2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-等差数列、等比数列（Word版解析版）

这是一份2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-等差数列、等比数列（Word版解析版），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1.(2025·北京通州一模)已知等差数列an满足a5－2a3＝1，且a2＝0，则a2 025＝( )
A.2 026B.2 025
C.2 024D.2 023
解析：选D.设公差为d，由a5－2a3＝1，a2＝0，得a1+4d－2a1+2d=1，a1＋d=0，
解得a1＝－1，d=1，所以an＝n－2，所以a2 025＝2 023.
2.(2025·黑龙江大庆三模)在等差数列an中，若a6＋a8＋a10＝36，则S15＝( )
A.270B.225
C.180D.135
解析：选C.因为数列an是等差数列，所以a6＋a8＋a10＝3a8＝36，a8＝12，则S15＝15a1+a152＝15a8＝180.
3.(2025·安徽安庆二模)已知等比数列an的前n项和为Sn，若a2a5＝2a4，且a3与2a6的等差中项为54，则S4＝( )
A.33B.31
C.17D.15
解析：选D.因为等比数列an的前n项和为Sn，设其公比为qq≠0，
由已知a2a5＝a3a4，故a3a4＝2a4，所以a3＝2，a3＋2a6＝2×54，则a6＝14，
故q＝3a6a3＝12，所以a1＝a3q2＝8，故S4＝a11−q41−q＝81−1241−12＝15.
4.(2025·山东菏泽二模)已知Sn为等比数列an前n项和，若a4＝4a3－4a2，则S4a1+a2＝( )
A.5B.3
C.－3D.－5
解析：选A.由等比数列公式可得a1q3＝4a1q2－4a1q⇒q2＝4q－4⇒q＝2，所以S4a1+a2＝a11−241−2a1+2a1＝153＝5.
5.(2025·吉林长春二模)已知等差数列an的前n项和为Sn，若S3＝S9＝6，则S12的值为( )
A.0B.3
C.6D.12
解析：选A.因为an是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，
又S3＝S9＝6，所以6，S6－6，6－S6，S12－6成等差数列，
则6＋S12－6＝S6－6＋6－S6，则S12＝0.
二、多选题
6.(2025·广东茂名二模)等差数列an中，a2＋a3＝－12，a5＋a7＝2.记数列an前n项和为Sn，下列选项正确的是( )
A.数列an的公差为2
B.Sn取最小值时，n＝6
C.S4＝S7
D.数列an的前10项和为50
解析：选AD.对A，设等差数列an的公差为d，则由题意知2a1+3d＝－12，2a1+10d=2，解得a1＝－9，d=2，故A正确；
对B，an＝－9＋2(n－1)＝2n－11，Sn＝－9n＋n(n−1)2×2＝n2－10n＝n－52－25，则当n＝5时，Sn取最小值－25，故B错误；
对C，S4＝42－10×4＝－24，S7＝72－10×7＝－21，则S4≠S7，故C错误；
对D，数列an的前10项和为－9＋－7＋－5＋－3＋－1＋1＋3＋5＋7＋9＝50，故D正确.
7.(2025·辽宁沈阳二模)已知数列an满足an＋1＋an＝fn，则下列说法中正确的是( )
A.若a1＝2，fn＝2n，则an是等差数列
B.若a1＝1，fn＝2n＋1，则an是等差数列
C.若a1＝2，fn＝4，则an是等比数列
D.若a1＝1，fn＝3×2n－1，则an是等比数列
解析：选BCD.对于A，当an+1＋an＝fn＝2n时，若a1＝2，则a2＝0，a3＝4，a4＝2，a5＝6，…，所以数列an不是等差数列，故A错误；
对于B，当an+1＋an＝fn＝2n＋1时，an+1－n－1＝－an－n，因为a1－1＝0，所以an－n＝0，即an＝n，因为an+1－an＝n＋1－n＝1，所以数列an是等差数列，故B正确；
对于C，当an+1＋an＝fn＝4时，有an+1－2＝－an－2，因为a1－2＝0，所以an－2＝0，即an＝2，所以an是等比数列，故C正确；
对于D，当an+1＋an＝fn＝3×2n－1时，有an+1－2n＝－an－2n－1，因为a1－20＝0，所以an－2n－1＝0，即an＝2n－1，因为an+1an＝2n2n−1＝2，所以an是等比数列，故D正确.
三、填空题
8.(2025·河北秦皇岛二模)已知等比数列an的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则a1＝ .
解析：由题设a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6=126，a2＋a4＋a6=2(a1＋a3＋a5),
可得a1＋a3＋a5=42，a2＋a4＋a6=84，
若an的公比为q，则a2＋a4＋a6＝(a1＋a3＋a5)q⇒q＝2，
所以a1＋a3＋a5＝a1(1＋q2＋q4)＝21a1＝42，则a1＝2.
答案：2
9.(2025·山东青岛二模)记等差数列an的前n项和为Sn，且an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12，则Sn＝ .
解析：由an＝Sn－Sn－1代入已知可得Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0⇒1Sn−1－1Sn＋2＝0⇒1Sn－1Sn−1＝2，n≥2，
可得1Sn是公差为2的等差数列，因为a1＝12，所以1S1＝2，
即1Sn＝2＋(n－1)·2＝2n，所以Sn＝12n.
答案：12n
四、解答题
10.(2025·内蒙古赤峰一模)已知数列{an}中，an＋1＝2an－53n+1.
(1)若a1，a2，a3依次成等差数列，求a1；
(2)若a1＝43，证明数列an－13n为等比数列，并求数列an的前n项和Sn.
解：(1)a2＝2a1－59，a3＝2a2－527＝4a1－3527，又a1，a2，a3依次成等差数列，所以2a2＝a1＋a3，
即22a1－59＝a1＋4a1－3527，解得a1＝527.
(2)因为an+1－13n+1＝2an－53n+1－13n+1＝2an－63n+1＝2an－23n＝2an－13n，且a1－13＝1，
所以an－13n是首项为1，公比为2的等比数列，
可得an－13n＝2n－1，则an＝2n－1＋13n，
Sn＝20＋21＋22＋…＋2n－1＋(13＋132＋…＋13n)＝1−2n1−2＋13−13n+11−13＝2n－12×3n－12.
11.已知数列an的各项均为正数，a1＝3，且对任意的正整数n都有an+1an＝an+3an+1−3成立.
(1)证明：数列an是等差数列；
(2)设bn＝anan+t，是否存在正整数t，m，使得b1，b2，bmm＞2成等比数列？若存在，求出满足要求的t和m的所有值；若不存在，请说明理由.
解：(1)由an+1an＝an+3an+1−3，得an+12－an2＝3an+1＋an，
又数列an的各项均为正数，则an+1＋an≠0，所以an+1－an＝3，
又a1＝3，所以数列an是以3为首项，以3为公差的等差数列.
(2)由(1)得an＝3n，于是bn＝3n3n+t，
假设存在正整数t，m，使得b1，b2，bmm>2成等比数列，则b1bm＝b22，
即33+t×3m3m+t＝66+t2，即9m3+t3m+t＝36(6+t)2，整理得m＝4＋12t，
因为t，m均为正整数且m＞2，所以m＝4＋12t的正整数解为
t=1，m=16或t=2，m=10或t=3，m=8或t=4，m=7或t=6，m=6或t=12，m=5，
所以存在正整数t，m，使得b1，b2，bmm＞2成等比数列.
[创新题]
12.若三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列且满足1x1＋1x2＝2x3，则称x1，x2，x3成一个“β等差数列”.已知集合M＝{x｜｜x｜≤100，x∈Z}，则由M中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为( )
A.25B.50
C.75D.100
解析：选B.由三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列且满足1x1＋1x2＝2x3，
得2x2＝x1＋x3，1x1＋1x2＝2x3，消去x2，并整理得，(2x1＋x3)(x1－x3)＝0，
所以x1＝x3(舍去)，x3＝－2x1，则有x2＝－12x1，
在集合M＝xx≤100，x∈Z中，三个元素组成的所有数列必为整数列，
所以x1必为2的倍数，又－12x1＜x1＜－2x1，x1，x2，x3∈M，
所以－2x1≤100，则x1≤50，即x1∈[－50，50]，x1≠0，x1∈Z，
故这样的数组共50组.
13.斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列an满足a1＝a2＝1，an＝an-1＋an－2(n≥3，n∈N*).给出下列四个结论：
①存在m∈N*，使得am，am+1，am+2成等差数列；
②存在m∈N*，使得am，am+1，am+2成等比数列；
③存在常数t，使得对任意n∈N*，都有an，tan+2，an+4成等差数列；
④不存在正整数i1，i2，…，im，且i1＜i2＜…＜im，使得ai1＋ai2＋…＋aim＝2 023.
其中所有正确结论的序号是 .
解析：对于①，由题意得a2＝1，a3＝2，a4＝3，故a2，a3，a4成等差数列，故①正确；
对于②，由递推公式可知am，am＋1，am＋2中有两个奇数，1个偶数，不可能成等比数列，故②错误；
对于③，an+4＝an+3＋an+2＝2an+2＋an+1＝3an+2－an，
故当t＝32时，对任意n∈N*，an，32an+2，an+4成等差数列，故③正确；
对于④，依次写出数列中的项为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1 597，…，可得2 023＝1 597＋377＋34＋13＋2，故④不正确.
答案：①③