2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-概率、统计与其他知识的综合问题（Word版解析版）

这是一份2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-概率、统计与其他知识的综合问题（Word版解析版），共10页。试卷主要包含了某班举办诗词大赛，比赛规则如下等内容，欢迎下载使用。
1.(2025·辽宁沈阳二模)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，因俄国数学家安德烈•马尔科夫而得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n＋1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n－1，n－2，n－3，…次状态无关.已知有A，B两个盒子，各装有1个黑球、1个黄球和1个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行nn∈N*次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为Xn，恰有1个红球的概率为pn，恰有2个红球的概率为qn.
(1)求p2，q2的值；
(2)证明：pn－35是等比数列，并求pn的通项公式；
(3)求Xn的数学期望.
解：(1)由题意，A盒子中没有红球的概率为1－pn－qn，
则p1＝C21C21＋C11C11C31C31＝59，q1＝C21C11C31C31＝29，
p2＝p1·C21C21＋C11C11C31C31＋q1·C21C31C31C31＋1－p1－q1·C31C21C31C31＝59×59＋29×23＋29×23＝4981，
q2＝p1·C21C11C31C31＋q1·C11C31C31C31＝59×29＋29×13＝1681.
(2)因为pn＝pn－1·59＋qn－1·23＋1－pn－1－qn－1·23＝－19pn－1＋23，n≥2，n∈N*，
所以pn－35＝－19pn－1－35，又p1－35＝－245，
所以数列pn－35是以－245为首项，－19为公比的等比数列，
所以pn－35＝－245·－19n－1，即pn＝－245·－19n－1＋35.
(3)当n≥2，n∈N*时，qn＝pn－1·C21C11C31C31＋qn－1·C11C31C31C31＝29pn－1＋13qn－1 ①，
1－pn－qn＝pn－1·C11C21C31C31＋(1－pn－1－qn－1)·C31C11C31C31＝29pn－1＋13(1－pn－1－qn－1) ②，
由①－②得，2qn＋pn－1＝13(2qn－1＋pn－1－1)，又2q1＋p1－1＝0，
所以2qn＋pn－1＝0，则qn＝1－pn2，
Xn的可能取值为0，1，2，
则PXn=0＝1－pn－qn＝1－pn2，
PXn=1＝pn，PXn=2＝qn＝1－pn2，
则Xn的分布列为：
所以EXn＝0×1－pn2＋1×pn＋2×1－pn2＝1.
2.(2025·河北邯郸一模)某班举办诗词大赛，比赛规则如下：参赛选手第一轮回答4道题，若答对3道或4道，则通过初赛，否则进行第二轮答题，第二轮答题的数量为第一轮答错的题目数量，且题目与第一轮的题不同，若全部答对，则通过初赛，否则淘汰.已知甲同学参加了这次诗词大赛，且甲同学每道题答对的概率均为p14≤p＜1.假设甲同学回答每道题相互独立，两轮答题互不影响.
(1)已知p＝12.
①求甲同学第一轮答题后通过初赛的概率；
②求甲同学答对1道题的概率.
(2)记甲同学的答题个数为X，求EX的最大值.
解：(1)①由题意，甲同学第一轮答题后通过初赛的概率为P＝C43(12)3(1－12)1＋C44(12)4(1－12)0＝516.
②甲同学答对1题的情况如下，
第一轮答对1题，第二轮答对0题，则概率为P1＝C41(12)1(1－12)3×C30(12)0(1－12)3＝132；
第一轮答对0题，第二轮答对1题，则概率为P2＝C40(12)0(1－12)4×C41(12)1(1－12)3＝164.
所以甲同学答对1道题的概率为P1＋P2＝132＋164＝364.
(2)由题意，X＝4，6，7，8，
且P(X＝4)＝C43p3(1－p)1＋C44p4(1－p)0＝4p3(1－p)＋p4，
P(X＝6)＝C42p2(1－p)2＝6p2(1－p)2，
P(X＝7)＝C41p1(1－p)3＝4p(1－p)3，
P(X＝8)＝C40p0(1－p)4＝(1－p)4，
所以E(X)＝4[4p3(1－p)＋p4]＋36p2(1－p)2＋28p(1－p)3＋8(1－p)4＝16p3－12p4＋36p2(1－p)2＋28p(1－p)3＋8(1－p)4＝4p4－4p3－4p＋8，
又14≤p＜1，
令f(p)＝4p4－4p3－4p＋8，则f'(p)＝4(4p3－3p2－1)，
令g(p)＝4p3－3p2－1，则g'(p)＝6p(2p－1)，
当14≤p＜12时，g'(p)＜0，即g(p)在［14，12)上单调递减；
当12＜p＜1时，g'(p)＞0，即g(p)在(12，1)上单调递增；
又g(14)＝－98＜0，g(1)＝0，则在［14，1)上g(p)＜0，
所以在［14，1)上f'(p)＜0恒成立，即f(p)在［14，1)上单调递减，
所以f(p)max＝f(14)＝44564，故E(X)的最大值为44564.Xn
0
1
2
P
1－pn2
pn
1－pn2