h. 根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？ 如果能，请用含α ，β 和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
巧用“构造法”构造直角三角形求锐角三角函数值
巧用“化斜为直法”构造直角三角形求线段长度
巧用“割补法”构造直角三角形求面积
3. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，AD＝5，求四边形ABCD的面积.
题型1：测高问题4. [中考·广安]风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图①，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，
巧用建模思想建立直角三角形模型解实际应用问题
题型2：测距问题5. 东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门 楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应.如图，城门楼B在角楼A的正东方向520 m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1 200 m处.
在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31 ° 方向(点A，B，C，P四点在同一平面内)，求明珠大剧院到龙堤BC的距离(结果精确到1 m).(参考数据：sin 68.2°≈ 0.928，cs 68.2°≈0.371，tan 68.2°≈ 2.50，sin 56.31°≈ 0.832，cs 56.31°≈ 0.555，tan 56.31°≈ 1.50)
题型3：堤坝问题6. [中考·仙桃]为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3∶4 是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比. 已知斜坡CD长度为20 米，∠C＝18 °，求斜坡AB的长．(结果精确到0.1 米，参考数据：sin 18° ≈0.31，cs 18° ≈ 0.95，tan 18°≈ 0.32)
(1)求BC的长度(结果精确到0.1千米)；
(2)甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路线为D－C－B，乙选择的路线为D－A－B. 请计算说明谁选择的路线较近.
题型5：跨学科问题8. [中考·安徽]科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B处发出，经水面点E折射到池底点A处.
题型6：实践操作问题9. [中考·枣庄] 【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离，如图①．
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具.【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B. 测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64 °. 画出示意图，如图② .
【问题解决】(1)计算A，P两点间的距离．(参考数据：sin 64°≈0.90，sin 79°≈0.98，cs 79°≈ 0.19，sin37°≈ 0.60，tan 37°≈0.75)
解：如图，过点B作BH⊥AP于点H.∵AB＝60米，∠PAB＝79°，∴AH＝AB·cs 79°≈60×0.19＝11.4(米)，BH＝AB·sin 79°≈60×0.98＝58.8(米)．
【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种 方案：如图③，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可．
(2)乙小组的方案用到了_______．(填写正确答案的序号)①解直角三角形；②三角形全等.
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测 量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．
巧用锐角三角函数解决教材变式问题
【拓展应用】如图②，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，CD＝4，∠B＝∠C＝90 °. 求过A，B，D三点的圆的半径．