数学28.1 锐角三角函数精品复习练习题

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1）理解锐角三角函数的定义，掌握特殊锐角(30°，45°，60°的三角函数值，并会进行计算.
2）掌握直角三角形边角之间的关系，会解直角三角形.
3）利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题.
4）进一步培养学生分析问题和解决问题的能力.
重点：
锐角三角函数的概念;运用解直角三角形解决与直角三角形有关的度量问题.
难点：
锐角三角函数的概念;综合运用锐角三角函数、勾股定理等知识解直角三角形，进而解决有关问题.
二、学习过程
章节介绍
锐角三角函数为解直角三角形的基础，及提供了有效的工具.相似三角形的知识是学习锐角三角函数的直接基础，勾股定理等内容也是解直角三角形时经常使用的数学结论，因此本章与“勾股定理”和“相似”两章有着密切关系.
知识梳理
一、正弦的概念：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作：sinA.即 sin A= ∠A所对的边斜边 = ac
二、利用正弦值求直角三角形边长解题技巧：
1）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = a，sinB = b，AB = c，则BC=____ac_____，AC = _____bc_____
2）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = d，sinB = e，BC = f，则AB=____df _____，AC = _____efd_____
三、余弦的概念：如图，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作csA，即 cs A= ∠A所邻的边斜边 = bc
四、正切的概念：如图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tanA，即 tan A= (∠?所对的边)/邻边 = ?/?
五、锐角三角函数的概念：在直角三角形中，对于锐角A的每一个确定的值，sinA、csA、tanA都有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数.
六、30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
七、在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B
2）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）
3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°
4）边角之间的关系：
sin A= ∠A所对的边斜边 = ac ，sin B= ∠B所对的边斜边 = bc
cs A= ∠A所邻的边斜边 = bc ，csB= ∠B所邻的边斜边= ac
tan A= ∠A所对的边邻边 = ab ，tanB= ∠B所对的边邻边= ba
八、解直角三角形常见类型及方法：
九、仰角、俯角的概念：
在视线与水平线所成的角中规定:1)视线在水平线上方的叫做仰角，2)视线在水平线下方的叫做俯角.
十、方位角的概念：以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角.
十一、坡度的概念：坡度是地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度h和水平距离l的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示.【即坡角的正切值（可写作：i=tan坡角）】
考点解读
考查题型一 求角的正弦值
1．（2023上·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考期中）如图，在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，则sinA的值是（ ）
A．513B．512C．1213D．125
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角函数的定义．先证明△ABC是直角三角形，再利用正弦函数的定义即可求解．
【详解】解：∵AC=5，BC=12，AB=13，
∴52+122=132，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，
∴sinA=BCAB=1213，
故选：C．
2．（2022上·福建漳州·九年级统考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，那么sinB的值是（ ）
A．2B．12C．55D．255
【答案】D
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sinB的值即可．
【详解】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=1，
∴AB=22+12=5，
∴sinB=ACAB=25=255．
故选：D．

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，正确记忆正弦值与各边之间的关系是解题关键．
3．（2023上·陕西西安·九年级校联考期中）如图，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则sinB的值为（ ）

A．21313B．31313C．23D．54
【答案】A
【分析】连接AD，得到∠ADB=90°，再利用勾股定理求出AD，AB的长，即可求出最后结果．
【详解】解：如图，连接AD，

则∠ADB=90°
∵AD=22+22=22，AB=12+52=26，
∴sinB=ADAB=2226=21313，
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角形函数，勾股定理，利用勾股定理求出边长是解答本题的关键．
考查题型二 已知正弦值求边长
1．（2023上·黑龙江大庆·九年级统考期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，则AB=25，则BC=（ ）
A．24B．20C．16D．15
【答案】D
【分析】本题主要考查了正弦的性质，利用正弦的性质求值即可．理解正弦的性质是解题的关键．
【详解】在Rt△ABC中，sinA=BCAB=35，
即BC25=35，
解得：BC=15．
故选：D．
2．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，sinA=34，则AC的值是（ ）
A．7B．5C．4D．5
【答案】A
【分析】根据锐角三角函数定义，得出sinA=BCAB=23，然后把BC=3代入，求出AB的长，再根据勾股定理，计算即可得出AC的长．
【详解】解：如图，

∵BC=3，sinA=BCAB=34，
∴3AB=34，
∴AB=4，
∴AC=AB2-BC2=16-9=7．
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握锐角三角函数定义．
3．（2023下·九年级课时练习）在△ABC中，若AB=20,AC=13,sinB=35，则BC= ．
【答案】21或11
【详解】如下图，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，由sinB=ADAB，得AD=AB⋅sinB=12,BD=AB2-AD2=202-122=16．在Rt△ACD中，CD=AC2-AD2=132-122=5，则BC=BD+CD=16+5=21或BC=BD-CD=16-5=11．
【易错点分析】条件中△ABC满足的条件是两边一角，其中一边是角的对边，根据上图可以发现有两种情况，所以对三角形的形状、大小进行确定性判断是不漏解的重要方法．
考查题型三 求角的余弦值
1．（2023上·山东济南·九年级统考期中）在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是AB边上的中线，BC=6，CD=5，则cs∠ACD=（）
A．56B．58C．35D．45
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据直角三角形斜边上中线的性质得CD =AD=BD=5，所以AB=10,∠ACD=∠A，根据勾股定理得AC=8，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】如图，

∵∠BCA=90°,CD是AB边上的中线，CD=5，
∴CD=AD=BD=5，
∴AB=10,∠ACD=∠A，
∵BC=6，
∴AC=AB2-BC2=102-62=8，
∴cs∠ACD=cs∠A=ACAB=810=45．
故选：D．
2．（2023上·山东烟台·九年级统考期中）已知△ABC三边AC，BC，AB的长度分别5，12，13，现将每条边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（ ）
A．不变B．缩小为原来的13
C．扩大为原来的3倍D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查了余弦的定义、勾股定理逆定理，首先利用勾股定理逆定理证明△ABC为直角三角形，则csA=ACAB=513，将每条边的长度都扩大为原来的3倍，则ACAB=513，即可得出答案，熟练掌握余弦的定义、勾股定理逆定理是解此题的关键．
【详解】解：∵△ABC三边AC，BC，AB的长度分别5，12，13，
∴AC2+BC2=82+122=169，AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，即∠C=90°，
∴csA=ACAB=513，
现将每条边的长度都扩大为原来的3倍，则ACAB=513，
∴csA的值不变，
故选：A．
3．（2023上·山西临汾·九年级统考期中）在△ABC中，∠A=90°，sinC=23，则csC的值是（）
A．23B．53C．255D．355
【答案】B
【分析】本题考查了同角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据已知先设BC=3k,AB=2k，然后利用勾股定理求出AC，再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】∵∠A=90°,sinC=23，
∴ABBC=23，
∴设BC=3k,AB=2k，
∴AC=BC2-AB2=(3k)2-(2k)2=5k，
∴csC=ACBC=5k3k=53，
故选：B．
考查题型四 已知余弦值求边长
1．（2023上·江苏淮安·九年级校考期中） Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15， cs∠B＝35，则AC的长为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了解直角三角形，先利用三角函数值求出BC，再利用勾股定理求出AC．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵AB=15，csB=BCBA=35，
∴BC=9．
∴AC=AB2-BC2=12．
故答案为：12．
2．（2023上·湖南岳阳·九年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E，设∠ADE=α，且csα=35，AB=9．求AD的长．

【答案】AD=12．
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质．由已知条件可知：AB=CD=9，∠ADE=∠ECD=α，在Rt△DEC中，cs∠ECD=csα=CEDC=35，由此可以求出CE，然后根据勾股定理求出DE，最后在Rt△AED中，利用余弦函数的定义即可求出AD．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=9，
∴ AB=CD=9，∠ADE+∠CDE=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠ECD+∠CDE=90°
∴∠ADE=∠ECD=α，
在Rt△DEC中，cs∠ECD=csα=CEDC=35，即CE9=35，
∴CE=275，
根据勾股定理得：DE=CD2-CE2=365，
在Rt△AED中，csα=DEAD=35，即365AD=35，
∴AD=12．
3．（2023上·山东济南·九年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，csA=23．

(1)求BC的长；
(2)求sinA的值．
【答案】(1)35
(2)53
【分析】（1）本题考查了解直角三角形，根据csA=ACAB，即可求出AB=9，再根据勾股定理“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”即可求解；
（2）本题考查了解直角三角形，根据sinA=BCAB，即可解答．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，，
∴csA=ACAB，
∵csA=23，
∴ACAB=6AB=23，
解得：AB=9，
∴根据勾股定理可得BC=AB2-AC2=92-62=35，
（2）解：在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=9,BC=35，
∴sinA=BCAB=53．
考查题型五 求角的正切值
1．（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3AC，则tanB=（ ）

A．13B．3C．1010D．31010
【答案】A
【分析】本题考查正切的计算，熟知直角三角形中正切的表示是解题的关键．根据正切的定义tanB=ACBC计算，得到答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=ACBC=AC3AC=13，
故选：A．
2．（2023上·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考期中）抛物线y=x2-4x-5的图象与x轴交于点A、点B，顶点为C，则tan∠ACB的值是（ ）
A．3B．3C．1D．34
【答案】D
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，锐角三角函数．先求出A，B，C的坐标，作BE⊥AC于点E，利用面积法求得BE和CE的长，利用三角形函数的知识即可求解．
【详解】解：当y=0时，x2-4x-5=0，
解得x1=-1，x2=5，
∴A，B的坐标为-1，0，5，0，
∴AB=6，
∵y=x2-4x-5=(x-2)2-9，
∴C2，-9，
∴C到AB的距离为9，
∴S△ABC=12×6×9=27．
如图，作BE⊥AC于点E，则AD=DB=12AB=3，CD=9，
∴AC=BC=AD2+CD2=310，
∴12×AC×BE=27，即12×310×BE=27，
∴BE=9105，
∴CE=BC2-BE2=90-1625=12105，
∴tan∠ACB=BECE=34，
故选：D．
3．（2023上·山东济南·九年级统考期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=35，则tanA=（ ）
A．43B．34C．35D．45
【答案】A
【分析】此题考查求角的三角函数值，勾股定理，设AC=3x,AB=5x，利用勾股定理求出BC，根据正切定义求出答案，熟练掌握各三角函数值的计算公式是解题的关键
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=35，
∴ACAB=35
设AC=3x,AB=5x，则BC=AB2-AC2=4x，
∴tanA=BCAC=43，
故选：A
考查题型六 已知正切值求边长
1．（2022下·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图，△ABC内接于⊙O，BC=4，tan∠BAC=12，则⊙O的半径为（ ）

A．4B．8C．25D．45
【答案】C
【分析】连接BO并延长交⊙O于点D，连接CD，根据BD是⊙O的直径得到∠BCD=90°，进而求出CD=8，根据勾股定理求出BD，即可得到⊙O的半径．
【详解】解：连接BO并延长交⊙O于点D，连接CD，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵∠BDC=∠BAC，tan∠BAC=12，
∴BCCD=12，
∴CD=8，
∴BD=BC2+CD2=42+82=45，
∴⊙O的半径为25，
故选：C．

【点睛】此题考查了圆周角定理，勾股定理，根据角的正切值求线段，正确连出辅助线解决问题是解题的关键．
2．（2023上·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点G为△ABC的重心，若AC=6，tan∠ABG=13，那么BC的长等于 ．

【答案】313
【分析】点G为△ABC的重心，就是三角形的三条中线交点，因此延长BG交AC于点D，利用中线的定义求出AD，利用正切的定义求出AB，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：延长BG交AC于点D，

∵点G为△ABC的重心，
∴BD是中线，
∴AD=12AC=3，
∵tan∠ABG=13
∴ADAB=13，
∴AB=9，
∴BC=AB2+AC2=313，
故答案为：313．
【点睛】本题考查了重心概念、正切的定义以及勾股定理等知识，根据重心概念添加合适辅助线，构造直角三角形求解是解题的关键．
3．（2022上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）已知tan∠O=43，点P在边OA上，OP=5，点M，N在边OB上，PM=PN，如果MN=2，那么OM= ．
【答案】2或4/4或2
【分析】①当M在线段ON上时，过P作PQ⊥OB交OB于Q，可求PQOQ=43，设PQ=4x，则OQ=3x，可求x=1，由OM=OQ-MQ即可求解；②当N在线段OM上时，过P作PQ⊥OB交OB于Q，由OM=OQ+MQ即可求解．
【详解】解：①如图，当M在线段ON上时，
过P作PQ⊥OB交OB于Q，

∴∠PQO=90°，
∵ tan∠O=43，
∴PQOQ=43，
∴设PQ=4x，则OQ=3x，
∴OP=PQ2+OQ2，
∴4x2+3x2=5，
解得：x=1，
∴OQ=3，
∵PM=PN，
∴MQ=12MN=1，
∴OM=OQ-MQ=2；
②如图，当N在线段OM上时，
过P作PQ⊥OB交OB于Q，

同理可求∴OQ=3，MQ=1，
∴OM=OQ+MQ=4；
综上所述：OM=2或4．
故答案：2或4．
【点睛】本题考查了一般角的正切函数，等腰三角形的性质，掌握三角函数的定义及等腰三角形的性质是解题的关键．
4．（2022上·江西宜春·九年级江西省宜丰中学校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=13，BC=2，
(1)求AB的长；
(2)求sinA．
【答案】(1)AB=210；
(2)sinA=1010．
【分析】（1）通过解直角三角形先求出AC的值，之后通过勾股定理进一步求解即可；
（2）利用正弦函数的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴tanA=BCAC=13，
∵BC=2，
∴2AC=13，即AC=6，
又∵AB2=AC2+BC2，
∴AB=210；
（2）解：由（1）知AB=210，
∴sinA=BCAB=2210=1010．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理的运用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
考查题型七 特殊角三角函数值的混合运算
1．（2023上·湖南永州·九年级校考阶段练习）计算：
(1)tan60°-sin245°+tan45°-2cs30°．
(2)2sin260°-cs60°tan260°+4cs45°
【答案】(1)12
(2)3-22
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，
（1）根据特殊锐角三角函数值代入计算即可；
（2）根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．
掌握特殊锐角的三角函数值是解决问题的关键．
【详解】（1）tan60°-sin245°+tan45°-2cs30°
=3-222+1-2×32
=3-12+1-3
=12；
（2）2sin260°-cs60°tan260°+4cs45°
=2×322-1232+4×22
=2×34-123+22
=13+22
=3-223+223-22
=3-22．
2．（2023上·江苏扬州·九年级校考期中）计算：
(1)12sin60°+22cs45°-sin30°⋅cs30°
(2)9-2sin260°+1-tan60°-tan45°
【答案】(1)12
(2)3-12
【分析】本题考查了三角函数值的混合运算，解题的关键是：
（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【详解】（1）解：12sin60°+22cs45°-sin30°⋅cs30°
=12×32+22×22-12×32
=34+12-34
=12；
（2）9-2sin260°+1-tan60°-tan45°
=3-2×322+1-3-1
=3-2×34+3-1-1
=3-32+3-1-1
=3-12．
3．（2023上·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考期中）已知α是锐角，且sin(α+15°)=32，计算8-4csα-|1-2sinα|+tanα的值．
【答案】2-2
【分析】此题考查了含特殊角三角函数值的实数计算，利用特殊角的三角函数值求出α的度数，代入原式计算是解本题的关键．
【详解】∵α是锐角，且sin(α+15°)=32，
∴α+15°=60°，即α=45°，
则8-4csα-|1-2sinα|+tanα
=22-4×22-|1-2×22|+1
=22-22-2+1+1
=2-2．
考查题型八 由特殊角的三角函数值判断三角形形状
1．（2023上·福建泉州·九年级统考期中）在△ABC中，若csA-32+22-csB2=0，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，绝对值的非负性，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：∵csA-32+22-csB2=0
∴csA-32=0，22-csB=0，
解得：∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-45°=105°，
∴△ABC是钝角三角形，
故选B．
2．（2022上·广西来宾·九年级统考期末）在△ABC中，若tanA-1+2csB-22=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．等腰直角三角形
C．直角三角形D．一般锐角三角形
【答案】B
【分析】根据非负数的性质以及特殊角的三角函数值求得角度，进而判断三角形的性质即可．
【详解】解：∵tanA-1+2csB-22=0，
∴tanA=1,csB=22，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠C=90°，
∴ △ABC是等腰直角三角形．
故选B
【点睛】本题考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
3．（2022上·山东泰安·九年级校考阶段练习）在△ABC中，若sinA-32+csB-122=0，则△ABC是 三角形．
【答案】等边
【分析】直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出sinA=32，csB=12，再利用特殊角的三角函数值求出答案．
【详解】解：∵|sinA-32|+(csB-12)2=0，
∴sinA=32，csB=12，
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：等边．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
考查题型九 用计算器求锐角三角函数数值
1．（2023上·山东烟台·九年级统考期中）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin72°38'25″，按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了计算器计算三角函数值，熟练掌握计算器的使用原理是解题的关键．
【详解】解：根据计算器的使用方法可知，
依次输入sin，72，38，25，=．
故选：D．
2．（2022上·山东淄博·九年级淄博市周村区实验中学校考阶段练习）运用课本上的科学计算器进行计算，按键顺序如下，则计算器显示的结果是 ．

【答案】10
【分析】根据计算器的按键写出计算的式子，然后求值即可．
【详解】解：根据题意得，计算器按键写成算式： 3.5-tan45°×22=3.5-1×4=2.5×4=10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查计算器﹣基础知识，熟练了解按键的含义是解题的关键．
3．（2022下·九年级单元测试）用科学计算器计算：2×sin15°×cs15°= ．
【答案】0.5/12
【分析】根据计算器进行计算即可求解．
【详解】解：用计算器按MODE，与DEG后，按2×sin15×cs15=显示结果为0.5．
故答案为：0.5．
【点睛】本题考查了根据计算器求三角函数值，熟练掌握计算器的使用方法是解题的关键．
考查题型十 根据特殊角的三角函数值求角的度数
1．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，2csA=1，则∠B的值为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】A
【分析】本题考查了根据特殊角的三角函数值求角度，根据2csA=1可得∠A=60°即可求解．
【详解】解：∵2csA=1，
∴csA=12，
∴∠A=60°，
∵∠C=90°，
∴∠B=90°-60°=30°，
故选：A．
2．（2023上·山东烟台·九年级统考期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，csA=12，那么sinB的值等于（ ）
A．12B．22C．32D．1
【答案】A
【分析】此题考查了特殊角的三角函数值及直角三角形的性质，先根据csA=12，求出∠A的度数，再由直角三角形的性质求出∠B的度数，由特殊角的三角函数值即可得出sinB的值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，csA=12，
∴∠A=60°，
∴∠B=90°-∠A=90°-60°=30°，
∴sinB=sin30°=12，
故选：A．
考查题型十一 给出三角函数数值，用计算器求锐角度数
1．（2023上·山东淄博·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=5，用科学计算器计算∠A，下列按键顺序正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正弦三角函数的定义，及其用计算器求值．根据正弦函数的定义，可得sin∠A=BCAB，然后根据科学计算器的应用进一步计算即可得出答案．
【详解】解：∵∠C=90°，BC=1，AB=5，
∴sin∠A=BCAB=15=0.2，
用科学计算器计算，按键顺序是 ．
故选：B．
2．（2022上·山东烟台·九年级统考期末）已知csA=0.5592，运用科学计算器在开机状态下求锐角A时，按下的第一个键是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据锐角三角比的数值求角度时，首先先按2ndf键．
【详解】解：根据锐角三角比的数值求角度时，首先先按2ndf键，
故选：A．
【点睛】本题主要考查计算器按键的作用，解题关键是熟练掌握计算器功能键的作用．
3．（2021下·九年级课时练习）已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应锐角的度数：
（1）sinA=0.6275，sinB=0.0547；
（2）csA=0.6252，csB=0.1659；
（3）tanA=4.8425，tanB=0.8816．
【答案】（1）A=38°51'57″，B=3°8'8″；（2）A=51°18'11″，B=80°27'2″；（3）A=78°19'56″，B=41°23'58″
【分析】利用计算器完成即可．
【详解】（1）由计算器可得：A=38°51'57″，B=3°8'8″；
（2）由计算器可得：A=51°18'11″，B=80°27'2″；
（3）由计算器可得：A=78°19'56″，B=41°23'58″
【点睛】本题考查了在已知三角函数值的情况下用计算器求锐角，关键是会使用计算器．
考查题型十二 已知角度比较三角函数值的大小
1．（2022上·福建泉州·九年级校考期中）三角函数sin70°，cs70°，tan70°的大小关系是（ ）
A．sin70°>cs70°>tan70°B．tan70°>cs70°>sin70°
C．tan70°>sin70°>cs70°D．cs70°>tan70°>sin70°
【答案】C
【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：sin70°和cs70°都小于1，tan70°大于1，故tan70°最大；只需比较sin70°和cs70°，又cs70°=sin20°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较解答即可．
【详解】根据锐角三角函数的概念，知sin70°<1，cs70°<1，tan70°>1．
又∵cs70°=sin20°，正弦值随着角的增大而增大，
∴sin70°>sin20°=cs70°，
∴tan70°>sin70°>cs20°，
故选C ．
【点睛】本题考查锐角三角函数．掌握锐角三角函数的性质是解题关键．
2．（2023·上海静安·校考一模）如果0°<∠A<60°，那么sinA与csA的差（ ）．
A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定
【答案】D
【分析】利用锐角三角函数的增减性分类讨论，即可得到答案．
【详解】解：当0°<∠A<45°时，45°<90°-∠A<90°，
∴sinA∴ sin⁡A∴ sin⁡A-cs⁡A<0；
当∠A=45°时，90°-∠A=45°，
∴sinA=sin90°-∠A，
sinA=csA，
∴ sin⁡A-cs⁡A=0；
当45°<∠A<60°，30°<90°-∠A<45°，
∴sinA>sin90°-∠A，
∴ sin⁡A>cs⁡A，
∴ sin⁡A-cs⁡A>0，
综上所述，sinA与csA的差不能确定，
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解题关键是掌握在0°∼90°之间（不包括0°和90°），角度变大，正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小．注意分类讨论．
3．（2023下·九年级单元测试）（1）试比较18°，34°，52°，65°，88°这些角的正弦值的大小和余弦值的大小．
（2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：sin10°，cs30°，sin50°，cs70°．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用三角函数的增减性的规律即可得答案；
（2）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较．
【详解】解：（1）∵锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．
∴sin88°>sin65°>sin52°>sin34°>sin18°；
cs88°（2）cs30°=sin60°，cs70°=sin20°．
∵sin60°>sin50°>sin20°>sin10°，
∴cs30°>sin50°>cs70°>sin10°．
【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的增减性的规律是解题关键．
考查题型十三 根据三角函数值判断锐角的取值范围
1．（2022下·九年级单元测试）若α=40°，则α的正切值h的范围是（ ）
A．12【答案】D
【分析】根据特殊角的三角函数值及余弦函数随角增大而减小解答即可．
【详解】解：∵tan30°=33,tan60°=3，且一个角的正切值随角的增大而增大，
∴tan30°∴33故选：D
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．
2．（2021上·安徽滁州·九年级校考阶段练习）已知csA>12，则锐角∠A的取值范围是（ ）
A．0°<∠A<30°B．30°<∠A<90°
C．0°<∠A<60°D．60°<∠A<90°
【答案】C
【分析】根据特殊角的三角函数值求出cs60°=12，根据当∠A是锐角时，其余弦随角度的增大而减小即可求解，
【详解】解∶ ∵∠A为锐角，且cs60°=12，
又∵当∠A是锐角时，其余弦随角度的增大而减小，
∴0°<∠A<60°，
故选∶C．
【点睛】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意：当角是锐角时，其正弦和正切随角度的增大而增大，余弦和余切随角度的增大而减小．
3．（2022下·九年级单元测试）若∠A是锐角，cs∠A>32，则∠A应满足 ．
【答案】0°<∠A<30°
【分析】首先明确cs30°=32，再根据余弦函数随角增大而减小即可得出答案．
【详解】解：∵cs30°=32，余弦函数随角增大而减小，
∴0°<∠A<30°，
故答案为：0°<∠A<30°．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．
4（2022上·九年级单元测试）若锐角∠A满足sin20°【答案】25°<∠A<70°
【分析】首先根据sin20°=cs70°得到cs70°【详解】解：∵sin20°=cs70°，
∴cs70°∴25°<∠A<70°．
故答案为：25°<∠A<70°．
【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系，解题的关键是掌握同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性．
5．（2022上·河北邯郸·九年级统考期中）若30°<α<β<90°，则csβ-csα2-csβ-32+1-csα= ．
【答案】1-32
【分析】根据锐角三角函数的增减性判断出csβ与csα的大小、csβ与 32的大小，然后化简计算即可．
【详解】解：∵30°<α<β<90°，
∴csβ∴csβ-csα2-csβ-32+1-csα
=csβ-csα-32+csβ+1-csα
=-csβ+csα+csβ-32+1-csα
=1-32，
故答案为：1-32．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角三角函数的混合运算，根据锐角三角函数的增减性判断出csβ与csα的大小、csβ与 32的大小是解题的关键．
考查题型十四 解直角三角形的相关计算
1．（2022·陕西·统考中考真题）如图，AD是△ABC的高，若BD=2CD=6，tan∠C=2，则边AB的长为（ ）
A．32B．35C．37D．62
【答案】D
【分析】先解直角△ABC求出AD，再在直角△ABD中应用勾股定理即可求出AB．
【详解】解：∵BD=2CD=6，
∴CD=3，
∵直角△ADC中，tan∠C=2，
∴AD=CD⋅tan∠C=3×2=6，
∴直角△ABD中，由勾股定理可得，AB=AD2+BD2=62+62=62．
故选D．
【点睛】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键．
2．（2023上·湖北荆门·九年级校考期中）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A=30°，AB=23，BC=3，则OC的长度是（ ）

A．3B．23C．13D．4
【答案】C
【分析】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键．根据切线的性质及正切的定义得到OB=2，再根据勾股定理得到OC=13．
【详解】解：连接OB，

∵AC是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AC，
∵∠A=30°，AB=23， ·
在Rt△OAB中，OB=AB·tan∠A=23×33=2，
∵BC=3，
∴在Rt△OBC中，OC=OB2+BC2=13，
故选：C．
3．（2023下·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，sinB=13，tanC=22，AB=3，则AC的长为 ，△ABC的面积为 ．
【答案】 3 322
【分析】过A作AD⊥BC，如图所示，在Rt△ABD中，sinB=13，AB=3，得到AD=1，BD=22；在Rt△ACD中，tanC=22，得到CD=2，由勾股定理得AC=3；再由三角形面积公式代值求解即可得到S△ABC=12BC⋅AD=322．
【详解】解：过A作AD⊥BC，如图所示：
在Rt△ABD中，sinB=13，AB=3，
∴AD=AB⋅sinB=1，BD=AB2-AD2=32-12=22
在Rt△ACD中，tanC=22，
∴ ADDC=22，即CD=2，
∴BC=BD+CD=32，
由勾股定理得AC=AD2+CD2=12+22=3；
∴S△ABC=12BC⋅AD=322，
故答案为：3，322．
【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键．
4．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点D在AC上，AD=203，∠BDC=60°，求BC的长．

【答案】30
【分析】本题考查了解直角三角形，等角对等边；根据三角形的外角的性质可得∠DBA=30°，进而可得BD=AD=203，解Rt△BCD即可求解．
【详解】解：∵∠A=30°，∠BDC=60°，
∴∠DBA=60°-30°=30°，
∴∠A=∠DBA，
∴BD=AD=203，
在Rt△BDC中，BC=BD⋅sin∠BCD=203×32=30．
48．（2023上·山东济南·九年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC边上，∠ADC=45°，BD=3，tanB=45，求BC的长．
【答案】BC=15
【分析】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义及根据题意构建直角三角形的能力．
根据已知条件可以设AC=x，根据∠ADC=45°得DC=x，在Rt△ABC中，tanB=45，BD=3，由此建立方程即可求解；
【详解】解：设AC=x，
∵∠ADC=45°，
∴CD=x，
在Rt△ABC中，∵tanB=45，BD=3，
∴xx+3=45，
解得x=12，
∴BC=BD+CD=3+12=15．
5．（2023上·江苏泰州·九年级校考期中）如图，AD是△ABC的中线，tanB=15,csC=22,AC=2

求：
(1)BC的长；
(2)∠ADC的正弦值．
【答案】(1)6
(2)55
【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是：
（1）作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，求出AH=CH=1，在Rt△ABH中，求出BH即可解决问题；
（2）在Rt△ADH中，求出DH，AD即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，作AH⊥BC于H．

在Rt△ACH中，∵csC=22=CHAC，AC=2，
∴CH=1，AH=AC2-CH2=1，
在Rt△ABH中，∵tanB=AHBH=15，
∴BH=5，
∴BC=BH+CH=6．
（2）∵BD=CD，
∴CD=3，DH=2，AD=AH2+DH2=5，
在Rt△ADH中，sin∠ADH=AHAD=55．
∴∠ADC的正弦值为55．
考查题型十五 解直角三角形的实际应用
类型一 仰角俯角问题
1．（2023上·福建泉州·九年级统考期中）小明利用所学三角函数知识对小区楼房的高度进行测量．他们在地面的A点处用测角仪测得楼房顶端D点的仰角为30°，向楼房前行30m在B点处测得楼房顶端D点的仰角为60°，已知测角仪的高度是1.5m（点A，B，C在同一条直线上），根据以上数据求楼房CD的高度．（3≈1.73，结果保留一位小数）

【答案】楼房CD的高度约为27.5m
【分析】本题考查了等腰三角形的判定、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．先根据等腰三角形的判定可得DN=MN=30m，再在Rt△DNE中，解直角三角形可得DE的长，最后根据DC=DE+CE求解即可得．
【详解】解：由题意得：AM=BN=CE=1.5m，AB=MN=30m，∠DEM=90°，∠DNE=60°，∠DME=30°，
∴∠MDN=∠DNE-∠DMN=30°，
∴∠DMN=∠MDN=30°，
∴DN=MN=30m，
在Rt△DNE中，DE=DN⋅sin60°=30×32=153m，
∴DC=DE+CE=153+1.5≈25.95+1.5≈27.5m，
答：楼房CD的高度约为27.5m．
2．（2023上·福建泉州·九年级校考期中）随着5G技术的进步与发展，中国大疆无人机享誉世界，生活中的测量技术也与时俱进．某天，数学小达人小婉利用无人机来测量神农湖上A，B两点之间的距离（A，B位于同一水平地面上），如图所示，小婉站在A处遥控空中C处的无人机，此时她的仰角为α，无人机的飞行高度为41.6m，并且无人机C测得湖岸边B处的俯角为60°，若小婉的身高，AD=1.6m，CD=50m（点A，B，C，D在同一平面内）．求A、B两点之间的距离．（结果精确到1m，3≈1.7）

【答案】54m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解题的关键是根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
【详解】如图所示, 作CE⊥AB交AB于点E,作DF⊥CE交CE于点F,

∵无人机的飞行高度为41.6m，
∴CE=41.6m，
由题意可得，四边形AEFD是矩形，
∴EF=AD=1.6m，
∴CF=CE-EF=40m，
∵DF⊥CE,CD=50m，
∴DF=CD2-CF2=30m，
∵四边形AEFD是矩形,
∴AE=DF=30m，
∵无人机C测得湖岸边B处的俯角为60°,
∴∠CBE=60°，
∴tan∠CBE=tan60°=CEBE，
即3=41.6BE，
解得 BE≈24,
∴AB=AE+BE=30+24=54m，
∴A, B两点之间的距离54m.
3．（2023上·湖南邵阳·九年级统考期中）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，如图，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进29米到达C处，再登上2米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°．

(1)求城门大楼的高度；
(2)每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间的长度．（结果保留整数）（参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40）
【答案】(1)18米
(2)49米
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
（1）根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意和锐角三角函数可以求得城门大楼的高度；
（2）根据（1）中的结果和锐角三角函数可以求得A，B之间所挂彩旗的长度．
【详解】（1）解：作AF⊥BC交BC于点F，交DE于点E，如图所示，

由题意可得，CD=EF=2米，∠B=22°，∠ADE=45°，BC=29米，DE=CF，
∵∠AED=∠AFB=90°，
∴∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠ADE，
∴AE=DE，
设AF=a米，则AE=(a-2)米，
∴DE=CF=AE=a-2米，
∵tan∠B=AFBF，
∴tan22°=a29+(a-2)，即a29+(a-2)≈0.40，
解得，a=18，
答：城门大楼的高度约是18米；
（2）解：∵∠B=22°，AF=18米，sin∠B=AFAB，
∴sin22°=18AB，
∴AB≈180.37≈49(米)，
即A，B之间所挂彩旗的长度约是49米．
类型二 方位角问题
1．（2023下·九年级课时练习）如图，一艘缉私艇位于小岛O北偏东80°的方向8海里的A处，一艘走私船从小岛O出发，沿北偏东20°方向匀速驶离小岛O，同时缉私艇从A处出发，恰好在B处截到走私船，若走私船与缉私艇的速度比为5:7，求缉私艇行驶的路程．
【答案】7海里
【详解】解：过点A作AD⊥OB，交OB于点D．在Rt△AOD中，由cs∠AOD=ODAO，得OD=AO⋅cs∠AOD=8×12=4（海里），∴AD=AO⋅sin∠AOD=8×32=43（海里）．设OB为5x海里，则AB为7x海里，在Rt△ABD中，BD2+AD2=AB2，即(5x-4)2+(43)2=(7x)2，解得x1=-83（舍），x2=1,AB=7x=7（海里）．
答：缉私艇行驶的路程为7海里．
【易错点分析】如何构造直角三角形是关键，过点O作AB上的高，∠AOB这个特殊角被拆开了；过点B作OA上的高，OA的长度没法使用；只有过点A作OB的高，才能充分利用∠AOB和OA这两个已知条件．
2．（2023下·九年级课时练习）如图，轮船从点A出发，先航行至位于点A南偏西15°且与点A相距100km的点B处，再航行至位于点B北偏东75°且与点B相距200km的点C处，求点C与点A之间的距离（精确到1km）．（参考数据：2≈1.414,3≈1.732）
【答案】173km
【详解】解：过点A作AD⊥BC，交BC于点D．根据题意得∠B=60°．在Rt△ABD中，AD=AB⋅sinB=100×32=503(km),BD=AB⋅csB=100×12=50(km)，则CD=BC-BD=200-50=150(km)．在Rt△ACD中，AC=CD2+AD2=1502+(503)2=1003≈173(km)．
答：点C与点A之间的距离约为173km．
【易错点分析】直接默认∠BAC=90°，认为AC=AB⋅tanB=1003(km)，答案虽然正确，但是没有证明∠BAC=90°．
3．（2023上·湖北襄阳·九年级校考期中）如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东60°方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛C周围9海里内有暗礁．（参考数据：3≈1.732，sin75°≈0.966，cs75°≈0.259．）

(1)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．
(2)如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？说明理由．
【答案】(1)有触礁危险
(2)没有触礁危险
【分析】本题考查了解直角三角形的应用：
（1）过点C作CE⊥AE于E，在Rt△CBE中和在Rt△ACE中利用解直角三角形进而可求解；
（2）过点CD⊥BF于D，在Rt△BCD中，利用解直角三角形即可求解；
熟练掌握直角三角形边角关系及构造直角三角形利用数形结合解决问题是解题的关键．
【详解】（1）解：过点C作CE⊥AE于E，如图：

AB=30×2060=10（海里），
设CE=x，
∵∠MAC=60°，∠NBC=30°，
∴∠CAB=90°-∠MAC=30°，∠CBE=90°-∠NBC=60°，
在Rt△CBE中，∠CEB=90°，∠CBE=60°，
∴BE=CEtan60°=33x，
在Rt△ACE中，∠CEA=90°，∠CAB=30°，
∴AE=CEtan30°=3x，
∴3x=10+33x，
解得：x≈8.66<9，
答：渔船继续向东航行，有触礁危险．
（2）过点CD⊥BF于D，如图：

由（2）得：BC=CEsin60°=5332=10（海里），
在Rt△BCD中，∠CBD=∠CBH+∠DBH=60°+15°=75°，∠CDB=90°，BC=10海里，
∴CD=BC⋅sin75°≈10×0.966≈9.66>9，
答：没有触礁危险．
类型三 坡度坡比问题
1．（2023上·湖南岳阳·九年级校联考期中）某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度．他从点A出发沿着坡度为i＝1:2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端D的仰角为37°，建筑物底端E的俯角为30°．若AF为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE，（结果保留根号）（sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【答案】8.73+11.6米
【分析】利用坡度的定义得到BN的长，进而利用锐角三角函数关系得出CM的长，进而得出DM以及ME的长，解题的关键是找到边长之间的关系．
【详解】解：过点B作BN⊥AE，CM⊥DE垂足分别为：N，M，如图所示：
，
∵坡度i＝1:2.4，AB=26米，
∴设BN=x，则AN=2.4x，
∴AB=2.6x，
则2.6x=26，
解得：x=10，
故BN=10米，
∴CN=ME=CB+BN=11.6米，
则tan30°=EMCM=11.6CM=33，
∴CM=11.63米，
∵tan37°=DMCM=DM11.63=0.75，
∴DM=8.73米，
故DE=DM+ME=8.73+11.6米，
则此建筑物的高度8.73+11.6米．
2．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，某小区的地下停车场的截面图，旗杆AG正对着地下停车场的斜坡，车辆可以从地面AB经斜坡BC后进入地下停车场，某一时刻，旗杆AG的影子随着太阳光的照射落在折线A-B-C-E处，还有一部分影子落在铅垂的墙面MN处，经测量地面AB与FK在同一水平线上，M、F、N、C在同一铅垂的直线上，斜坡BC的坡度为1:2，AB=5米，BC=55米，CE=5米，MF=FN=1米．

(1)在图上画出一条太阳光的照射光线；
(2)求出CN的长度，并写出高度为3.99米的车辆能否入地下停车场；
(3)求出旗杆AG的高度．
【答案】(1)见解析
(2)CN的长度是4米，不能进入地下停车场
(3)13米
【分析】（1）连接GM，GM即为所求；
（2）连接BF,CN，根据斜坡BC的坡度为1:2，得出CFBF=12，设CF=x,BF=2x，根据勾股定理可得CF2+BF2=BC2，列出方程求解即可得出CF=5米，则BF=10米，进而得出CN=CF-FN=4米；过点N作NH⊥BC于点H，求出sin∠BCF=BFBC=255，则NHCH=255，求出NH=855，再与3.99米比较大小即可解答；
（3）连接EN并延长，交AG于点Q，BF交EQ于点P，证明△PFN∽△ECN，得出PFCE=FNCN，求出PF=54，进而求出AP=554米，再证明△QAP∽△NFP，得出QANF=APPF，即可求出QA=11，通过证明四边形GQNM是平行四边形，得出GQ=MN=2米，即可求解．
【详解】（1）解：如图，GM就是所要求做的太阳光的照射光线．

（2）解：连接BF,CN，
∵地面AB与FK在同一水平线上，M、F、N、C在同一铅垂的直线上，
∴△BCF为直角三角形，
∵斜坡BC的坡度为1:2，
∴CFBF=12，
设CF=x,BF=2x，
根据勾股定理可得：CF2+BF2=BC2，
∵BC=55米，
∴x2+2x2=552
解得：x=5，
∴CF=5米，则BF=10米，
∵FN=1米．
∴CN=CF-FN=4米，
过点N作NH⊥BC于点H，
∴sin∠BCF=BFBC=1055=255，
∴NHCH=NH4=255，
解得：NH=855≈3.58，
∵3.58米<3.99米，
∴高度为3.99米的车辆不能进入地下停车场；

（3）解：连接EN并延长，交AG于点Q，BF交EQ于点P，
∵∠PNF=∠ENC,∠PFN=∠ECN，
∴△PFN∽△ECN，
∴PFCE=FNCN，即 PF5=14，
解得：PF=54，
∵AB=5米，BF=10米，
∴AP=AB+BF-PF=5+10-54=554（米），
∵∠QPA=∠NPF,∠QAP=∠NFP，
∴△QAP∽△NFP，
∴QANF=APPF，即QA1=55454，
解得：QA=11，
∵MF=FN=1米．
∴MN=2米，
∵旗杆AG的影子随着太行光的照射落在折线A-B-C-E处，还有一部分影子落在铅垂的墙面MN处，
∴GM∥QE，
∵GQ∥MN，
∴四边形GQNM是平行四边形，
∴GQ=MN=2米，
∴AG=QA+GQ=13米．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，正确画出辅助线，构造直角三角形和相似三角形，熟练掌握相似三角形对应边成比例．
3．（2023上·河北邢台·九年级校考期中）如图，楼房AB后有一假山CD，CD的坡度为i=3:4，测得B与C的距离为24米，山坡坡面上E点处有一休息亭，与山脚C的距离CE=10米，小丽从楼房房顶A处测得E的俯角为45°.

(1)求点E到水平地面的距离；
(2)求楼房AB的高.
【答案】(1)6米
(2)38米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，（1）过点E作EF⊥BC的延长线于F，根据CD的坡度为i=3:4得CF=43EF，再由勾股定理可得EF=6米，CF=8米；
（2）过E作EH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质求出AH的长，进而可得AB的长．
【详解】（1）解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，
在Rt△CEF中，
∵CD的坡度为i=3:4，CE=10米，
∴i=EFCF=34．
∴CF=43EF，
∵EF2+CF2=CE2，
∴EF2+43EF2=102，
∴EF=6（米），CF=8（米），
答：点E到水平地面的距离为6米；

（2）过E作EH⊥AB于点H，
则BH=EF=6米，
由题意得：HE=BF=BC+CF=24+8=32（米），
在Rt△AHE中，∠HAE=45°，
∴AH=tan45°⋅HE=32（米），
∴AB=AH+HB=32+6=38（米）．
答：楼房AB的高为38米．
类型四 其它问题
1．（2023上·吉林长春·九年级校考期中）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图①是明朝科学家徐光启在《农政企书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图②所示，己知AB=AC=1.5米，点D在CA的延长线上，AD=1.2米，AC与AB的张角为a，BC为固定张角大小的绳索，若a=40°时，求桑梯顶端D到地面BC的距离．
(参考数据： sin70°=0.94,cs70°=0.34,tan70°=2.75，结果精确到0.01米)
【答案】2.54米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点D作DE⊥BC，垂足为E，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC=∠C=70°，再根据已知可得DC=2.7米，然后在Rt△DEC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】过点D作DE⊥BC，垂足为E，
∴∠DEC=90°，
∵AB=AC=1.5米，∠BAC=α=40°，
∴∠ABC=∠C=12(180°-∠BAC)=70°，
∵AD=1.2米，
∴DC=AD+AC=2.7(米)，
在Rt△DEC中，DE=DC⋅sin70°≈2.7×0.94≈2.54(米)，
∴桑梯顶端D到地面BC的距离约为2.54米．
2．（2023上·山东济南·九年级统考期中）如图，某一时刻太阳光从教室窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC=30°，已知窗户的高度AF=2m，窗台的高度CF=1m，若CP=523m，AD为窗外水平遮阳篷．

(1)求BC的长；
(2)求遮阳篷AD的宽度（3≈1.732，结果精确到0.1m）．
【答案】(1)BC=52m
(2)AD≈0.9m
【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
（1）直接利用正切函数求解即可；
（2）在Rt△ADB中，利用正切函数列式计算求解即可．
【详解】（1）解：在Rt△BCP中，
∵PC=532，∠BPC=30°，
∴BC=PCtan30°=532×33=52m；
（2）解：∵AF=2，CF=1，
∴AC=3，
∵BC=52，
∴AB=3-52=12，
∵AD∥PC，
∴∠ADB=∠BPC=30°，
在Rt△ADB中，
∵tan∠ADB=ABAD=33，
∴AD=12×3=32≈0.9m．
3．（2023上·山西临汾·九年级统考期中）如图，图①②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.7米，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，手柄AB与地面DE平行．求跑步机手柄的一端A距离地面的高度．（精确到0.1m）（参考数据：sin12°≈0.21，cs12°≈0.98，tan12°≈0.21，sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40）

【答案】1.1米
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题；
过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt △ACF中，根据三角函数可求CF，在Rt△CDG中，根据三角函数可求CG，再根据FG=FC+CG即可求解．
【详解】解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．
∵AB∥GD，
∴FG⊥GD．
∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，
∴∠ACF=∠FCD-∠ACD=∠CGD+∠CDE-∠ACD=90°+12°-80°=22°，
在Rt△ACF中，cs∠ACF=CFAC，
则CF=ACcs∠ACF=0.8cs22°≈0.8×0.93=0.744（米）．
在Rt△DCG中，sin∠CDE=CGCD，
则CG=CDsin∠CDE=1.7sin12°≈1.7×0.21=0.357（米）．
则FG=CF+CG=0.744+0.357=1.101≈1.1（米）．
∵AB∥GD，
∴跑步机手柄的一端A距离地面的高度等于FG为1.1米．