2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-范围与最值问题（Word版解析版）

这是一份2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-范围与最值问题（Word版解析版），共10页。试卷主要包含了已知椭圆Γ，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
1.已知椭圆Γ：x2a2＋y2＝1(a＞1)的上、下顶点分别为A，B，点Q在线段AB上运动(不含端点)，点P(－1，0)，直线PQ与椭圆交于C，D两点(点C在点P左侧)，PD的中点M的轨迹交y轴于E，F两点，且｜EF｜＝32.
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)记直线AC，AD的斜率分别为k1，k2，求k1－k2的最小值.
解：(1)设PD中点M(x0，y0)，则D(2x0＋1，2y0)，
因为点Q在线段AB上，所以点D只能在右半椭圆上运动，所以0＜2x0＋1≤a，
即－12＜x0≤a－12，
由点D在椭圆Γ：x2a2＋y2＝1上，
所以(2x0+1)2a2＋4y02＝1，
令x0＝0，得｜y0｜＝121－1a2，①
因为｜EF｜＝32，所以2｜y0｜＝32，代入①解得a2＝4，
故椭圆Γ的方程为x24＋y2＝1.
(2)设直线CD的方程为y＝k(x＋1)，｜k｜＜1，C(x1，y1)，D(x2，y2).
由y＝k(x+1),x24＋y2=1，
得(4k2＋1)x2＋8k2x＋4(k2－1)＝0，
则x1＋x2＝－8k24k2+1，x1x2＝4(k2－1)4k2+1，
又k1＝y1－1x1＝kx1＋k－1x1＝k＋k－1x1，k2＝k＋k－1x2，
k1－k2＝(k－1)(1x1－1x2)＝(k－1)x2－x1x1x2
＝(k－1)64k4(4k2+1)2－16(k2－1)4k2+14(k2－1)4k2+1＝3k2+1k+1，
令t＝k＋1∈(0，2)，得k1－k2＝3t2－6t+4t＝4(1t)2－6(1t)+3＝4(1t－34)2＋34≥32，
当t＝43，即k＝13时取等号，
所以k1－k2的最小值为32.
2.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，焦距为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l的斜率为－1，且与坐标轴的交点均在椭圆内部，直线l与椭圆交于A，B两点，求线段AB的长度的取值范围.
解：(1)因为C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，且焦距为2，
可得e＝ca＝12且2c＝2，解得a＝2，c＝1，则b＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.
(2)直线l的斜率为－1，且与坐标轴的交点均在椭圆内部，
设直线l：y＝－x＋m，且m∈－3，3，
联立方程组x24＋y23=1，y＝－x＋m，整理得7x2－8mx＋4m2－12＝0，
设Ax1，y1，Bx2，y2，则x1＋x2＝8m7，x1x2＝4m2－127，
因此AB＝x1－x22＋y1－y22＝2·x1＋x22－4x1x2＝2·64m249－4·4m2－127＝4677－m2，
由m∈－3，3，可得7－m2∈2，7，即867＜AB≤4427，
所以AB的取值范围为(867，4427］.
3.(2025·安徽滁州一模)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为2，且经过点P－1，32，M为C的右顶点，过点P的直线l与C交于点Q(异于点M).
(1)求C的标准方程；
(2)求△PQM面积的最大值.
解：(1)由题c＝1，故a2－b2＝1，
把P(－1，32)代入椭圆方程中得到1a2＋94b2＝1，
解得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.
(2)由题M(2，0)，直线PM的方程为y＝－12x＋1，
设与直线PM平行的直线m的方程为y＝－12x＋t，
当直线m与椭圆相切时，切点到直线PM距离取得最大值，Q为切点时，△PQM面积最大，
把y＝－12x＋t代入椭圆方程中，得4x2－4tx＋4t2－12＝0，
当直线m与椭圆相切时，距离最大，
故有Δ＝0，即Δ＝16t2－16(4t2－12)＝0，
所以t2＝4，即t＝±2，
当t＝－2时，y＝－12x－2与y＝－12x＋1之间的距离即为椭圆上点到直线PM距离的最大值，
此时d＝－2－11+14＝655，
所以△PQM面积最大值为S＝12PM·d＝12×352×655＝92.
4.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为63.
(1)求C的方程；
(2)直线l：y＝kx＋m(k＞0，m＞0)与C交于M，N两点，与y轴交于点A，与x轴交于点B，且AM＝λBM，AN＝μBN.
①当μ＝1λ＝2时，求k的值；
②当λ＋μ＝3时，求点0，－3到l的距离的最大值.
解：(1)由题意得2b=2，ca＝a2－b2a2＝63，解得b=1，a＝3，
所以C的方程为x23＋y2＝1.
(2)①由题意得A0，m，B－mk，0，
由AM＝12BM，得OM＝2OA－OB，即M(mk，2m)，
由AN＝2BN，得ON＝2OB－OA，即N(－2mk，－m)，
将M，N的坐标分别代入C的方程，得m23k2＋4m2＝1和4m23k2＋m2＝1，
解得k2＝13，又k＞0，所以k＝33.
②由y＝kx＋m，x23＋y2=1消去y，得3k2+1x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
其中Δ＝36k2m2－123k2+1m2－1＝12(3k2－m2＋1)＞0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－6km3k2+1，x1x2＝3m2－33k2+1，
由AM＝λBM，AN＝μBN，A0，m，B(－mk，0)，
得x1＝λx1＋mk，x2＝μx2＋mk，
所以λ＋μ＝x1x1＋mk＋x2x2＋mk，
由λ＋μ＝3，得k2x1x2＋2mkx1＋x2＋3m2＝0，
即3m2k2－3k23k2+1＋－12m2k23k2+1＋3m2＝0，
所以3m2k2－3k2－12m2k2＋9m2k2＋3m2＝0，
因此k2＝m2，又k＞0，m＞0，所以k＝m.
所以l的方程为y＝k(x＋1)，即l过定点(－1，0)，
所以点0，－3到l的最大距离为点0，－3与点(－1，0)的距离d＝1+(3)2＝2，
即点0，－3到l的距离的最大值为2.