2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-定点（线）、定值问题（Word版解析版）

这是一份2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-定点（线）、定值问题（Word版解析版），共10页。试卷主要包含了已知椭圆C，已知双曲线C，已知抛物线C1等内容，欢迎下载使用。
1.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1a＞b>0过点2，2，短轴长为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线l：y＝kx＋4与椭圆C交于不同的两点M，N.设直线AN与直线BM相交于点G.试问点G是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.
解：(1)依题意可得4a2＋2b2=1，2b=4，解得b=2，a=22，
所以椭圆C的方程为x28＋y24＝1.
(2)在定直线y＝1上，理由如下：
设点Nx1，y1，M(x2，y2)(y1，2≠±2)，
由x28＋y24=1，y＝kx+4消去y整理得1+2k2x2＋16kx＋24＝0，
由Δ＝16k2－4×241+2k2＞0⇒k2＞32，且x1＋x2＝－16k1+2k2，x1·x2＝241+2k2，
所以x1＋x2＝－23kx1·x2，
易知A0，2，B0，－2，则lAN：y－2＝y1－2x1x，lBM：y＋2＝y2+2x2x，
两式作商得y－2y+2＝y1－2·x2y2+2·x1＝kx1x2+2x2kx1x2+6x1＝－32x1＋x2+2x2－32x1＋x2+6x1＝－13，解得y＝1，
故G在定直线y＝1上.
2.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1a＞0，b＞0的左、右顶点为A，B，右焦点为5，0，离心率为5.
(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
(2)过点T2，0的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA的斜率为k1，直线NB的斜率为k2，求证：k1k2为定值.
解：(1)由题意，双曲线C的中心为坐标原点，右焦点为5，0，离心率为5，
可得c＝5，e＝ca＝5，b2＝c2－a2，解得a＝1，b＝2，
所以双曲线C的标准方程为x2－y24＝1，其渐近线方程为y＝±2x.
(2)由(1)知，A－1，0，B1，0.
显然直线l不垂直于y轴，设直线l的方程为x＝my＋2，
设Mx1，y1，Nx2，y2，
由x2－y24=1，x＝my+2消去x，得4m2－1y2＋16my＋12＝0，
显然4m2－1≠0，Δ＞0，则y1＋y2＝－16m4m2－1，y1y2＝124m2－1，my1y2＝－34y1＋y2，
直线MA的斜率k1＝y1x1+1，直线NB的斜率k2＝y2x2－1，
所以k1k2＝y1x1+1y2x2－1＝y1my2+1y2my1+3＝my1y2＋y1my1y2+3y2＝－34y1＋y2＋y1－34y1＋y2+3y2＝y1－3y2－3y1+9y2＝－13，为定值.
3.已知抛物线C1：y2＝2pxp>0与双曲线C2：y＝－1x相交于点Rx0，y0.
(1)若y0＝－2，求抛物线C1的准线方程；
(2)记直线l：y＝kx＋b与C1，C2分别切于点M，N，当p变化时，求证：△RMN的面积为定值，并求出该定值.
解：(1)由y0＝－1x0＝－2，得x0＝12，将其代入y2＝2px，得p＝4，
所以抛物线C1的方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.
(2)证明：由y2=2px，y＝kx＋b得k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0，
由直线l与C1相切，得Δ1＝4(kb－p)2－4k2b2＝0，解得2kb＝p，切点M(bk，2b)，
由y＝－1x，y＝kx＋b得kx2＋bx＋1＝0，
由直线l与C2相切，得Δ2＝b2－4k＝0，解得4k＝b2，切点N(－b2k，b2)，
于是b＝32p，k＝(32p)24，令t＝32p＞0，则直线l的方程为y＝t24x＋t，
点M(4t，2t)，N(－2t，t2)，由y2=2px，xy＝－1得R(1t，－t)，
所以｜MN｜＝(4t＋2t)2＋(2t－t2)2＝144+9t44t2＝316+t42t，
点R到直线l的距离为h＝9t41+(t24)2＝9t16+t4，
所以S△RMN＝12｜MN｜·h＝12·316+t42t·9t16+t4＝274，
所以△RMN的面积为定值，该定值为274.
4.已知动圆P过定点F(0，1)且与直线y＝3相切，记圆心P的轨迹为曲线E.
(1)已知A，B两点的坐标分别为(－2，1)，(2，1)，直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，证明：k1－k2＝1；
(2)若点M(x1，y1)，N(x2，y2)是轨迹E上的两个动点且x1x2＝－4，设线段MN的中点为Q，圆P与动点Q的轨迹Γ交于不同于F的三点C，D，G，求证：△CDG的重心的横坐标为定值.
证明：(1)设点P(x，y)，
依题有(x－0)2＋(y－1)2＝｜y－3｜，
化简并整理得x2＝－4y＋8，
圆心P的轨迹E的方程为x2＝－4y＋8，
k1＝y－1x+2，k2＝y－1x－2，k1－k2＝y－1x+2－y－1x－2＝－4(y－1)x2－4，
又x2＝－4y＋8，所以－4(y－1)x2－4＝－4(y－1)－4y+4＝1，
所以k1－k2＝1.
(2)显然直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y＝kx＋b，
由x2＝－4y+8，y＝kx＋b消去y并整理得x2＋4kx＋4b－8＝0，
当Δ＞0时，x1x2＝4b－8，
又x1x2＝－4，所以b＝1，
所以x2＋4kx－4＝0，y＝kx＋1，
x1＋x2＝－4k，y1＋y2＝kx1＋x2＋2＝－4k2＋2，
所以线段MN的中点坐标为Q(－2k，－2k2＋1)，
设Q(x，y)，
则x＝－2k，y＝－2k2+1，消去k得x2＝－2y＋2，
所以Q的轨迹方程是x2＝－2y＋2，
圆P过定点F(0，1)，设其方程为x2＋(y－1)2＋mx＋n(y－1)＝0，
由x2＋(y－1)2＋mx＋n(y－1)=0，x2＝－2y+2，
得x4＋(4－2n)x2＋4mx＝0，
设C，D，G的横坐标分别为c，d，g，
因为C，D，G异于F，所以c，d，g都不为零，
故x3＋(4－2n)x＋4m＝0的根为c，d，g，
令(x－c)(x－d)(x－g)＝0，
即有x3－(c＋d＋g)x2＋(cd＋dg＋gc)x－cdg＝0，
所以c＋d＋g＝0，
故△CDG的重心的横坐标为定值.