2026年小升初数学考点专项训练--考点58：等积模型应用

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2、等底等高：如果两个三角形等底等高，则两三角形面积相等(如图1)；等积变形，即：平行平移.
(3)同底看高：如果两个三角形等底，但高不等，则面积比等于高的比(如图2).
(4)同高看底：如果两个三角形等高，但底不等，则面积比等于底的比(如图3)(又称比例模型).

图1： 图2： 图3：
【例1】如图所示，任意四边形ABCD，E是AB中点，F是CD中点，已知四边形ABCD的面积是10，则阴影部分的面积是( )。
A.8 B.7 C.6 D.5
【例2】如图，正方形ABCD的边长为4 cm，点E在BC上，四边形BEFG也是正方形，以点B为圆心，BA长为半径画弧AC，连接AF，CF，AF与BC交于点H，试求图中阴影部分的面积。(结果保留π)
【例3】如图，平形四边形ABCD的底BC长是12厘米，线段FE长是4厘米，那么平形四边形中的阴影部分面积是( )平方厘米。
【例4】如图，平行四边形ABCD中，OE=EF=FD。平行四边形面积是240平方厘米，阴影部分的面积是_______平方厘米。
【例5】如图，在△ABC中，△ADE，△DEF，△EFG，△FGH，△CGH，△BCH的面积分别是5，7，11，15，20，12。求△BGH的面积。
【例6】如图，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH，如果四边形ABCD的面积是5平方厘米，则四边形EFGH的面积是多少平方厘米?
【例7】图中长方形的面积是180 平方厘米，S1 和S2 的面积都是60 平方厘米，阴影部分面积是多少平方厘米？

【例8】用面积为2，3，4，5的四张长方形纸片拼成如图所示的大长方形。图中的阴影部分面积为_____。(答案填分数)
1.【2017·天省】梯形ABCD的面积为20，E点在BC上，三角形ADE的面积是三角形ABE面积的2倍，BE的长为2，EC的长为5，那么三角形DEC的面积为( )。
A. B. C. D.
2.【2015·天省】如图，是梯形下底的中点，则图中与阴影部分面积相等的三角形共有( )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
3.【2018·白云广附】下面是梯形转化为三角形的过程，如果梯形的面积是50.24cm2，高是8cm，那么转化后，三角形的底是( )cm


4.【2018·中大附6】右图中的阴影部分的面积是( )
A.36 B.24 C.38
5.【2019年·白广附1】(如右图)一个三边长为6cm，8cm 和10 厘米的直角三角形，将它的最短边对折到斜边相重合，重叠后的三角形即阴影部分的面积是( )平方厘米。
6.【2019年·白广附3】如右图，长方形 ABDC 被分成两个长方形，且AB＝4AE，图中阴影部分三角形的面积为4 平方分米，长方形ABDC 的面积是( )平方分米。
7.【2019年·白广附2】图中长方形ABCD的长为8厘米，宽为6厘米，E，F分别为所在边的中点，则着色部分的面积为( )平方厘米。
8.【23天省实验入学2】如图所示，DE=AE，BD=2DC，三角形EBD的面积是5平方厘米，则三角形ABC的面积是_________。
9.【22天省实验入学2】如图，将△ABC的各边延长2倍，得到的大△DEF的面积为34平方厘米，那么△ABC的面积是多少平方厘米?
10.【24广附黄埔入学2】如图，AD=DB，AE=EF=FC。已知阴影部分的面积是5平方厘米，三角形ABC的面积是_____平方厘米。
11.【23广附黄埔入学1】已知正方形ABCD边长为10，正方形BEFG边长为6，四边形CHIJ为正方形，求阴影部分的面积。
12.【23广附黄埔入学3】如图，长方形ABCD的面积为36cm²，E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，H为AD边上任意一点，则阴影部分的面积是____cm²。
13.【22白云实验入学2】如图，△ABC中，E为AD与CF的交点，AE=ED，已知△ABC的面积是36，△BEF的面积是3.6，则△AEF的面积是 。
14.【22育才实验入学1】如图，ABCD是长方形，其中AB=8，AE=6，ED=3。并且F是线段BE的中点，G是线段FC的中点。求三角形DFG(阴影部分)的面积。
考点58：等积模型参考答案
1、定义：等积模型这里的积指的是面积，因为直线型图形都可以分解成若干个三角形，所以三角形是最基本的图形，等积模型就是三角形面积变换。三角形面积=底×高÷2，三角形的面积取决于底和高两个量。
2、等底等高：如果两个三角形等底等高，则两三角形面积相等(如图1)；等积变形，即：平行平移.
(3)同底看高：如果两个三角形等底，但高不等，则面积比等于高的比(如图2).
(4)同高看底：如果两个三角形等高，但底不等，则面积比等于底的比(如图3)(又称比例模型).

图1： 图2： 图3：
【例1】如图所示，任意四边形ABCD，E是AB中点，F是CD中点，已知四边形ABCD的面积是10，则阴影部分的面积是( )。
A.8 B.7 C.6 D.5
【答案】D
【解析】如题图，连接BD，
S△AED=S△EBD=S△ABD S△DFB=S△BFC=S△BDC
S四边形EBFD=S△EBD+S△BFD=(S△ABD +S△=BDC)=S四边形ABCD=×10=5
【例2】如图，正方形ABCD的边长为4 cm，点E在BC上，四边形BEFG也是正方形，以点B为圆心，BA长为半径画弧AC，连接AF，CF，AF与BC交于点H，试求图中阴影部分的面积。(结果保留π)
【解析】S阴=
【例3】如图，平形四边形ABCD的底BC长是12厘米，线段FE长是4厘米，那么平形四边形中的阴影部分面积是( 48 )平方厘米。
【例4】如图，平行四边形ABCD中，OE=EF=FD。平行四边形面积是240平方厘米，阴影部分的面积是_______平方厘米。
【答案】20 【解析】因为平行四边形ABCD中，AC和BD是对角线，把平行四边形ABCD的面积平分成4份，平行四边形面积是240平方厘米，
所以S△DOC=240÷4=60(平方厘米)，
又因为OE=EF=FD，
所以S△ECF=S△DOC=×60=20(平方厘米)。
【例5】如图，在△ABC中，△ADE，△DEF，△EFG，△FGH，△CGH，△BCH的面积分别是5，7，11，15，20，12。求△BGH的面积。
【解析】因为△ACH和△CHB等高，
所以AH:HB=S△ACH:S△CHB
又因为S△ACH=S△ADE+S△DEF +S△EFG+S△FGH+S△CGH
=5+7+11+15+20=58，
所以AH:HB=58:12=29:6。
同理，因为△AHG和△BHG等高，
所以S△AHG:S =AH:BH=29:6。
又因为S△AHG=S△ADE+S△DEF+S△FEG+S△FGH=5+7+11+15=38，
所以S△BGH=38÷29×6=。
【例6】如图，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH，如果四边形ABCD的面积是5平方厘米，则四边形EFGH的面积是多少平方厘米?
【解析】如题图，连接AC，设S△ABC为a，S△ADC为b，再连接CH与FA，
因为DH=2AD，FB=2BC，则S△CHD=2b，S△AFB=2a;
因为CG=2DC，EA=2BA，则S△GCH=2×2b=4b，S△EFA=2×2a=4a，
则S△DCH+S△EFB=6a+6b。
同理连接BD可得：S△AEH+S△CGF=6(S△ABD+S△BCD)=6a+6b，
则S四边形EFCH=6a+6b+6a+6b+a+b=13(a+b)=13×5=65(cm²)。
四边形EFGH的面积为65cm²。
【例7】图中长方形的面积是180 平方厘米，S1 和S2 的面积都是60 平方厘米，阴影部分面积是多少平方厘米？
【解析】连接EB,则S△EFB=180÷2=90(平方厘米)，
S△EAB=90−60=30(平方厘米)，
所以AB:FB=1:3；
同理，BC:BD=1:3，
因此S△ABC=AB×BC=×FB×BD=FB×BD=×180=10(平方厘米)；
阴影部分的面积：180−60×2−10=50(平方厘米)；
【例8】用面积为2，3，4，5的四张长方形纸片拼成如图所示的大长方形。图中的阴影部分面积为_____。(答案填分数)
【答案】
1.【2017·天省】梯形ABCD的面积为20，E点在BC上，三角形ADE的面积是三角形ABE面积的2倍，BE的长为2，EC的长为5，那么三角形DEC的面积为( A )。
A. B. C. D.
2.【2015·天省】如图，是梯形下底的中点，则图中与阴影部分面积相等的三角形共有( C )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
3.【2018·白云广附】下面是梯形转化为三角形的过程，如果梯形的面积是50.24cm2，高是8cm，那么转化后，三角形的底是( A )cm


4.【2018·中大附6】右图中的阴影部分的面积是( A )
A.36 B.24 C.38
5.【2019年·白广附1】(如右图)一个三边长为6cm，8cm 和10 厘米的直角三角形，将它的最短边对折到斜边相重合，重叠后的三角形即阴影部分的面积是( 9 )平方厘米。
6.【2019年·白广附3】如右图，长方形 ABDC 被分成两个长方形，且AB＝4AE，图中阴影部分三角形的面积为4 平方分米，长方形ABDC 的面积是( )平方分米。
7.【2019年·白广附2】图中长方形ABCD的长为8厘米，宽为6厘米，E，F分别为所在边的中点，则着色部分的面积为( 12 )平方厘米。
8.【23天省实验入学2】如图所示，DE=AE，BD=2DC，三角形EBD的面积是5平方厘米，则三角形ABC的面积是_________。
【答案】22.5平方厘米【解析】5÷=10(平方厘米)(S△ABE)
10+5=15(平方厘米)(S△ABD)
15÷2=7.5(平方厘米)(S△ACD)
15+7.5=22.5(平方厘米)(S△ABC)
9.【22天省实验入学2】如图，将△ABC的各边延长2倍，得到的大△DEF的面积为34平方厘米，那么△ABC的面积是多少平方厘米?
【解析】如图，连接AF，BD，CE，△ABC与△ACF等高，CF=2BC，
则S△ACF=2S△ABC
设S△ABC为1份，则S△ACF为2份，
△ACF与△ADF等高，DA=2AC，
则S△ADF=2S△ACF，S△ADF=2×2=4(份)，
同理，S△ABD =S△BCE =2份，
S△BDE=S△CEF=4份，
S△DEF=(2+4)×3+1=19(份)，即S△DEF=19S△ABC，
而S△DEF=34 cm²，则S△ABC=34÷19=(cm²)。
10.【24广附黄埔入学2】如图，AD=DB，AE=EF=FC。已知阴影部分的面积是5平方厘米，三角形ABC的面积是_____平方厘米。
【答案】30【解析】AD=DB=AB，AE=EF=FC=AC，
△DEF的高是△ABC的高的，△DEF的底是△ABC的底的，
则S△ABC=S△DEF=6×5=30(cm²)。
11.【23广附黄埔入学1】已知正方形ABCD边长为10，正方形BEFG边长为6，四边形CHIJ为正方形，求阴影部分的面积。
【解析】 10×(10－6)×=10×4×=20
阴影部分面积是20。
12.【23广附黄埔入学3】如图，长方形ABCD的面积为36cm²，E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，H为AD边上任意一点，则阴影部分的面积是____cm²。
【答案】18
【解析】如图，连接BH，HC，因为E，F，G为各边的中点，
所EB=AB BF=BC DG=DC
S△BHF=S△HFC S△HGC=S△DHG S△AEH=S△EBH
S阴=S△EBH+S△BHF+S△DHG=S长方形=×36=18(cm²)
13.【22白云实验入学2】如图，△ABC中，E为AD与CF的交点，AE=ED，已知△ABC的面积是36，△BEF的面积是3.6，则△AEF的面积是 。
【答案】2.4 【解析】AE=ED
S△ABE+S△AEC=S△BED+S△EDC=S△ABC=36÷2=18
S△AFC=S△ABE+S△AEC－S△BEF=18－3.6=14.4
S△AFC:S△BFC=14.4:(3.6+18)=2:3 所以AF:BF=2:3
S△AEF=S△BEF×=2.4
14.【22育才实验入学1】如图，ABCD是长方形，其中AB=8，AE=6，ED=3。并且F是线段BE的中点，G是线段FC的中点。求三角形DFG(阴影部分)的面积。
【解析】S梯形CBED =(3+3+6)×8÷2=48.
S△DEF=S△BDE=×(3×8÷2)=6，
S△BCF=S△BCE=×(3+6)×8÷2=18，
S△DFG=S△DFC×=(48=6－18)×=12。
所以三角形DFG(阴影部分)的面积为12。