高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理导学案，共5页。学案主要包含了学习目标，学习重点和难点，自主学习，典型例题，合作探究，巩固提高，归纳小结等内容，欢迎下载使用。

一、学习目标


正确理解和掌握分类计数原理和分步计数原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．


二、学习重点和难点


重点：分类计数原理和分步计数原理．


难点：分类计数原理和分步计数原理的准确应用．


三、自主学习


1、分类计数原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有 种不同的方法．


2、分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有 种不同的方法．


四、典型例题


例题1：书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．


(1)若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？


(2)若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？




















例2由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数(各位上的数字允许重复)？


























(五)课堂练习


1．一个口袋内装满5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个口袋内任取一个小球，共有 种不同的取法


2．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有 个？


3．某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿，则该生填写志愿的方式有 种数．


4．从3个元素的集合到4个元素的集合的映射有 个。


六、合作探究


1、有91个乒乓球运动员进行冠军赛，采取每输一场即淘汰出局的淘汰制，问决出冠军1人，需要比赛多少场?（ ）


A、88 B、89 C、90 D、91


2、用1，5，9，13种任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构造多少个不同的真分数

















七、巩固提高


1、从甲地到乙地有3趟火车，从乙地到丙地有2班轮船，另外，从甲地直接到丙地有1趟飞机，则从甲地到丙地可选择的旅行方式的种类是（ ）


A、6 B、7 C、8 D、9


2、某校数学课外活动小组有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人.


(1)选其中1人为总负责人，有多少种不同的选法?


(2)每一年级各选1名组长，有多少种不同的选法?


（选题意图：本例旨在让学生理解两个基本原理.）























2、求证：（a1＋a2＋…＋am）·（b1＋b2＋…＋bn）·（c1＋c2＋…＋ck）展开式的项数是m·n·k（m，n，k∈N）．


























八、归纳小结


1、什么时候用分类计数原理、什么时候用分步计数原理呢？


2、应用两个基本原理时需要注意什么呢？








答案


三、自主学习 1、N=m1＋m2＋…＋mn


2、N＝m1×m2×…×mn


四、典型例题


例题1：书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．


(1)若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？


(2)若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？


师：(1)从书架上任取一本书，可以有3类办法：第一类办法是从3本不同数学书中任取1本，有3种方法；第二类办法是从5本不同的语文书中任取1本，有5种方法；第三类办法是从6本不同的英语书中任取一本，有6种方法．根据分类计数原理，得到的取法种数是N=m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．故从书架上任取一本书的不同取法有14种．


师：(2)从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成三个步骤完成，第一步取1本数学书，有3种方法；第二步取1本语文书，有5种方法；第三步取1本英语书，有6种方法．根据分步计数原理，得到不同的取法种数是N＝m1×m2×m3＝3×5×6＝90．故，从书架上取数学书、语文书、英语书各1本，有90种不同的方法．


例2由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数(各位上的数字允许重复)？解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数字，有4种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选法；第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据分步计数原理，得到可以组成的三位整数的个数是N=4×5×5=100．


答：可以组成100个三位整数．


(五)课堂练习


1．一个口袋内装满5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个口袋内任取一个小球，共有 种不同的取法（5＋4=9）


2．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有 个？


(提示：按十位上数字的大小可以分为9类，共有9＋8＋7＋…＋2＋1=45个个位数字小于十位数字的两位数)


3．某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿，则该生填写志愿的方式有 种数．


(提示：需要按三个志愿分成三步．共有m(m－1)(m－2)种填写方式)


4．从3个元素的集合到4个元素的集合的映射有 个。（4×4×4=64）


六、合作探究


1、1. 解：依比赛规则第一轮比赛45(场)还有一人轮空而直接进入第二轮比赛，所以第二轮比赛23(场)……所以共进行：45+23+11+6+3+1+1=90(场)，选C


2、用1，5，9，13种任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构造多少个不同的真分数答案：N=4＋3＋2＋1=10


七、巩固提高


1、分两类：1）经乙地到达丙地有3×2=6种，2）不经乙地直达丙地只有一种方法，总计6+1=7种，故选B


2、［例1］某校数学课外活动小组有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人.


(1)选其中1人为总负责人，有多少种不同的选法?


(2)每一年级各选1名组长，有多少种不同的选法?


选题意图：本例旨在让学生理解两个基本原理.


解：(1)若从高一学生中选，则有10种不同选法；若从高二学生中选，则有8种不同选法；若从高三学生中选，则有7种不同选法；所以由分类计数原理共有10+8+7=25种不同选法.


(2)三个年级分别有10种，8种，7种不同选法，由分步计数原理共有10×8×7＝５60种不同选法.


2、求证：（a1＋a2＋…＋am）·（b1＋b2＋…＋bn）·（c1＋c2＋…＋ck）展开式的项数是m·n·k（m，n，k∈N）．


答案：


展开式每一项由一个ai，一个bz，一个cp组成，选ai的方法有m种，选bz的方法有n种；选cp的方法有k种，故共有m·n·k种不同选项的方法，故项数为m·n·k．


八、归纳小结


1、什么时候用分类计数原理、什么时候用分步计数原理呢？


答：分类时用分类计数原理，分步时用分步计数原理．


2、应用两个基本原理时需要注意什么呢？


答：分类时要求各类办法彼此之间相互排斥；分步时要求各步是相互独立的