第6章《计数原理》复习课件+分层练习（含答案解析）-人教版高中数学选修三

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第6章《计数原理》复习人教版高中数学选修三核心导图1．两个计数原理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，尤其是分类加法计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效地将之分解，达到求解的目的．正确地分类与分步是用好两个原理的关键，即完成一件事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这是选用计数原理的关键．核心考点2．排列与组合 排列数与组合数的计算公式主要应用于求值和证明恒等式，其中求值问题应用连乘的形式，证明恒等式应用阶乘的形式．在证明恒等式时，要注意观察恒等式左右两边的形式，基本遵循由繁到简的原则，有时也会从两边向中间靠拢． 对于应用题，则首先要分清是否有序，即是排列问题还是组合问题．专题一　两个计数原理  解析:以m的值为标准分类,分五类:第1类,当m=1时,使n>m,n有6种选择;第2类,当m=2时,使n>m,n有5种选择;第3类,当m=3时,使n>m,n有4种选择;第4类,当m=4时,使n>m,n有3种选择;第5类,当m=5时,使n>m,n有2种选择.所以一共可以表示6+5+4+3+2=20(个)焦点在y轴上的椭圆.答案:20方法技巧 使用两个原理解决问题时应注意的问题对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图或列出表格,使问题更加直观、清晰.专题二　排列、组合的应用 例2在高三一班元旦晚会上,有6个演唱节目,4个舞蹈节目.(1)当4个舞蹈节目要排在一起时,有多少种不同的节目安排顺序?(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,有多少种不同的节目安排顺序?(3)若已定好节目单,后来情况有变,需加上诗朗诵和快板2个节目,但不能改变原来节目的相对顺序,有多少种不同的节目演出顺序?方法技巧 1.解决排列组合应用题的一般步骤(1)认真审题,弄清楚是排列(有序)还是组合(无序),还是排列与组合混合问题.(2)抓住问题的本质特征,准确合理地利用两个基本原理进行“分类与分步”.2.处理排列组合应用题的规律(1)两种思路:直接法,间接法.(2)两种途径:元素分析法,位置分析法.3.排列组合应用题的常见类型及解法(1)特殊元素、特殊位置优先安排的策略.(2)合理分类与准确分步的策略.(3)正难则反,等价转化的策略.(4)相邻问题捆绑法,不相邻问题插空法的策略.(5)元素定序,先排后除的策略.(6)排列、组合混合题先选后排策略.(7)复杂问题构造模型策略.专题三　二项式定理的应用 例3(1)已知(1+ax2)6(a是正整数)的展开式中x8的系数小于120,则a=　　　　. ①求n;②求展开式中二项式系数最大的项;③求展开式中所有的有理项.∴15a4<120,也即a4<8,又a是正整数.故a只能取1. 答案:(1)1 方法技巧 应用二项式定理解题要注意的问题(1)通项表示的是第“k+1”项,而不是第“k”项.(2)展开式中第k+1项的二项式系数 与第k+1项的系数,在一般情况下是不相同的,在具体求各项的系数时,一般先处理符号,对根式和指数的运算要细心,以防出差错.(3)通项表示二项展开式中的任意项,只要n与k确定,该项也随之确定.对于一个具体的二项式,它的展开式中的项Tk+1依赖于k.专题四　二项式定理中的“赋值”问题  (1)a0;(2)a1+a2+a3+a4+…+a100;(3)a1+a3+a5+…+a99;(4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2;(5)|a0|+|a1|+…+|a100|.方法技巧 赋值法的应用与二项式系数有关的问题,包括求二项展开式中二项式系数最大的项、各二项式系数或各项的系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和,主要解决方法是赋值法,通过观察二项展开式右边的结构特点和所求式子的关系,确定给字母所赋的值,有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项,此时要专门求出这一项,而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时,往往要两次赋值,再由方程组求出结果.专题五　分类讨论思想 当计数问题过于复杂或限制条件较多时，一般采取分类讨论的方法解决，即对计数问题中的各种情况进行分类，然后针对每一类分别研究和求解．分类的原则是不重复、不遗漏．【例5】　(1)从编号为1，2，3，…，10，11的11个球中，取出5个球，使这5个球的编号之和为奇数，其取法总数为(　　) A．236 B．328 C．462 D．2 640(2)将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个球，若甲球必须放入第1个盒子中，则不同的方法种数是(　　)A．120 B．72 C．60 D．36(2)共有4个盒子5个球，所以必有1个盒子中放入2个球，且甲必须在第1个盒子中，所以应以第1个盒子中的球的个数进行分类．答案　(1)A　(2)C专题六 正难则反思想 正难则反即是一种手段，又是一种策略．有许多计数问题，应用正难则反思想求解，常能事半功倍．在解题时，当正向思维受阻时，不妨改变思维方向，从结论或条件的反面进行思考，从而使问题得到解决．【例6】　现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，不同的取法种数为(　　) A．484 B．472 C．252 D．232解析　设(x，y，z)表示取x张红色卡片、y张黄色卡片、z张蓝色卡片．若从正面考虑，需考虑当不取绿色卡片时，有(2，1，0)，(2，0，1)，(1，2，0)，(0，2，1)，(1，0，2)，(0，1，2)，(1，1，1)共7类；当取1张绿色卡片时，有(2，0，0)，(0，2，0)，(0，0，2)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，共6类，分类较多，而其对立面为3张卡片同一颜色或2张绿色卡片，第三张从非绿色卡片中任取，其包含的情况较少，因此用正难则反思想求解．1．(2021·杭州市高三质检)已知(x2＋1)(2x－1)7＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9(x∈R)，则a1＝(　　)A．－30 B．30C．－40 D．40√巩固提升2．从5名学生中选出4名分别参加A，B，C，D四科竞赛，其中甲不能参加C，D两科竞赛，则不同的参赛方案种数为________．课程结束人教版高中数学选修三