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人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布本章综合与测试同步测试题
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布本章综合与测试同步测试题，共12页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，随机变量X的分布列如表，则，若，则，已知随机变量的分布列如下等内容，欢迎下载使用。
达标检测卷
随机变量及其分布（A）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知盒中装有大小形状完全相同的个红球、个白球、个黑球．甲每次从中任取一球且不放回，则在他第一次拿到的是白球的前提下，第二次拿到黑球的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．设随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．某学习小组有三名男生、三名女生共计六名同学，选出四人进行学业水平测试，这四人中所含女生人数记为，则的数学期望为（ ）
A．B．C．D．
4．设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：服从正态分布，则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在内的个数约为（ ）
附：若，则，．
A．B．C．D．
5．气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．甲进行3次投篮训练，甲每次投中目标的概率为，则甲恰投中目标2次的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．随机变量X的分布列如表，则（ ）
A．B．C．D．
8．设随机变量服从正态分布，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的
选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，
有选错的得0分．
9．若，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知随机变量的分布列如下：
其中、，若，则（ ）
A．B．
C．D．
11．若随机变量且，则（ ）
A．B．
C．D．
12．如城镇小汽车的普及率为，即平均每个家庭有个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出个家庭，则下列结论成立的是（ ）
A．这个家庭均有小汽车的概率为
B．这个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为
C．这个家庭平均有个家庭拥有小汽车
D．这个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．袋中装有完全相同的个小球，其中有红色小球个，黄色小球个，如果不放回地依次摸出个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是______．
14．若随机变量的分布列如下表，且，则表中的值为_______．
15．投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为，那么针尖向下的概率为．若连续掷一枚图钉次，则至少出现次针尖向上的概率为_________．
16．已知随机变量的所有可能取值为、，其中
，则________；当取最小值时，________．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）甲、乙二人进行一场比赛，该比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利者获得该场比赛胜利．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率都为．
在①，②，③中任选一个，若 时，比赛结束时，设甲获胜局数为，求其分布列和期望．
18．（12分）甲、乙两位同学各有张卡片，现以投掷一枚骰子的形式进行游戏，当掷出奇数点时．甲赢得乙卡片一张，当掷出偶数点时，乙赢得甲卡片一张．规定投掷的次数达到次，或在此之前某人赢得对方所有卡片时，游戏终止．
（1）设表示游戏终止时投掷的次数，求的分布列及期望；
（2）求在投掷次游戏才结束的条件下，甲、乙没有分出胜负的概率．
19．（12分）年月日，中华苏维埃共和国临时中央政府根据中央革命军事委员会月日的建议，决定月日为中国工农红军成立纪念日，中华人民共和国成立后，将此纪念日改称为中国人民解放军建军节．为庆祝建军节，某校举行“强国强军”知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在，两名学生中间产生，该班委设计了一个测试方案：，两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答．已知这个问题中，学生能正确回答其中的个问题，而学生能正确回答每个问题的概率均为，，两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的．
（1）求恰好答对两个问题的概率；
（2）求恰好答对两个问题的概率；
（3）设答对题数为，答对题数为，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由．
20．（12分）某车站每天上午发出两班客车，每班客车发车时刻和发车概率如下：
第一班车：在，，发车的概率分别为，，；
第二班车：在，，发车的概率分别为，，，
两班车发车时刻是相互独立的，一位旅客到达车站乘车．
求：（1）该旅客乘第一班车的概率；
（2）该旅客候车时间（单位：分钟）的分布列；
（3）该旅客候车时间的数学期望．
21．（12分）一批用于手电筒的电池，每节电池的寿命服从正态分布（寿命单位：小时）．考虑到生产成本，电池使用寿命在内是合格产品．
（1）求一节电池是合格产品的概率（结果四舍五入，保留一位小数）；
（2）根据（1）中的数据结果，若质检部门检查节电池，记抽查电池合格的数量为，求随机变量的分布列、数学期望及方差．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
22．（12分）某大型超市抽查了100天该超市的日纯利润数据，并将日纯利润数据分成以下几组（单位：万元）：，，，，，，统计结果如下表所示：
以上述样本分布的频率估计总体分布的概率，解决下列问题：
（1）从该大型超市近几年的销售记录中抽出5天，求其中日纯利润在区间内的天数不少于2的概率；
（2）该超市经理由频数分布表可以认为，该大型超市每天的纯利润服从正态分布，其中，近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值）．
①试利用该正态分布，估计该大型超市1000天内日纯利润在区间内的天数（精确到个位）；
②该大型超市负责人根据每日的纯利润给超市员工制定了两种不同的奖励方案：
方案一：直接发放奖金，日纯利润低于时每名员工发放奖金70元，日纯利润不低于时每名员工发放奖金90元；
方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中日纯利润不低于时每位员工均有两次抽奖机会，日纯利润低于时每位员工只有一次抽奖机会；每次抽奖的奖金及对应的概率分别为
小张恰好为该大型超市的一名员工，则从数学期望的角度看，小张选择哪种奖励方案更有利？
参考数据：若，则，．
X
0
1
P
组别
频数
金额
50元
100元
概率
2020-2021学年选择性必修第三册第七单元
达标检测卷
随机变量及其分布（A）答 案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】设第1次拿到白球为事件，第2次拿到黑球为事件，
则，，则，
故选C．
2．【答案】C
【解析】随机变量服从两点分布，，
根据两点分布概率性质可知：，
解得，
故选C．
3．【答案】C
【解析】由题意可知，随机变量的可能取值有、、，
，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
因此，随机变量的数学期望为，故选C．
4．【答案】B
【解析】由题意，，，
则
．
故直径在内的个数约为，故选B．
5．【答案】B
【解析】设某地区每年七月份刮台风为事件A，设某地区每年七月份下大雨为事件B，则该地区七月份既刮台风又下大雨为事件AB，
由题得，，
所以，所以，
故选B．
6．【答案】A
【解析】甲恰投中目标2次的概率为，故选A．
7．【答案】B
【解析】由题意，根据随机变量期望的计算公式，可得，
所以方差为，
故选B．
8．【答案】C
【解析】随机变量服从正态分布，
由正态分布定义可知它的图像是关于对称，
因为，所以，所以，
故选C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．【答案】CD
【解析】因为，，所以，，
，
，
故选CD．
10．【答案】AB
【解析】由分布列知，则，，，，
所以，，，．
因为，所以，，
所以，
故选AB．
11．【答案】AD
【解析】随机变量服从正态分布，该正态曲线的对称轴是，
，，，，，
故选AD．
12．【答案】ACD
【解析】由题得小汽车的普及率为，
A．这个家庭均有小汽车的概率为，所以该命题是真命题；
B．这个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为，
所以该命题是假命题；
C．这个家庭平均有个家庭拥有小汽车，是真命题；
D．这个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为，所以该命题是真命题，
故选ACD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】记事件第一次摸出红球，事件第二次摸出红球，
则，，因此，，
故答案为．
14．【答案】
【解析】由于概率之和为，则，
，解得，
故答案为．
15．【答案】
【解析】投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为，针尖向下的概率为，
∴连续掷一枚图钉次，
出现次针尖向上的概率为，
出现次针尖向上的概率为，
故至少出现次针尖向上的概率，
故答案为．
16．【答案】，
【解析】由分布列的性质得，即，
所以，
，
当且仅当时等号成立，此时，
故答案为；．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】见解析．
【解析】选①时，由题意可知，随机变量的可能取值为、、，
则，，．
随机变量的分布列如下：
则．
选②时，由题意可知，随机变量的可能取值为、、，
则，，．
随机变量的分布列如下：
则．
选③时，由题意可知，随机变量的可能取值为、、，
则，，．
随机变量的分布列如下：
则．
18．【答案】（1）分布列见解析，；（2）．
【解析】（1）可能取值为、、，
，，．
随机变量的分布列如下表所示：
所以，随机变量的数学期望为．
（2）令投次没分出胜负的事件为，投掷次游戏才结束为事件，投次能分出胜负的事件为，
则，，
，．
19．【答案】（1）；（2）；（3）选择投票给学生，详见解析．
【解析】（1），两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答．
这6个问题中，学生能正确回答其中的4个问题，而学生能正确回答每个问题的概率均为，
，两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的．
恰好答对两个问题的概率为．
（2）恰好答对两个问题的概率为．
（3）所有可能的取值为1，2，3，
；；，
所以．
由题意，随机变量，所以，
，
，
因为，，
可见，与的平均水平相当，但比的成绩更稳定．
所以选择投票给学生．
20．【答案】（1）；（2）分布列见解析；（3）分钟．
【解析】（1）该旅客可能乘的车，也可能乘的车，这两个时间乘车互斥，概率为．
（2）该旅客候车时间设为，由题意的可能值依次为（单位：分钟）：，
，，
在第一班车已经发出的情况下，他只能乘第二班车，
，，．
分布列为：
（3）由（2）得该旅客候车时间的期望值为：
，
∴旅客候车时间的数学期望分钟．
21．【答案】（1）；（2）分布列见解析，，．
【解析】（1）一节电池是合格产品的概率为
．
（2）变量的值可能为0，1，2，3，4，变量服从二项分布，
所以，，
，，
．
则随机变量的分布列为：
则随机变量的数学期望为，
方差为．
22．【答案】（1）；（2）①约为819天；②奖励方案二，详见解析．
【解析】（1）由频数分布表可知，日纯利润在区间内的频率为，
记其中日纯利润不低于5万元且低于7万元的天数为，则，
所求的概率．
（2）①，．
又，
．
故该大型超市1000天内日纯利润在区间的天数为天．
②易知．
对于奖励方案一：设小张每日奖金金额为，则的可能取值为70，90，其对应的概率均为，故．
对于奖励方案二：设小张每日奖金金额为，则的所有可能取值为50，100，150，200．
；；
；，
的分布列为
．
，
从数学期望的角度看，小张选择奖励方案二更有利．
10
30
50
70
90
0
1
2
3
4
50
100
150
200
达标检测卷
随机变量及其分布（A）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知盒中装有大小形状完全相同的个红球、个白球、个黑球．甲每次从中任取一球且不放回，则在他第一次拿到的是白球的前提下，第二次拿到黑球的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．设随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．某学习小组有三名男生、三名女生共计六名同学，选出四人进行学业水平测试，这四人中所含女生人数记为，则的数学期望为（ ）
A．B．C．D．
4．设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：服从正态分布，则在随机抽取的1000个胡柚中，直径在内的个数约为（ ）
附：若，则，．
A．B．C．D．
5．气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．甲进行3次投篮训练，甲每次投中目标的概率为，则甲恰投中目标2次的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．随机变量X的分布列如表，则（ ）
A．B．C．D．
8．设随机变量服从正态分布，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的
选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，
有选错的得0分．
9．若，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知随机变量的分布列如下：
其中、，若，则（ ）
A．B．
C．D．
11．若随机变量且，则（ ）
A．B．
C．D．
12．如城镇小汽车的普及率为，即平均每个家庭有个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出个家庭，则下列结论成立的是（ ）
A．这个家庭均有小汽车的概率为
B．这个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为
C．这个家庭平均有个家庭拥有小汽车
D．这个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．袋中装有完全相同的个小球，其中有红色小球个，黄色小球个，如果不放回地依次摸出个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是______．
14．若随机变量的分布列如下表，且，则表中的值为_______．
15．投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为，那么针尖向下的概率为．若连续掷一枚图钉次，则至少出现次针尖向上的概率为_________．
16．已知随机变量的所有可能取值为、，其中
，则________；当取最小值时，________．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）甲、乙二人进行一场比赛，该比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利者获得该场比赛胜利．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率都为．
在①，②，③中任选一个，若 时，比赛结束时，设甲获胜局数为，求其分布列和期望．
18．（12分）甲、乙两位同学各有张卡片，现以投掷一枚骰子的形式进行游戏，当掷出奇数点时．甲赢得乙卡片一张，当掷出偶数点时，乙赢得甲卡片一张．规定投掷的次数达到次，或在此之前某人赢得对方所有卡片时，游戏终止．
（1）设表示游戏终止时投掷的次数，求的分布列及期望；
（2）求在投掷次游戏才结束的条件下，甲、乙没有分出胜负的概率．
19．（12分）年月日，中华苏维埃共和国临时中央政府根据中央革命军事委员会月日的建议，决定月日为中国工农红军成立纪念日，中华人民共和国成立后，将此纪念日改称为中国人民解放军建军节．为庆祝建军节，某校举行“强国强军”知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在，两名学生中间产生，该班委设计了一个测试方案：，两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答．已知这个问题中，学生能正确回答其中的个问题，而学生能正确回答每个问题的概率均为，，两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的．
（1）求恰好答对两个问题的概率；
（2）求恰好答对两个问题的概率；
（3）设答对题数为，答对题数为，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由．
20．（12分）某车站每天上午发出两班客车，每班客车发车时刻和发车概率如下：
第一班车：在，，发车的概率分别为，，；
第二班车：在，，发车的概率分别为，，，
两班车发车时刻是相互独立的，一位旅客到达车站乘车．
求：（1）该旅客乘第一班车的概率；
（2）该旅客候车时间（单位：分钟）的分布列；
（3）该旅客候车时间的数学期望．
21．（12分）一批用于手电筒的电池，每节电池的寿命服从正态分布（寿命单位：小时）．考虑到生产成本，电池使用寿命在内是合格产品．
（1）求一节电池是合格产品的概率（结果四舍五入，保留一位小数）；
（2）根据（1）中的数据结果，若质检部门检查节电池，记抽查电池合格的数量为，求随机变量的分布列、数学期望及方差．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
22．（12分）某大型超市抽查了100天该超市的日纯利润数据，并将日纯利润数据分成以下几组（单位：万元）：，，，，，，统计结果如下表所示：
以上述样本分布的频率估计总体分布的概率，解决下列问题：
（1）从该大型超市近几年的销售记录中抽出5天，求其中日纯利润在区间内的天数不少于2的概率；
（2）该超市经理由频数分布表可以认为，该大型超市每天的纯利润服从正态分布，其中，近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值）．
①试利用该正态分布，估计该大型超市1000天内日纯利润在区间内的天数（精确到个位）；
②该大型超市负责人根据每日的纯利润给超市员工制定了两种不同的奖励方案：
方案一：直接发放奖金，日纯利润低于时每名员工发放奖金70元，日纯利润不低于时每名员工发放奖金90元；
方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中日纯利润不低于时每位员工均有两次抽奖机会，日纯利润低于时每位员工只有一次抽奖机会；每次抽奖的奖金及对应的概率分别为
小张恰好为该大型超市的一名员工，则从数学期望的角度看，小张选择哪种奖励方案更有利？
参考数据：若，则，．
X
0
1
P
组别
频数
金额
50元
100元
概率
2020-2021学年选择性必修第三册第七单元
达标检测卷
随机变量及其分布（A）答 案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】设第1次拿到白球为事件，第2次拿到黑球为事件，
则，，则，
故选C．
2．【答案】C
【解析】随机变量服从两点分布，，
根据两点分布概率性质可知：，
解得，
故选C．
3．【答案】C
【解析】由题意可知，随机变量的可能取值有、、，
，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
因此，随机变量的数学期望为，故选C．
4．【答案】B
【解析】由题意，，，
则
．
故直径在内的个数约为，故选B．
5．【答案】B
【解析】设某地区每年七月份刮台风为事件A，设某地区每年七月份下大雨为事件B，则该地区七月份既刮台风又下大雨为事件AB，
由题得，，
所以，所以，
故选B．
6．【答案】A
【解析】甲恰投中目标2次的概率为，故选A．
7．【答案】B
【解析】由题意，根据随机变量期望的计算公式，可得，
所以方差为，
故选B．
8．【答案】C
【解析】随机变量服从正态分布，
由正态分布定义可知它的图像是关于对称，
因为，所以，所以，
故选C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．【答案】CD
【解析】因为，，所以，，
，
，
故选CD．
10．【答案】AB
【解析】由分布列知，则，，，，
所以，，，．
因为，所以，，
所以，
故选AB．
11．【答案】AD
【解析】随机变量服从正态分布，该正态曲线的对称轴是，
，，，，，
故选AD．
12．【答案】ACD
【解析】由题得小汽车的普及率为，
A．这个家庭均有小汽车的概率为，所以该命题是真命题；
B．这个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为，
所以该命题是假命题；
C．这个家庭平均有个家庭拥有小汽车，是真命题；
D．这个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为，所以该命题是真命题，
故选ACD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】记事件第一次摸出红球，事件第二次摸出红球，
则，，因此，，
故答案为．
14．【答案】
【解析】由于概率之和为，则，
，解得，
故答案为．
15．【答案】
【解析】投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为，针尖向下的概率为，
∴连续掷一枚图钉次，
出现次针尖向上的概率为，
出现次针尖向上的概率为，
故至少出现次针尖向上的概率，
故答案为．
16．【答案】，
【解析】由分布列的性质得，即，
所以，
，
当且仅当时等号成立，此时，
故答案为；．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】见解析．
【解析】选①时，由题意可知，随机变量的可能取值为、、，
则，，．
随机变量的分布列如下：
则．
选②时，由题意可知，随机变量的可能取值为、、，
则，，．
随机变量的分布列如下：
则．
选③时，由题意可知，随机变量的可能取值为、、，
则，，．
随机变量的分布列如下：
则．
18．【答案】（1）分布列见解析，；（2）．
【解析】（1）可能取值为、、，
，，．
随机变量的分布列如下表所示：
所以，随机变量的数学期望为．
（2）令投次没分出胜负的事件为，投掷次游戏才结束为事件，投次能分出胜负的事件为，
则，，
，．
19．【答案】（1）；（2）；（3）选择投票给学生，详见解析．
【解析】（1），两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答．
这6个问题中，学生能正确回答其中的4个问题，而学生能正确回答每个问题的概率均为，
，两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的．
恰好答对两个问题的概率为．
（2）恰好答对两个问题的概率为．
（3）所有可能的取值为1，2，3，
；；，
所以．
由题意，随机变量，所以，
，
，
因为，，
可见，与的平均水平相当，但比的成绩更稳定．
所以选择投票给学生．
20．【答案】（1）；（2）分布列见解析；（3）分钟．
【解析】（1）该旅客可能乘的车，也可能乘的车，这两个时间乘车互斥，概率为．
（2）该旅客候车时间设为，由题意的可能值依次为（单位：分钟）：，
，，
在第一班车已经发出的情况下，他只能乘第二班车，
，，．
分布列为：
（3）由（2）得该旅客候车时间的期望值为：
，
∴旅客候车时间的数学期望分钟．
21．【答案】（1）；（2）分布列见解析，，．
【解析】（1）一节电池是合格产品的概率为
．
（2）变量的值可能为0，1，2，3，4，变量服从二项分布，
所以，，
，，
．
则随机变量的分布列为：
则随机变量的数学期望为，
方差为．
22．【答案】（1）；（2）①约为819天；②奖励方案二，详见解析．
【解析】（1）由频数分布表可知，日纯利润在区间内的频率为，
记其中日纯利润不低于5万元且低于7万元的天数为，则，
所求的概率．
（2）①，．
又，
．
故该大型超市1000天内日纯利润在区间的天数为天．
②易知．
对于奖励方案一：设小张每日奖金金额为，则的可能取值为70，90，其对应的概率均为，故．
对于奖励方案二：设小张每日奖金金额为，则的所有可能取值为50，100，150，200．
；；
；，
的分布列为
．
，
从数学期望的角度看，小张选择奖励方案二更有利．
10
30
50
70
90
0
1
2
3
4
50
100
150
200
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