2026年小升初数学考点专项训练--考点61：代数法与和差法应用

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将图形按形状、大小分类，并设合适的未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法，或者通过未知数建立等量关系，不一定要求出未知数。
2、和差法
有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。
【例1】如右图，直角梯形 ABCD 的上底 BC＝10 厘米，下底 AD＝14 厘米，高 CD＝5厘米，又三角形 ABF、三角形 BCE 和四边形 BEDF 的面积相等。求三角形 DEF 的面积。
【例2】有四条线段的长度已知，还有两个角是直角，那么四边形(阴影部分)的面积是多少？
【例3】【2017·白广附2】边长为6厘米的正方形每条边都被三等分，求阴影部分图形的面积。
【例4】如图， 边长是4厘米的正方形和直径是4厘米的半圆组成如图所示，其中P点是半圆的中点，点Q是正方形一边的中点，求阴影部分的面积为。
【例5】如图是一幅钟面的示意图，图中的阴影部分是一个近似的梯形。已知钟面直径是24厘米，则这个近似梯形的面积是多少平方厘米?
1.【2019年·中大附3】如图，边长为(m+3)的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则周长是 。
A.4m+10 B.4m+12
C.2m+8 D.2m+12
2.【2019年·中大附1】下图中空白部分的面积是80平方厘米，求阴影部分的面积为 。(取3.14)
A.77 B.78 C.80 D.83
3.【2019年·白广附3】如图，两个边长为12 厘米的正方形相互错开3 厘米，那么图中阴影平行四边形的面积是( )平方厘米。
4.【2017·白广雅】如图， 图的直径d=10cm(取3.14)。则阴影部分的面积是( )cm 2。
第3题 第4题
5.【2018·中大附5】阴影部分的面积为 平方厘米。(取3.14)
6.【2018·白云华附2】下图是一个梯形，求梯形里阴影部分的面积。(单位:分米)
7.【2017·育才实验】求图中阴影部分的面积。
8.【2017·白广雅2】如图，求出图中阴影部分的面积。(图中数据的单位都是厘米)

9.【24广附大奥入学】公园有一块长方形草坪，草坪长30m，宽25m，在这块草坪中间留一条宽2m的小路(如图)，草坪的面积是多少平方米?

10.【24广附黄埔入学2】如图，每个小正方形的面积均为1个面积单位，共9个面积单位，则图中阴影部分面积占正方形面积的( )。
A. B. C. D.
11.【24太和华附入学1】图形中阴影部分面积与空白部分面积的比是( )。
A.4:3 B.25:49 C.14:39 D.5:9
考点61：代数法与和差法参考答案
1、代数法
将图形按形状、大小分类，并设合适的未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法，或者通过未知数建立等量关系，不一定要求出未知数。
2、和差法
有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。
【例1】如右图，直角梯形 ABCD 的上底 BC＝10 厘米，下底 AD＝14 厘米，高 CD＝5厘米，又三角形 ABF、三角形 BCE 和四边形 BEDF 的面积相等。求三角形 DEF 的面积。
【解析】大梯形的面积是：(10+14)×5÷2=60(平方厘米)，
60÷3=20(平方厘米)，
EC=20×2÷10=4(厘米)，
ED=5−4=1(厘米)，
AF=20×2÷5=8(厘米)，
DF=14−8=6(厘米)，
S△DEF=6×1÷2=3(平方厘米).
答：三角形DEF的面积是3平方厘米。
【例2】有四条线段的长度已知，还有两个角是直角，那么四边形(阴影部分)的面积是多少？
【解析】7×8÷2+4×10÷2,=28+20,=48(平方厘米).
答：四边形ABCD(阴影部分)的面积是48平方厘米。
【例3】【2017·白广附2】边长为6厘米的正方形每条边都被三等分，求阴影部分图形的面积。
【解析】6÷3=2(cm), 2×2=4(cm)
6×6=36(cm2)(S正ABCD)
(2+4)×6÷2=18(cm2)(S梯AEHD)
2×2÷2=2(cm2)(S△EBF)
2×4÷2=4(cm2)(S△HCG)
36－18－2－4=12(cm2)(S阴)
答:阴影部分的面积是12cm2。
【例4】如图， 边长是4厘米的正方形和直径是4厘米的半圆组成如图所示，其中P点是半圆的中点，点Q是正方形一边的中点，求阴影部分的面积为。
【解析】正方形和半圆的面积之和：
4×4+3.14×(4÷2)2÷2=16+6.28=22.28平方厘米)，
三角形PAB的面积是：2×6÷2=6(平方厘米)，
梯形GPQB的面积是(2+6)×2÷2=8(平方厘米)，
则阴影部分的面积是：22.28−6−8=8.28(平方厘米)；
答：阴影部分的面积是8.28平方厘米。
【例5】如图是一幅钟面的示意图，图中的阴影部分是一个近似的梯形。已知钟面直径是24厘米，则这个近似梯形的面积是多少平方厘米?
【解析】如图所示
易知：S①=S②，S③=S④
S阴影=S扇形OAB－(S①+S③)
=S扇形OAB－(S④+S②)
=S扇形OAB－S扇形OBC
=
=75.36(cm2)
1.【2019年·中大附3】如图，边长为(m+3)的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则周长是 B 。
A.4m+10 B.4m+12
C.2m+8 D.2m+12
2.【2019年·中大附1】下图中空白部分的面积是80平方厘米，求阴影部分的面积为 A 。(取3.14)
A.77 B.78 C.80 D.83
3.【2019年·白广附3】如图，两个边长为12 厘米的正方形相互错开3 厘米，那么图中阴影平行四边形的面积是( 135 )平方厘米。
4.【2017·白广雅】如图， 图的直径d=10cm(取3.14)。则阴影部分的面积是( 44.625 )cm 2。
第3题 第4题
5.【2018·中大附5】阴影部分的面积为 452.16 平方厘米。(取3.14)
6.【2018·白云华附2】下图是一个梯形，求梯形里阴影部分的面积。(单位:分米)
【解析】由图可得梯形的高为,所以阴影
部分的面积为(平方分米)
7.【2017·育才实验】求图中阴影部分的面积。
【解析】半径==5
阴影部分面积=圆的面积一正方形的面积
=
答:阴影部分的面积是28.5。
8.【2017·白广雅2】如图，求出图中阴影部分的面积。(图中数据的单位都是厘米)
【解析】3.8×6.5+2.6×2.6=31.46(cm2)
3.8×6.5×+(6.5+2.6)×2.6×=24.8(cm2)
31.46－24.18=7.28(cm2)
答:阴影部分面积是7.28cm2。
9.【24广附大奥入学】公园有一块长方形草坪，草坪长30m，宽25m，在这块草坪中间留一条宽2m的小路(如图)，草坪的面积是多少平方米?
【解析】由题意得，(30－2)×(25－2)=28×23=644(平方米)
草坪的面积是644平方米。

10.【24广附黄埔入学2】如图，每个小正方形的面积均为1个面积单位，共9个面积单位，则图中阴影部分面积占正方形面积的( )。
A. B. C. D.
【答案】B【解析】S空=1×3÷2+2×2÷2+1×3÷2=5，
则S阴=9－5=4，那么阴影部分面积占正方形面积的。
11.【24太和华附入学1】图形中阴影部分面积与空白部分面积的比是( )。
A.4:3 B.25:49 C.14:39 D.5:9
【答案】B
【解析】S总=10×10+6×6+6×(10－6)÷2=148
S空白=10×10÷2+(6+10)×6÷2=98
S阴影=148－98=50
S阴影:S空白=50:98=25:49