高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册第六章 计数原理 章节复习 教案

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第六章 计数原理 章节复习 夯实、拓展、感悟与提升一、夯实双基，逐层认知本章知识网络重点1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 例1 （1）如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有______个(用数字作答)．【解析】把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有 (个)．第二类，有两条公共边的三角形共有8个．由分类加法计数原理知，共有 (个)．【答案】40例1（2）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)A．24 B．18 C．12 D．9【解析】从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条，所以由分步乘法计数原理可得从E点到G点的最短路径有 (条)，故选B.例1（3）把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有(　　)A．24种 B．4种 C．种 D．种【解析】第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法．只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有种投法．故选C例1（4）如果一个三位正整数如“”满足且，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为________．【解析】若，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有 (个)．若，满足条件的“凸数”有 (个)，…，若，满足条件的“凸数”有 (个)．所以所有凸数有 (个)．【答案】240重点2 排列与排列数及其简单应用例2（1）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）A. 36种 B. 42种 C. 48种 D. 54种【解析】分两类考虑：一类为甲排在第一位共有种，一类为甲排在第二位共有种，所以编排方案共有种，故选B.例2（2）《中国诗词大会》(第三季)亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有________种．(用数字作答)【解析】分两步完成：①《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》进行全排有种，若《蜀道难》排在《游子吟》的前面，则有种；②《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》插入已经排列好的四首诗词形成的前4个空位(不含最后一个空位)中，插入法有种．由分步乘法计数原理，知满足条件的排法有 (种)．【答案】144例2（3）六人围坐在一张圆桌周围开会，是会议的中心发言人，必须坐在最北面的椅子上，二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有(　　)A．60种 B．48种 C．30种 D．24种【解析】由题知，不同的座次有种．故选B　例2（4）用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．【解析】(捆绑法)首先排两个奇数1,3有种排法，再在2,4中取一个数放在1,3排列之间，有种方法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有种排法，所以满足条件的四位数的个数为. 【答案】8重点3 组合与组合数及其简单应用例3（1）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 (　　)A．12种 B．10种 C．9种 D．8种【解析】第一步，为甲地选一名老师和两个学生，有种选法；第二步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有种，故选A例3（2）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种．(用数字填写答案)【解析】方法一：（直接法）1女2男，有，2女1男，有根据分类加法计数原理可得，共有种，方法二：（间接法）去掉没有女生的情况，有种．【答案】16例3（3）某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为(　　)A．360 B．520 C．600 D．720【解析】根据题意，分2种情况讨论：若只有甲、乙其中一人参加，有种情况；若甲、乙两人都参加，有种情况，其中甲、乙相邻的有种情况．则不同的发言顺序的种数为. 故选C　例3（4）四面体的一个顶点为，从其他顶点与各棱的中点中取3个点，使它们和点在同一平面上，不同的取法有(　　)A．30种 B．33种 C．36种 D．39种【解析】分两种情况：顶点与各棱的中点共面的有3个侧面，每个侧面中有5个点，有种，3个侧面有种；3个点不在同一个表面的有3个，共有种取法．故选B　重点4 二项式定理及其简单应用例4（1） 的展开式中的系数为(　　)A．10 B．20 C．40 D．80【解析】展开式的通项公式为，令，解得，故含的系数为，故选C．例4（2）的展开式中常数项是__________(用数字作答)．【解析】 展开式的通项为令，解得所以所求的展开式中常数项是．【答案】．例4（3）的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则__________．【解析】由已知得，所以的展开式中的奇数次幂项分别为，其系数之和为，解得．【答案】3例4（4）设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则(　　)A．5 B．6 QUOTE  C．7 D．8【解析】由二项式系数的性质可知，，，所以，即，解得，故选B．二、拓展思维，熟知方法1. 国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生（以下简称免费师范生），毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费师范生毕业要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．【解析】先把6个免费师范生平均分成3组，有种方法，再将3组免费师范生分到3所学校，有种方法，所以6个免费师范生平均分到3所学校，共有种分派方法．【答案】902. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　)A．60种 B．120种 C．240种 D．480种【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有种，根据分步乘法计数原理，共有种不同的分配方案，故选C．3.满足，且关于x的方程有实数解的有序数对的个数为(　　)A．14 B．13 C．12 D．10【解析】当时，关于的方程为，此时有序数对均满足要求；当时，，即，此时满足要求的有序数对为 ．综上，满足要求的有序数对共有13个．故选B.4. 从集合中任选两个元素作为椭圆方程中的和，则能组成落在矩形区域且内的椭圆个数为（ ）A．43 B．72 C．86 D．90【解析】方法一：当时，对应于7个不同的椭圆，当时，对应于7个不同的椭圆，同理，时，均可对应于7个不同的椭圆，当时，对应于8个不同的椭圆，当时，对应于8个不同的椭圆，综上，共有 （个） 故选B方法二：依题意， 当取值8种时，在中取与不同的值有9种 所以共有 种，故选B三、感悟问题，提升能力1. 如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4的情形．当有三个1时，“好数”有2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，有9种，当有三个2,3,4时，“好数”有2221,3331,4441，有3种，根据分类加法计数原理可知，共有种结果．【答案】122. 有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为(　 )A．150 B．180 C．200 D．280【解析】分两类：一类，3个班分派的毕业生人数分别为2,2,1，则有种分派方法；另一类，3个班分派的毕业生人数分别为1,1,3，则有种分派方法．所以不同分派方法种数为种．故选A　3. 从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有________种．【解析】分两类：第一类，取2台原装计算机与3台组装计算机，有种方法；第二类，取3台原装计算机与2台组装计算机，有种方法．所以满足条件的不同取法有 (种)．【答案】3504. 某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有(　　)A．36种 B．24种 C．22种 D．20种【解析】分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有种；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有种，所以共有 种推荐方法．故选B5. 某校毕业典礼上有6个节目，为考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有(　　)A．120种 B．156种 C．188种 D．240种【解析】记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类：①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有种；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有种；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有种．所以编排方案共有种．故选A　6. 已知的展开式中的系数为5，则等于 (　　)A． B． C． D．【解析】由已知，中含的项为，所以，解得，故选D7. 的展开式中的系数为 (　　)A．5 B．10 C．15 D．20【解析】由已知，所以含的项为，所求系数为，故选C