第六章 计数原理（复习课件）-2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

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单元复习课件 第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册·高二学习内容导览单元知识图谱2单元复习目标13考点串讲针对训练5题型剖析46课堂总结1.复习巩固本章的学习内容，理解两个基本计数原理：分类加法计数原理，分步乘法计数原理，进一步利用两个计数原理得到两类特殊计数问题的计数公式——排列数公式和组合数公式。从而学会应用公式解决一些实际计数问题。3.对基本概念和定理的理解，以及相关公式的推导和运用。会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.2. 通过具体实例,正确选择合适的计数原理来解决问题,正确理解排列、组合的相关概念,会利用排列数、组合数计算,并能够进行实际应用解决简单的排列组合问题。能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理　　完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．1.分类加法计数原理：注意：两类不同方案中的方法互不相同.一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理2.分类加法计数原理的推广：　　完成一件事有n类不同方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第 2类方案中有 m2 种不同的方法，……在第 n类方案中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理　　一般地，完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m×n种不同的方法.3.分步乘法计数原理：注意：①无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数.②各个步骤相互依存, 只有各个步骤都完成了, 这件事才算完成, 将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,.一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理4.分步乘法计数原理的推广：　　完成一件事需要有n个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2步有 m2 种不同的方法，……做第 n步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理都是用来计算“完成一件事”的不同方法种数的问题类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整5.两个原理的异同点：分类完成，类类相加分步完成，步步相乘任何一类中的任何一种方法都能独立完成这件事只有依次完成每一个步骤，才能完成这件事（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）二、排列与组合（一）排列1.排列的定义： 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement).定义中包含三个基本内容：②取出元素③按照一定的顺序排列①不同的元素二、排列与组合（一）排列（1）首先要保证元素无重复性，即从n个不同元素中，取出m (m≤n) 个不同的元素，否则不是排列问题。（2）要保证元素的有序性，即安排这m个元素时是有序的，有序就是排列，无序则不是排列. 而检验它是否有序的依据就是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是有序，无变化就是无序.2. 排列问题的判断方法：二、排列与组合（二）排列数1. 排列数m，n所满足的条件是：(1) m∈N*，n∈N* ；(2) m≤n .2. 排列数与排列的区别： 排列是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，排成一列的具体排法，也就是完成一件事的一种方法，它不是数； 排列数是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，排成一列所有排列的个数，它是一个数.二、排列与组合（二）排列数3. 排列数公式排列数公式的阶乘形式排列数公式的连乘形式二、排列与组合（二）排列数4. 全排列从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同 元素的一个全排列 .5. 全排列数公式6. 阶乘正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 n! 表示.于是，n个元素的全排列数公式可以写成 二、排列与组合（三）组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．组合的定义二、排列与组合（三）组合1.组合数：m，n所满足的条件是：(1) m∈N*，n∈N* ；(2) m≤n .二、排列与组合（四）组合数2. 组合数公式：这里m，n∈N* ；并且 m≤n .二、排列与组合（四）组合数3.组合数的性质性质1性质2三、二项式定理（一）二项式定理1. 二项式定理2.二项展开式的通项3.二项式系数：三、二项式定理（一）二项式定理对于二项式定理要注意以下几点：(5) 二项式定理对任意的数a, b都成立，若设a＝1, b＝x，则有三、二项式定理（二）二项式定理的性质 1. 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 2. 增减性与最大值 3. 各二项式系数的和【题型一】含有限制条件的排列、组合问题【例1】 从1到9的9个数字中取3个偶数、4个奇数，问：（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？（2）（1）中的七位数中，3个偶数排在一起的有几个？  【题型一】含有限制条件的排列、组合问题【例1】 从1到9的9个数字中取3个偶数、4个奇数，问：（3）（1）中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？（4）（1）中的七位数中，任意2个偶数都不相邻的有几个？  【训练1】（1） 某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有____种.（用数字作答）96 【训练1】（2）用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为___.8 【题型二】多面手问题例2 有12名翻译人员，其中3人只会翻译英语，4人只会翻译法语，其余5人既会翻译英语，也会翻译法语.从这12名翻译人员中任选6人，其中3人翻译英语，3人翻译法语，有多少种不同的选法？ 【训练2】 某校有赛艇运动员10人，3人只会划右边，2人只会划左边，其余5人两边都会划，现要从中选6人上艇，平均分配在两边划桨，有多少种不同的选法？（不考虑同侧队员间的顺序） 【题型三】分组、分配问题角度1 不同元素分组、分配问题【例3】 8张不同的邮票，按下列要求各有多少种不同的分法？（用式子表示）（1）平均分成四份； （2）平均分给甲、乙、丙、丁四人； 【题型三】分组、分配问题（3）分成三份，一份4张，一份2张，一份2张；（4）分给甲、乙、丙三人，甲4张，乙2张，丙2张；（5）分给三人，一人4张，一人2张，一人2张；   【题型三】分组、分配问题（6）分成三份，一份1张，一份2张，一份5张；（7）分给甲、乙、丙三人，甲1张，乙2张，丙5张；（8）分给甲、乙、丙三人，一人1张，一人2张，一人5张.   【训练3】 按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？（1）各组人数分别为2，4，6；（2）各组人数分别为3，3，6；（3）平均分成3个小组；（4）平均分成3个小组，进入3个不同的车间.    【题型三】分组、分配问题角度2 相同元素分配问题【例4】（1） 4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，共有多少种放法？（2）4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子,恰有一个空盒子,共有多少种放法？  【题型三】分组、分配问题（3）10个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子不空，共有多少种放法？ （4）4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个空盒子，共有多少种放法？  165 【题型四】涂色（种植）问题 图①图②（1）若相邻区域能用同一种颜色，则图①有多少种不同的涂色方案？ 【题型四】涂色（种植）问题   【题型四】涂色（种植）问题      【训练6】小张正在玩一款种菜的游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上（一块空地只能种植一种作物），若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有_____种.  【题型五】二项式定理及其应用   【题型五】二项式定理及其应用 5 【题型五】二项式定理及其应用 D        D 一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，尤其是分类加法计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效地将之分解，达到求解的目的．正确地分类与分步是用好两个原理的关键，即完成一件事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这是选用计数原理的关键．二、排列与组合 排列数与组合数的计算公式主要应用于求值和证明恒等式，其中求值问题应用连乘的形式，证明恒等式应用阶乘的形式．在证明恒等式时，要注意观察恒等式左右两边的形式，基本遵循由繁到简的原则，有时也会从两边向中间靠拢． 对于应用题，则首先要分清是否有序，即是排列问题还是组合问题． 三、二项式定理(1)与二项式定理有关的问题：包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式．一、常见的计数问题及方法方法归纳1.多面手问题：选定一个类型的单面手，以其入选人数分类2.组数/排队问题：优先考虑特殊位置或特殊元素 (个位的奇偶/首位不为0/排头排尾等)3.至多/至少问题：正难则反，总方法数－反面方法数4.不相邻问题：插空法5.相邻问题：捆绑法6.定序问题：除阶乘法(所有元素的全排列数除以定序元素的全排列数)方法归纳一、常见的计数问题及方法7.相同元素分组：隔板法(n个相同元素分k份，需k－1块不相邻的隔板放入n个空隙) (适用于相同物品或实习/参赛名额等的分组分配)8.不同元素的分组：①完全不均匀分组：各组分步选取②完全均匀分n组：各组分步选取，除以n!③部分均匀分组：各组分步选取，有k组均匀, 则除以k!方法归纳二、涂色、种植问题常见方法1.按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析．2.以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析．3.将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题．4.种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数．方法归纳三、二项式展开式的系数和问题求展开式中各项的二项式系数和或系数和、奇数项或者偶数项的二项式系数和或系数和以及各项系数的绝对值的和，主要方法是赋值法，通过特殊化思想求解，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果．感谢聆听!