2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-数列的递推关系（Word版解析版）

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1.已知数列an满足a1＝0，a2＝1，若数列an+1－an是公比为3的等比数列，则a2 025＝( )
A.32 023+12B.32 024+12
C.32 023−12D.32 024−12
解析：选D.因数列an+1－an是公比为3的等比数列，且a1＝0，a2＝1，
则数列an+1－an的首项为a2－a1＝1，an＋1－an＝3n－1，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝30＋31＋32＋…＋3n－2＝1−3n−11−3＝12(3n－1－1)，故a2 025＝32 024−12.
2.已知数列an的项满足an＋1＝nn+2an，而a1＝1，则an＝( )
A.2n+12B.2nn+1
C.12n−1D.12n−1
解析：选B.因为an+1＝nn+2an，所以an+1an＝nn+2，
则a2a1＝13，a3a2＝24，a4a3＝35，a5a4＝46，…，anan−1＝n−1n+1，
累乘可得a2a1×a3a2×a4a3×a5a4×…×anan−1＝13×24×35×46×…×n−1n+1，
所以ana1＝1×2n×(n+1)，又a1＝1，所以an＝2n(n+1)，
经检验n＝1时，an＝2n(n+1)也成立，
所以an＝2n(n+1).
3.已知数列an中，a1＝1且an+1＝3anan+3n∈N*，则a13＝( )
A.18B.17
C.16D.15
解析：选D.由an+1＝3anan+3得1an+1＝an+33an＝1an＋13，
又1a1＝1，∴数列1an是以1为首项，13为公差的等差数列，
∴1an＝1＋13(n－1)＝n+23，∴an＝3n+2，n∈N*，
∴a13＝315＝15.
4.已知数列an满足a1＝4，且an+1＝2an－3，则a888＝( )
A.2887＋3B.2888＋1
C.2887－3D.2888－1
解析：选A.由an+1＝2an－3，得an+1－3＝2an－3，
又a1＝4，所以an－3是以a1－3＝1为首项，公比为2的等比数列，
所以an－3＝2n－1，即an＝2n－1＋3，所以a888＝2887＋3.
5.(多选)已知数列an满足a1＝1，2an+1＝an－3anan+1n∈N*，则下列结论正确的是( )
A.1an+3为等差数列
B.an为递减数列
C.an的通项公式为an＝12n−1−3
D.1an的前n项和Tn＝2n+2－3n－4
解析：选BD.因为2an+1＝an－3anan+1，所以1an+1＝2an＋3，所以1an+1＋3＝2(1an＋3)，且1a1＋3＝4≠0，所以{1an＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，即1an＋3＝4×2n－1，可得an＝12n+1−3，故选项A，C错误；
因为1an＝2n+1－3单调递增，所以an＝12n+1−3单调递减，即an为递减数列，故选项B正确；
1an的前n项和Tn＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n＋1－3)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－3n＝22×1−2n1−2－3n＝2n+2－3n－4，故选项D正确.
6.(多选)投掷一枚质地均匀的硬币，规定抛出正面得2分，抛出反面得1分，记投掷若干次后，得n分的概率为Pn，下列说法正确的是( )
A.P1＝12
B.P2＝12
C.当n≥3时，Pn＝12Pn－1＋12Pn－2
D.当n≥10时，Pn＝2－2Pn+1
解析：选ACD.第一次投掷出现反面的概率P1＝12，A正确；
得2分的事件，可以是投掷2次都出现反面，也可以是投掷1次出现正面，所以概率P2＝12×12＋12＝34，B错误；
当n≥3时，得n分的事件，可以在得n－1分后投掷出现反面，也可以是在得n－2分后投掷出现正面，因此Pn＝12Pn－1＋12Pn－2，C正确；
由选项C知，当n∈N*时，Pn+2＝12Pn+1＋12Pn，则Pn+2＋12Pn+1＝Pn+1＋12Pn，因此数列{Pn+1＋12Pn}是常数列，Pn+1＋12Pn＝P2＋12P1＝34＋12×12＝1，即Pn＝2－2Pn+1，所以当n≥10时，Pn＝2－2Pn+1，D正确.
7.已知数列{an}前n项和为Sn，满足6Sn＝(3n＋2)an＋2，则数列{an}的通项公式为 .
解析：因为6Sn＝(3n＋2)an＋2，当n＝1时，6S1＝6a1＝5a1＋2，所以a1＝2，
当n≥2时，6Sn－1＝(3n－1)an－1＋2，
所以6Sn－6Sn－1＝6an＝(3n＋2)an－(3n－1)an－1，
所以anan−1＝3n−13n−4，an−1an−2＝3n−43n−7，…，a3a2＝85，a2a1＝52，
累乘得anan－1·an−1an−2·…·a3a2·a2a1＝3n−13n−4×3n−43n−7×…×85×52，
所以an＝3n－1(n≥2)，
当n＝1时a1＝2也成立，所以an＝3n－1.
答案：an＝3n－1
8.在数列an中，已知a1＝2，且an＋1＝4an－3n＋1n∈N*，则该数列的通项公式为 .
解析：令an+1－A(n＋1)－B＝4an－An－B，
则an+1＝4an－3An＋A－3B，由条件得－3A＝－3，A－3B=1，解得A=1，B=0，即an+1－(n＋1)＝4an－n，
故数列an－n是首项为a1－1＝1，公比为4的等比数列，
从而an－n＝4n－1，故an＝4n－1＋n.
答案：an＝4n－1＋n
9.记数列an的前n项和为Sn，若a1＝2，2an+1－3an＝2n，则a82+S8＝ .
解析：由2an+1－3an＝2n，得an+12n−1＝34×an2n−2＋1，则an+12n−1－4＝34(an2n−2－4)，
又a12−1－4＝0，则an2n−2＝4，则an＝2n，a8＝28，S8＝21−281−2＝29－2，a82+S8＝2829＝12.
答案：12
10.已知数列an满足an+1+12＋an－12＝2an+1an＋1，a1＝8，则an＝ ；对任意实数t，总存在正整数k，使得ak+3＋tak＋a2k＝0，则k＝ .
解析：因为an+1+12＋an－12＝2an+1an＋1，
所以an+12＋an2－2an+1an＋2an+1－an＋1＝0，所以an+1－an2＋2an+1－an＋1＝0，
所以an+1－an+12＝0，所以an+1－an＝－1，
又a1＝8，所以数列an是首项为8，公差为－1的等差数列，
所以an＝8－(n－1)＝9－n；
由ak＋3＋tak＋a2k＝0，则9－k+3＋t(9－k＋9－2k)＝0，即6－k＋t18－3k＝0，则k＝6.
答案：9－n 6